Cuadrilátero generalizado

GQ(2,2), el tapete

En geometría , un cuadrilátero generalizado es una estructura de incidencia cuya característica principal es la falta de triángulos (aunque contiene muchos cuadriláteros). Un cuadrilátero generalizado es, por definición, un espacio polar de rango dos. Son los n-gonos generalizados con n = 4 y los cerca de 2n-gonos con n = 2. También son precisamente las geometrías parciales pg( s , t ,α) con α = 1.

Definición

Un cuadrilátero generalizado es una estructura de incidencia ( P , B ,I), siendo I ⊆ P × B una relación de incidencia , que satisface ciertos axiomas . Los elementos de P son por definición los puntos del cuadrilátero generalizado, los elementos de B las rectas . Los axiomas son los siguientes:

• Hay un s ( s ≥ 1) tal que en cada línea hay exactamente s + 1 puntos. Hay como máximo un punto en dos líneas distintas.
• Hay un t ( t ≥ 1) tal que por cada punto hay exactamente t + 1 líneas. Hay como máximo una línea que pasa por dos puntos distintos.
• Para cada punto p que no está en una línea L , hay una línea única M y un punto único q , tal que p está en M y q en M y L.

( s , t ) son los parámetros del cuadrilátero generalizado. Se permite que los parámetros sean infinitos. Si so t es uno, el cuadrilátero generalizado se llama trivial . Por ejemplo, la cuadrícula de 3x3 con P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} es un GQ trivial con s = 2 y t = 1. Un cuadrilátero generalizado con parámetros ( s , t ) a menudo se denota por GQ( s , t ).

El cuadrilátero generalizado más pequeño y no trivial es GQ(2,2) , cuya representación fue denominada "el tapete" por Stan Payne en 1973.

Propiedades

• ${\displaystyle |P|=(st+1)(s+1)}$
• ${\displaystyle |B|=(st+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle (s+t)|st(s+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2}}$
• ${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2}}$

Graficos

Gráfico de líneas del cuadrilátero generalizado GQ (2,4)

Hay dos gráficas interesantes que se pueden obtener a partir de un cuadrilátero generalizado.

• El gráfico de colinealidad que tiene como vértices los puntos de un cuadrilátero generalizado, con los puntos colineales conectados. Este gráfico es un gráfico fuertemente regular con parámetros ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1) donde (s,t) es el orden del GQ.
• El gráfico de incidencia cuyos vértices son los puntos y rectas del cuadrilátero generalizado y dos vértices son adyacentes si uno es un punto, el otro una recta y el punto se encuentra sobre la recta. La gráfica de incidencia de un cuadrilátero generalizado se caracteriza por ser una gráfica conexa , bipartita , de diámetro cuatro y circunferencia ocho. Por tanto, es un ejemplo de Jaula . Los gráficos de incidencia de configuraciones hoy en día se denominan generalmente gráficos de Levi , pero el gráfico de Levi original era el gráfico de incidencia del GQ(2,2).

Dualidad

Si ( P , B ,I) es un cuadrilátero generalizado con parámetros ( s , t ), entonces ( B , P ,I ⁻¹ ), siendo I ⁻¹ la relación de incidencia inversa, también es un cuadrilátero generalizado. Este es el cuadrilátero dual generalizado . Sus parámetros son ( t , s ). Incluso si s = t , la estructura dual no tiene por qué ser isomorfa con la estructura original.

Cuadrángulos generalizados con líneas de tamaño 3.

Hay exactamente cinco cuadriláteros generalizados (posibles degenerados) donde cada línea tiene tres puntos que inciden en ella, el cuadrilátero con un conjunto de líneas vacío, el cuadrilátero con todas las líneas que pasan por un punto fijo correspondiente al gráfico del molino de viento Wd(3,n) , cuadrícula de tamaño 3x3, el cuadrilátero GQ(2,2) y el único GQ(2,4). Estos cinco cuadrángulos corresponden a los cinco sistemas de raíces en las clases ADE An _, Dn _, E6 , E7 y _E8 , es decir , los sistemas de raíces simplemente _{entrelazados .} ^{[1] [2]}

