En matemáticas, una forma cuadrática sobre un campo F se dice isotrópica si hay un vector distinto de cero en el que la forma se evalúa como cero. De lo contrario, es una forma cuadrática definida . Más explícitamente, si q es una forma cuadrática en un espacio vectorial V sobre F , entonces se dice que un vector v distinto de cero en V es isotrópico si q ( v ) = 0 . Una forma cuadrática es isotrópica si y sólo si existe un vector isotrópico distinto de cero (o vector nulo ) para esa forma cuadrática.
Supongamos que ( V , q ) es un espacio cuadrático y W es un subespacio de V. Entonces W se llama subespacio isotrópico de V si algún vector en él es isotrópico, un subespacio totalmente isotrópico si todos los vectores en él son isotrópicos y un subespacio definido si no contiene ningún vector isotrópico (distinto de cero). ElEl índice de isotropía de un espacio cuadrático es el máximo de las dimensiones de los subespacios totalmente isotrópicos.[1]
De manera más general, si la forma cuadrática no es degenerada y tiene la firma ( a , b ) , entonces su índice de isotropía es el mínimo de a y b . Un ejemplo importante de forma isotrópica sobre los reales ocurre en el espacio pseudoeuclidiano .
Sea F un campo de característica no 2 y V = F 2 . Si consideramos el elemento general ( x , y ) de V , entonces las formas cuadráticas q = xy y r = x 2 − y 2 son equivalentes ya que hay una transformación lineal en V que hace que q se parezca a r , y viceversa. Evidentemente, ( V , q ) y ( V , r ) son isotrópicos. Este ejemplo se llama plano hiperbólico en la teoría de formas cuadráticas . Un ejemplo común tiene F = números reales, en cuyo caso { x ∈ V : q ( x ) = constante distinta de cero} y { x ∈ V : r ( x ) = constante distinta de cero} son hipérbolas . En particular, { x ∈ V : r ( x ) = 1} es la hipérbola unitaria . La notación ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ ha sido utilizada por Milnor y Husemoller [1] : 9 para el plano hiperbólico a medida que se exhiben los signos de los términos del polinomio bivariado r .
El plano hiperbólico afín fue descrito por Emil Artin como un espacio cuadrático con base { M , N } que satisface M 2 = N 2 = 0, NM = 1 , donde los productos representan la forma cuadrática. [2]
A través de la identidad de polarización la forma cuadrática se relaciona con una forma bilineal simétrica B ( u , v ) =1/4( q ( tu + v ) - q ( tu - v )) .
Dos vectores u y v son ortogonales cuando B ( u , v ) = 0 . En el caso del plano hiperbólico, tales u y v son hiperbólico-ortogonales .
Un espacio con forma cuadrática es dividido (o metabólico ) si existe un subespacio que es igual a su propio complemento ortogonal ; de manera equivalente, el índice de isotropía es igual a la mitad de la dimensión. [1] : 57 El plano hiperbólico es un ejemplo, y sobre un campo de característica no igual a 2, cada espacio dividido es una suma directa de planos hiperbólicos. [1] : 12, 3
Desde el punto de vista de la clasificación de formas cuadráticas, los espacios con formas cuadráticas definidas son los componentes básicos de espacios cuadráticos de dimensiones arbitrarias. Para un campo general F , la clasificación de formas cuadráticas definidas no es un problema trivial. Por el contrario, las formas isotrópicas suelen ser mucho más fáciles de manejar. Según el teorema de descomposición de Witt , todo espacio producto interno sobre un campo es una suma directa ortogonal de un espacio dividido y un espacio con forma cuadrática definida. [1] : 56