En geometría , un plano afín es un sistema de puntos y rectas que satisfacen los siguientes axiomas: [1]
En un plano afín, dos rectas se llaman paralelas si son iguales o disjuntas . Usando esta definición, el axioma de Playfair anterior se puede reemplazar por: [2]
El paralelismo es una relación de equivalencia sobre las líneas de un plano afín.
Dado que en los axiomas no intervienen conceptos distintos de los que implican la relación entre puntos y rectas, un plano afín es un objeto de estudio perteneciente a la geometría de incidencia . Son espacios lineales no degenerados que satisfacen el axioma de Playfair.
El conocido plano euclidiano es un plano afín. Hay muchos planos afines finitos e infinitos. Además de planos afines sobre campos (y anillos de división ), también hay muchos planos no desarguesianos , que no se derivan de coordenadas en un anillo de división, que satisfacen estos axiomas. El avión Moulton es un ejemplo de uno de ellos. [3]
Si el número de puntos en un plano afín es finito, entonces si una línea del plano contiene n puntos entonces:
El número n se llama orden del plano afín.
Todos los planos afines finitos conocidos tienen órdenes que son números primos o enteros de potencias primarias. El plano afín más pequeño (de orden 2) se obtiene eliminando una recta y los tres puntos de esa recta del plano de Fano . Una construcción similar, a partir del plano proyectivo de orden 3, produce el plano afín de orden 3, a veces llamado configuración de Hesse . Un plano afín de orden n existe si y sólo si existe un plano proyectivo de orden n (sin embargo, la definición de orden en estos dos casos no es la misma). Por tanto, no existe un plano afín de orden 6 u orden 10 ya que no hay planos proyectivos de esos órdenes. El teorema de Bruck-Ryser-Chowla proporciona más limitaciones al orden de un plano proyectivo y, por tanto, al orden de un plano afín.
Las n 2 + n líneas de un plano afín de orden n caen en n + 1 clases de equivalencia de n líneas cada una bajo la relación de equivalencia de paralelismo. Estas clases se llaman clases paralelas de rectas. Las rectas de cualquier clase paralela forman una partición de los puntos del plano afín. Cada una de las n + 1 rectas que pasan por un único punto pertenece a una clase de paralelo diferente.
La estructura de clases paralela de un plano afín de orden n se puede utilizar para construir un conjunto de n − 1 cuadrados latinos mutuamente ortogonales . Para esta construcción sólo se necesitan las relaciones de incidencia.
Se puede obtener un plano afín a partir de cualquier plano proyectivo eliminando una línea y todos los puntos que contiene y, a la inversa, cualquier plano afín se puede usar para construir un plano proyectivo agregando una línea en el infinito , cada uno de cuyos puntos es ese punto en el infinito. donde se encuentra una clase de equivalencia de rectas paralelas.
Si el plano proyectivo no es desarguesiano , la eliminación de diferentes líneas podría dar como resultado planos afines no isomorfos. Por ejemplo, hay exactamente cuatro planos proyectivos de orden nueve y siete planos afines de orden nueve. [4] Sólo existe un plano afín correspondiente al plano desarguesiano de orden nueve ya que el grupo de colineación de ese plano proyectivo actúa transitivamente sobre las líneas del plano. Cada uno de los tres planos no desarguesianos de orden nueve tiene grupos de colineación que tienen dos órbitas en las líneas, produciendo dos planos afines no isomorfos de orden nueve, dependiendo de qué órbita se seleccione la línea a eliminar.
Una recta l en un plano proyectivo Π es una recta de traslación si el grupo de elaciones con eje l actúa transitivamente sobre los puntos del plano afín obtenido quitando l del plano Π . Un plano proyectivo con una línea de traslación se llama plano de traslación y el plano afín obtenido eliminando la línea de traslación se llama plano de traslación afín . Si bien en general suele ser más fácil trabajar con planos proyectivos, en este contexto se prefieren los planos afines y varios autores simplemente utilizan el término plano de traducción para referirse al plano de traducción afín. [5]
Se puede obtener una vista alternativa de planos de traslación afines de la siguiente manera: Sea V un espacio vectorial de 2 n dimensiones sobre un campo F. Una extensión de V es un conjunto S de subespacios n -dimensionales de V que dividen los vectores distintos de cero de V. Los miembros de S se denominan componentes de la extensión y si Vi y V j son componentes distintos , entonces Vi ⊕ V j = V. Sea A la estructura de incidencia cuyos puntos son los vectores de V y cuyas rectas son las clases laterales de componentes, es decir, conjuntos de la forma v + U donde v es un vector de V y U es una componente de la dispersión S. Entonces: [6]
Una estructura de incidencia más general que un plano afín finito es una k - net de orden n . Este consta de n 2 puntos y nk líneas tales que:
Una red ( n + 1) de orden n es precisamente un plano afín de orden n .
Una k - neta de orden n es equivalente a un conjunto de k - 2 cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden n .
Para un campo arbitrario F , sea Σ un conjunto de subespacios n -dimensionales del espacio vectorial F 2 n , dos de los cuales se intersectan solo en {0} (llamado dispersión parcial ). Los miembros de Σ , y sus clases laterales en F 2 n , forman las líneas de una red de traslación en los puntos de F 2 n . Si | Σ | = k esta es una k -red de orden | F norte | . Comenzando con un plano de traducción afín , cualquier subconjunto de clases paralelas formará una red de traducción.
Dada una red de traducción, no siempre es posible agregar clases paralelas a la red para formar un plano afín. Sin embargo, si F es un campo infinito, cualquier dispersión parcial Σ con menos de | F | Los miembros se pueden extender y la red de traducción se puede completar en un plano de traducción afín. [7]
Dada la matriz de incidencia "línea/punto" de cualquier estructura de incidencia finita , M , y cualquier campo , F el espacio de filas de M sobre F es un código lineal que podemos denotar como C = C F ( M ) . Otro código relacionado que contiene información sobre la estructura de incidencia es el Casco de C que se define como: [8]
donde C ⊥ es el código ortogonal a C .
No se puede decir mucho sobre estos códigos en este nivel de generalidad, pero si la estructura de incidencia tiene cierta "regularidad", los códigos producidos de esta manera se pueden analizar y se puede obtener información sobre los códigos y las estructuras de incidencia entre sí. Cuando la estructura de incidencia es un plano afín finito, los códigos pertenecen a una clase de códigos conocidos como códigos geométricos . La cantidad de información que contiene el código sobre el plano afín depende en parte de la elección del campo. Si la característica del campo no divide el orden del plano, el código generado es el espacio completo y no lleva ninguna información. Por otra parte, [9]
Además, [10]
Cuando π = AG(2, q ) el código geométrico generado es el código q -ario Reed-Muller .
Los espacios afines se pueden definir de manera análoga a la construcción de planos afines a partir de planos proyectivos. También es posible proporcionar un sistema de axiomas para los espacios afines de dimensiones superiores que no se refiere al espacio proyectivo correspondiente . [11]
