Cuadrángulo generalizado

GQ(2,2), el tapete

En geometría , un cuadrángulo generalizado es una estructura de incidencia cuya característica principal es la ausencia de triángulos (aunque contiene muchos cuadrángulos). Un cuadrángulo generalizado es, por definición, un espacio polar de rango dos. Son los n-gonos generalizados con n = 4 y los 2n-gonos cercanos con n = 2. También son precisamente las geometrías parciales pg( s , t ,α) con α = 1.

Definición

Un cuadrángulo generalizado es una estructura de incidencia ( P , B , I), donde I ⊆ P × B es una relación de incidencia que satisface ciertos axiomas . Los elementos de P son por definición los puntos del cuadrángulo generalizado y los elementos de B las rectas . Los axiomas son los siguientes:

• Existe un s ( s ≥ 1) tal que en cada línea hay exactamente s + 1 puntos. Hay como máximo un punto en dos líneas distintas.
• Hay un t ( t ≥ 1) tal que por cada punto pasan exactamente t + 1 rectas. Hay como máximo una recta que pasa por dos puntos distintos.
• Para cada punto p que no está en una recta L , existe una única recta M y un único punto q , tales que p está en M , y q en M y L.

( s , t ) son los parámetros del cuadrángulo generalizado. Se permite que los parámetros sean infinitos. Si s o t es uno, el cuadrángulo generalizado se llama trivial . Por ejemplo, la cuadrícula 3x3 con P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} es un GQ trivial con s = 2 y t = 1. Un cuadrángulo generalizado con parámetros ( s , t ) a menudo se denota por GQ( s , t ).

El cuadrángulo generalizado no trivial más pequeño es GQ(2,2) , cuya representación fue bautizada como "el tapete" por Stan Payne en 1973.

Propiedades

• ${\displaystyle |P|=(st+1)(s+1)}$
• ${\displaystyle |B|=(st+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle (s+t)|st(s+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2}}$
• ${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2}}$

Gráficos

Gráfica lineal del cuadrángulo generalizado GQ(2,4)

Hay dos gráficos interesantes que se pueden obtener de un cuadrángulo generalizado.

• El gráfico de colinealidad que tiene como vértices los puntos de un cuadrángulo generalizado, con los puntos colineales conectados. Este gráfico es un gráfico fuertemente regular con parámetros ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1) donde (s,t) es el orden del GQ.
• El grafo de incidencia cuyos vértices son los puntos y las rectas del cuadrángulo generalizado y dos vértices son adyacentes si uno es un punto, el otro una recta y el punto se encuentra sobre la recta. El grafo de incidencia de un cuadrángulo generalizado se caracteriza por ser un grafo conexo , bipartito, de diámetro cuatro y circunferencia ocho. Por lo tanto, es un ejemplo de Cage . Los grafos de incidencia de configuraciones se denominan hoy en día generalmente grafos de Levi , pero el grafo de Levi original era el grafo de incidencia del GQ(2,2).

Dualidad

Si ( P , B , I ) es un cuadrángulo generalizado con parámetros ( s , t ), entonces ( B , P , I ⁻¹ ), con I ⁻¹ como relación de incidencia inversa, también es un cuadrángulo generalizado. Este es el cuadrángulo generalizado dual . Sus parámetros son ( t , s ). Incluso si s = t , la estructura dual no necesita ser isomorfa con la estructura original.

Cuadrángulos generalizados con líneas de tamaño 3

Existen exactamente cinco cuadrángulos generalizados (posiblemente degenerados) donde cada línea tiene tres puntos incidentes con ella, el cuadrángulo con un conjunto de líneas vacías, el cuadrángulo con todas las líneas a través de un punto fijo correspondiente al grafo de molino de viento Wd(3,n) , cuadrícula de tamaño 3x3, el cuadrángulo GQ(2,2) y el único GQ(2,4). Estos cinco cuadrángulos corresponden a los cinco sistemas de raíces en las clases ADE A _n , D _n , E ₆ , E ₇ y E ₈ , es decir, los sistemas de raíces simplemente enlazados. ^{[1] [2]}

