Un espacio lineal es una estructura básica en geometría de incidencia . Un espacio lineal consta de un conjunto de elementos llamados puntos y un conjunto de elementos llamados líneas . Cada línea es un subconjunto distinto de los puntos. Se dice que los puntos de una recta inciden con la recta. Cada dos puntos están en una línea y dos líneas cualesquiera no pueden tener más de un punto en común. Intuitivamente, esta regla se puede visualizar como la propiedad de que dos líneas rectas nunca se cruzan más de una vez.
Los espacios lineales pueden verse como una generalización de los planos proyectivos y afines , y más ampliamente, de los diseños de 2 bloques , donde se elimina el requisito de que cada bloque contenga el mismo número de puntos y la característica estructural esencial es que 2 puntos inciden con exactamente 1 línea.
El término espacio lineal fue acuñado por Paul Libois en 1964, aunque muchos resultados sobre espacios lineales son mucho más antiguos.
Sea L = ( P , G , I ) una estructura de incidencia , para la cual los elementos de P se llaman puntos y los elementos de G se llaman líneas. L es un espacio lineal si se cumplen los siguientes tres axiomas:
Algunos autores omiten (L3) al definir espacios lineales. En tal situación, los espacios lineales que cumplen con (L3) se consideran no triviales y los que no lo son .
El plano euclidiano regular con sus puntos y líneas constituye un espacio lineal; además, todos los espacios afines y proyectivos también son espacios lineales.
La siguiente tabla muestra todos los posibles espacios lineales no triviales de cinco puntos. Debido a que dos puntos cualesquiera siempre inciden con una línea, las líneas que inciden solo con dos puntos no se dibujan, por convención. El caso trivial es simplemente una línea que pasa por cinco puntos.
En la primera ilustración, las diez líneas que conectan los diez pares de puntos no están dibujadas. En la segunda ilustración, no se dibujan siete líneas que conectan siete pares de puntos.
Un espacio lineal de n puntos que contiene una línea que incide en n − 1 puntos se llama lápiz cercano . (Ver lápiz )
El teorema de De Bruijn-Erdős muestra que en cualquier espacio lineal finito que no sea un solo punto o una sola línea, tenemos .
