teorema de witt

Resultado básico en la teoría algebraica de formas cuadráticas, sobre la extensión de isometrías.

"El teorema de Witt" o "el teorema de Witt" también pueden referirse al teorema del orden del punto fijo de Bourbaki-Witt .

En matemáticas, el teorema de Witt , que lleva el nombre de Ernst Witt , es un resultado básico de la teoría algebraica de formas cuadráticas : cualquier isometría entre dos subespacios de un espacio cuadrático no singular sobre un campo k puede extenderse a una isometría de todo el espacio. Una afirmación análoga es válida también para formas bilineales sesgadas-simétricas , hermitianas y sesgadas-hermitianas sobre campos arbitrarios. El teorema se aplica a la clasificación de formas cuadráticas sobre k y, en particular, permite definir el grupo de Witt W ( k ) que describe la teoría "estable" de formas cuadráticas sobre el campo k .

Declaración

Sea ( V , b ) un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k de característica diferente de 2 junto con una forma bilineal simétrica no degenerada o simétrica sesgada . Si f  : U → U' es una isometría entre dos subespacios de V entonces f se extiende a una isometría de V . ^[1]

El teorema de Witt implica que la dimensión de un subespacio máximo totalmente isotrópico (espacio nulo) de V es una invariante, llamada índice oÍndice de Witt deb,^[2][3]y además, que elgrupo de isometríade( V , b ) actúa transitivamentesobre elconjuntode subespacios isotrópicos máximos. Este hecho juega un papel importante en la teoría de la estructura yla teoría de la representacióndel grupo de isometría y en la teoría de lospares duales reductivos.

Teorema de cancelación de Witt

Sean ( V , q ) , ( V ₁ , q ₁ ) , ( V ₂ , q ₂ ) tres espacios cuadráticos sobre un campo k . Asumir que

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\oplus (V,q)\simeq (V_{2},q_{2})\oplus (V,q).}$

Entonces los espacios cuadráticos ( V ₁ , q ₁ ) y ( V ₂ , q ₂ ) son isométricos:

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\simeq (V_{2},q_{2}).}$

En otras palabras, el sumando directo ( V , q ) que aparece en ambos lados de un isomorfismo entre espacios cuadráticos puede "cancelarse".

Teorema de descomposición de Witt

Sea ( V , q ) un espacio cuadrático sobre un campo k . Entonces admite una descomposición de Witt :

${\displaystyle (V,q)\simeq (V_{0},0)\oplus (V_{a},q_{a})\oplus (V_{h},q_{h}),}$

donde V ₀ = ker q es el radical de q , ( V _a , q _a ) es un espacio cuadrático anisotrópico y ( V _h , q _h ) es un espacio cuadrático dividido . Además, la suma anisotrópica, denominada forma central , y la suma hiperbólica en una descomposición de Witt de ( V , q ) se determinan únicamente hasta el isomorfismo. ^[4]

Se dice que las formas cuadráticas con la misma forma central son similares o equivalentes de Witt .

Citas

1. Romano 2008, pag. 275-276, cap. 11.
2. Lam 2005, pag. 12.
3. Romano 2008, pag. 296, cap. 11.
4. Lorenz 2008, pag. 30.

Referencias

• Emil Artin (1957) Álgebra geométrica, página 121 a través de Internet Archive
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre campos , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 67, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-1095-2, SEÑOR  2104929, Zbl  1068.11023
• Lorenz, Falko (2008), Álgebra. Volumen II: campos con estructura, álgebras y temas avanzados , Springer-Verlag , págs. 15-27, ISBN 978-0-387-72487-4, Zbl  1130.12001
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
• O'Meara, O. Timothy (1973), Introducción a las formas cuadráticas , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 117, Springer-Verlag , Zbl  0259.10018