Cuadrángulos generalizados clásicos

Al observar los diferentes casos para espacios polares de rango al menos tres y extrapolarlos al rango 2, se encuentran estos cuadrángulos generalizados (finitos):

• Una cuádrica hiperbólica , una cuádrica parabólica y una cuádrica elíptica son las únicas cuádricas posibles en espacios proyectivos sobre campos finitos con índice proyectivo 1. Encontramos estos parámetros respectivamente: ${\displaystyle Q^{+}(3,q)}$ ${\displaystyle Q(4,q)}$ ${\displaystyle Q^{-}(5,q)}$

${\displaystyle Q(3,q):\ s=q,t=1}$ (esto es sólo una cuadrícula)

${\displaystyle Q(4,q):\ s=q,t=q}$

${\displaystyle Q(5,q):\ s=q,t=q^{2}}$

• Una variedad hermitiana tiene índice proyectivo 1 si y sólo si n es 3 o 4. Encontramos: ${\displaystyle H(n,q^{2})}$

${\displaystyle H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q}$

${\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3}}$

• Una polaridad simpléctica tiene un subespacio isotrópico máximo de dimensión 1 si y solo si . Aquí encontramos un cuadrilátero generalizado , con . ${\displaystyle PG(2d+1,q)}$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle W(3,q)}$ ${\displaystyle s=q,t=q}$

El cuadrilátero generalizado derivado de es siempre isomorfo con el dual de , y ambos son autoduales y, por tanto, isomorfos entre sí si y sólo si es par. ${\displaystyle Q(4,q)}$ ${\displaystyle W(3,q)}$ ${\displaystyle q}$

Ejemplos no clásicos

• Sea O un hiperóvalo con q una potencia prima par e incruste ese plano proyectivo (desarguesiano) en . Ahora considere la estructura de incidencia donde los puntos son todos los puntos que no están en , las líneas son las que no están en , que se cruzan en un punto de O y la incidencia es la natural. Este es un cuadrilátero generalizado (q-1,q+1) . ${\displaystyle PG(2,q)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle PG(3,q)}$ ${\displaystyle T_{2}^{*}(O)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$
• Sea q una potencia prima (par o impar) y considere una polaridad simpléctica en . Elija un punto arbitrario p y defina . Sean todas las líneas de nuestra estructura de incidencia líneas absolutas que no están en junto con todas las líneas que pasan por p que no están en , y sean todos los puntos de excepto aquellos en . La incidencia vuelve a ser la natural. Obtenemos nuevamente un cuadrilátero (q-1,q+1) -generalizado ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle PG(3,q)}$ ${\displaystyle \pi =p^{\theta }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle PG(3,q)}$ ${\displaystyle \pi }$

Restricciones de parámetros

Al utilizar cuadrículas y cuadrículas duales, cualquier número entero z , z ≥ 1 permite cuadriláteros generalizados con parámetros (1, z ) y ( z ,1). Aparte de eso, hasta ahora sólo se han encontrado posibles los siguientes parámetros, siendo q una potencia prima arbitraria  :

${\displaystyle (q,q)}$

${\displaystyle (q,q^{2})}$y ${\displaystyle (q^{2},q)}$

${\displaystyle (q^{2},q^{3})}$y ${\displaystyle (q^{3},q^{2})}$

${\displaystyle (q-1,q+1)}$y ${\displaystyle (q+1,q-1)}$

Referencias

1. Cameron PJ; Goethals, JM; Seidel, JJ; Shult, EE Gráficos lineales, sistemas de raíces y geometría elíptica.
2. Brouwer, Andries E. "Cuadángulos generalizados" (PDF) . Universidad Técnica de Eindhoven . Consultado el 30 de marzo de 2024 .

• SE Payne y JA Thas . Cuadrángulos finitos generalizados. Research Notes in Mathematics, 110. Pitman (Programa de publicación avanzada), Boston, MA, 1984. vi+312 págs. ISBN 0-273-08655-3 , enlace http://cage.ugent.be/~bamberg/FGQ. pdf