Espacio polar

En matemáticas , en el campo de la geometría , un espacio polar de rango n ( n ≥ 3 ), o índice proyectivo n − 1 , consta de un conjunto P , convencionalmente llamado conjunto de puntos, junto con ciertos subconjuntos de P , llamados subespacios. , que satisfacen estos axiomas:

• Cada subespacio es isomorfo a un espacio proyectivo P ^d ( K ) con −1 ≤ d ≤ ( n − 1) y K un anillo de división . (Es decir, es una geometría proyectiva desarguesiana ). Para cada subespacio, la d correspondiente se llama dimensión.
• La intersección de dos subespacios es siempre un subespacio.
• Para cada subespacio A de dimensión n − 1 y cada punto p que no está en A , hay un subespacio B único de dimensión n − 1 que contiene p y tal que A ∩ B es ( n − 2) -dimensional. Los puntos en A ∩ B son exactamente los puntos de A que están en un subespacio común de dimensión 1 con p .
• Hay al menos dos subespacios disjuntos de dimensión n − 1 .

Es posible definir y estudiar una clase de objetos un poco más grande usando solo la relación entre puntos y líneas: un espacio polar es un espacio lineal parcial ( P , L ), de modo que para cada punto p ∈ P y cada línea l ∈ L , el conjunto de puntos de l colineal con p , es un singleton o el l entero .

Los espacios polares finitos (donde P es un conjunto finito) también se estudian como objetos combinatorios .

Cuadrángulos generalizados

Cuadrilátero generalizado con tres puntos por línea; un espacio polar de rango 2

Un espacio polar de rango dos es un cuadrilátero generalizado ; en este caso, en la última definición, el conjunto de puntos de una recta colineal con un punto p es el entero de sólo si p ∈ . Se recupera la primera definición de la última bajo el supuesto de que las líneas tienen más de 2 puntos, los puntos se encuentran en más de 2 líneas y existen una línea y un punto p que no está en modo que p es colineal con todos los puntos de  . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

Espacios polares clásicos finitos

Sea el espacio proyectivo de dimensión sobre el campo finito y sea una forma sesquilineal reflexiva o una forma cuadrática en el espacio vectorial subyacente. Los elementos del espacio polar clásico finito asociados a esta forma son los elementos de los subespacios totalmente isotrópicos (cuando es una forma sesquilineal) o de los subespacios totalmente singulares (cuando es una forma cuadrática) con respecto a . El índice de Witt de la forma es igual a la dimensión espacial vectorial más grande del subespacio contenido en el espacio polar, y se denomina rango del espacio polar. Estos espacios polares clásicos finitos se pueden resumir en la siguiente tabla, donde es la dimensión del espacio proyectivo subyacente y es el rango del espacio polar. El número de puntos en a se denota por y es igual a . Cuando es igual a , obtenemos un cuadrilátero generalizado. ${\displaystyle PG(n,q)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle PG(n,q)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle PG(k,q)}$ ${\displaystyle \theta _{k}(q)}$ ${\displaystyle q^{k}+q^{k-1}+\cdots +1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2}$

Clasificación

Jacques Tit demostró que un espacio polar finito de rango al menos tres es siempre isomorfo con uno de los tres tipos de espacios polares clásicos indicados anteriormente. Esto deja abierto sólo el problema de clasificar los cuadrángulos finitos generalizados.

Referencias

• Ball, Simeon (2015), Geometría finita y aplicaciones combinatorias, Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438.

• Buekenhout, Francis (2000), Prehistoria e Historia de los espacios polares y de los polígonos generalizados (PDF)
• Buekenhout, Francisco; Cohen, Arjeh M. (2013), Geometría de diagramas (relacionada con grupos y edificios clásicos), Una serie de estudios modernos en matemáticas, parte 3, vol. 57, Heidelberg: Springer, MR  3014979
• Cameron, Peter J. (2015), Espacios proyectivos y polares (PDF) , QMW Maths Notes, vol. 13, Londres: Escuela de Ciencias Matemáticas Queen Mary and Westfield College, MR  1153019