Cuadrángulos generalizados clásicos

Al observar los diferentes casos de espacios polares de rango al menos tres, y extrapolándolos a rango 2, uno encuentra estos cuadrángulos generalizados (finitos):

• Una cuádrica hiperbólica , una cuádrica parabólica y una cuádrica elíptica son las únicas cuádricas posibles en espacios proyectivos sobre cuerpos finitos con índice proyectivo 1. Hallamos estos parámetros respectivamente: ${\displaystyle Q^{+}(3,q)}$ ${\displaystyle Q(4,q)}$ ${\displaystyle Q^{-}(5,q)}$

${\displaystyle Q(3,q):\ s=q,t=1}$ (esto es solo una cuadrícula)

${\displaystyle Q(4,q):\ s=q,t=q}$

${\displaystyle Q(5,q):\ s=q,t=q^{2}}$

• Una variedad hermítica tiene índice proyectivo 1 si y sólo si n es 3 o 4. Encontramos: ${\displaystyle H(n,q^{2})}$

${\displaystyle H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q}$

${\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3}}$

• Una polaridad simpléctica en tiene un subespacio isótropo máximo de dimensión 1 si y solo si . Aquí, encontramos un cuadrángulo generalizado , con . ${\displaystyle PG(2d+1,q)}$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle W(3,q)}$ ${\displaystyle s=q,t=q}$

El cuadrángulo generalizado derivado de es siempre isomorfo con el dual de , y ambos son autoduales y, por lo tanto, isomorfos entre sí si y solo si es par. ${\displaystyle Q(4,q)}$ ${\displaystyle W(3,q)}$ ${\displaystyle q}$

Ejemplos no clásicos

• Sea O un hiperóvalo en con q una potencia prima par e incorporemos ese plano proyectivo (desarguesiano) en . Ahora consideremos la estructura de incidencia donde los puntos son todos los puntos que no están en , las líneas son aquellas que no están en , que se intersecan en un punto de O y la incidencia es la natural. Este es un cuadrángulo (q-1,q+1) -generalizado. ${\displaystyle PG(2,q)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle PG(3,q)}$ ${\displaystyle T_{2}^{*}(O)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$
• Sea q una potencia prima (par o impar) y consideremos una polaridad simpléctica en . Elijamos un punto arbitrario p y definamos . Sean las líneas de nuestra estructura de incidencia todas las líneas absolutas que no estén en junto con todas las líneas que pasen por p que no estén en , y sean los puntos todos los puntos de excepto aquellos en . La incidencia es nuevamente la natural. Obtenemos una vez más un cuadrángulo (q-1,q+1) -generalizado ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle PG(3,q)}$ ${\displaystyle \pi =p^{\theta }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle PG(3,q)}$ ${\displaystyle \pi }$

Restricciones de parámetros

Mediante el uso de cuadrículas y cuadrículas duales, cualquier entero z , z ≥ 1 permite cuadrángulos generalizados con parámetros (1, z ) y ( z ,1). Aparte de eso, hasta ahora solo se han encontrado posibles los siguientes parámetros, con q como potencia prima arbitraria  :

${\displaystyle (q,q)}$

${\displaystyle (q,q^{2})}$y ${\displaystyle (q^{2},q)}$

${\displaystyle (q^{2},q^{3})}$y ${\displaystyle (q^{3},q^{2})}$

${\displaystyle (q-1,q+1)}$y ${\displaystyle (q+1,q-1)}$

Referencias

1. Cameron PJ; Goethals, JM; Seidel, JJ; Shult, EE Gráficos lineales, sistemas de raíces y geometría elíptica
2. Brouwer, Andries E. "Cuadrángulos generalizados" (PDF) . Universidad Técnica de Eindhoven . Consultado el 30 de marzo de 2024 .

• SE Payne y JA Thas . Cuadrángulos generalizados finitos. Notas de investigación en matemáticas, 110. Pitman (Programa de publicación avanzada), Boston, MA, 1984. vi+312 pp. ISBN 0-273-08655-3 , enlace http://cage.ugent.be/~bamberg/FGQ.pdf