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Avión no desarguesiano

En matemáticas, un plano no desarguesiano es un plano proyectivo que no satisface el teorema de Desargues (llamado así por Girard Desargues ), o en otras palabras un plano que no es un plano desarguesiano . El teorema de Desargues es cierto en todos los espacios proyectivos de dimensión distinta de 2; [1] en otras palabras, los únicos espacios proyectivos de dimensión no igual a 2 son las geometrías proyectivas clásicas sobre un campo (o anillo de división ). Sin embargo, David Hilbert descubrió que algunos planos proyectivos no lo satisfacen. [2] [3] El estado actual del conocimiento de estos ejemplos no es completo. [4]

Ejemplos

Hay muchos ejemplos de planos no desarguesianos tanto finitos como infinitos. Algunos de los ejemplos conocidos de planos infinitos no desarguesianos incluyen:

Con respecto a los planos finitos no desarguesianos, todo plano proyectivo de orden 8 como máximo es desarguesiano, pero hay tres ejemplos no desarguesianos de orden 9, cada uno con 91 puntos y 91 líneas. [5] Son:

Se conocen muchas otras construcciones de planos no desarguesianos tanto finitos como infinitos; véase, por ejemplo, Dembowski (1968). Todas las construcciones conocidas de planos finitos no desarguesianos producen planos cuyo orden es una potencia prima propia, es decir, un número entero de la forma p e , donde p es un número primo y e es un número entero mayor que 1.

Clasificación

Hanfried Lenz dio un esquema de clasificación para planos proyectivos en 1954, [6] que fue refinado por Adriano Barlotti en 1957. [7] Este esquema de clasificación se basa en los tipos de transitividad punto-línea permitidos por el grupo de colineación del plano y es conocida como clasificación de planos proyectivos de Lenz-Barlotti . La lista de 53 tipos se proporciona en Dembowski (1968, págs. 124-125) y en la página aparece una tabla de los resultados de existencia entonces conocidos (tanto para grupos de colineación como para planos que tienen tal grupo de colineación) tanto en el caso finito como en el infinito. 126. En 2007, "36 de ellos existen como grupos finitos. Entre 7 y 12 existen como planos proyectivos finitos, y 14 o 15 existen como planos proyectivos infinitos". [4]

Existen otros esquemas de clasificación. Uno de los más simples se basa en tipos especiales de anillo ternario plano (PTR) que pueden usarse para coordinar el plano proyectivo. Estos tipos son campos , campos sesgados , anillos de división alternativos , semicampos , campos cercanos , campos cercanos derechos , cuasicampos y cuasicampos derechos . [8]

Cónicas y óvalos

En un plano proyectivo desarguesiano, una cónica se puede definir de varias maneras diferentes que se puede demostrar que son equivalentes. En planos no desarguesianos estas demostraciones ya no son válidas y las diferentes definiciones pueden dar lugar a objetos no equivalentes. [9] Theodore G. Ostrom había sugerido el nombre conicoide para estas figuras cónicas, pero no proporcionó una definición formal y el término no parece ser ampliamente utilizado. [10]

Hay varias formas de definir cónicas en planos desarguesianos:

  1. El conjunto de puntos absolutos de una polaridad se conoce como cónica de von Staudt . Si el plano se define sobre un campo de característica dos, sólo se obtienen cónicas degeneradas .
  2. El conjunto de puntos de intersección de líneas correspondientes de dos lápices que están relacionados proyectivamente, pero no perspectivamente, se conoce como cónica de Steiner . Si los lápices están relacionados en perspectiva, la cónica está degenerada.
  3. El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación homogénea irreducible de grado dos.

Además, en un plano desarguesiano finito:

  2. Un conjunto de q + 1 puntos, no tres colineales en PG(2, q ) se llama óvalo . Si q es impar, según el teorema de Segre , un óvalo en PG(2, q ) es una cónica, en el sentido 3 anterior.
  3. Una cónica de Ostrom se basa en una generalización de conjuntos armónicos.

Artzy ha dado un ejemplo de una cónica de Steiner en un plano de Moufang que no es una cónica de von Staudt. [11] Garner da un ejemplo de una cónica de von Staudt que no es una cónica de Ostrom en un plano de semicampo finito. [9]

Notas

  1. ^ El teorema de Desargues es vagamente cierto en la dimensión 1; sólo es problemático en la dimensión 2.
  2. ^ Hilbert, David (1950) [publicado por primera vez en 1902], Los fundamentos de la geometría [Grundlagen der Geometrie] (PDF) , traducción al inglés de EJ Townsend (2ª ed.), La Salle, IL: Open Court Publishing, p. 48
  3. ^ Hilbert, David (1990) [1971], Fundamentos de la geometría [Grundlagen der Geometrie] , traducido por Leo Unger de la décima edición alemana (segunda edición en inglés), La Salle, IL: Open Court Publishing, p. 74, ISBN 0-87548-164-7. Según la nota a pie de página de esta página, el "primer" ejemplo original que aparece en ediciones anteriores fue reemplazado por el ejemplo más simple de Moulton en ediciones posteriores.
  4. ^ ab Weibel 2007, pág. 1296
  5. ^ consulte Room & Kirkpatrick 1971 para obtener descripciones de los cuatro planos de orden 9.
  6. ^ Lenz, Hanfried (1954). "Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 57 : 20–31. SEÑOR  0061844.
  7. ^ Barlotti, Adriano (1957). "Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A,a) per cui un piano grafico risulta (A,a)-transitivo". Cápsula. Naciones Unidas. Estera. Italiano . 12 : 212–226. SEÑOR  0089435.
  8. ^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. Artículo 723 sobre geometría finita de Leo Storme.
  9. ^ ab Garner, Cyril W L. (1979), "Cónicas en planos proyectivos finitos", Journal of Geometry , 12 (2): 132–138, doi :10.1007/bf01918221, MR  0525253
  10. ^ Ostrom, TG (1981), "Conicoides: figuras cónicas en planos no papios", en Plaumann, Peter; Strambach, Karl (eds.), Geometría: el punto de vista de von Staudt , D. Reidel, págs. 175-196, ISBN 90-277-1283-2, SEÑOR  0621316
  11. ^ Artzy, R. (1971), "La cónica y = x 2 en los planos de Moufang", Aequationes Mathematicae , 6 : 30–35, doi :10.1007/bf01833234

Referencias