Problema de momento

Tratando de mapear momentos a una medida que los genere

Ejemplo: Dadas la media y la varianza (así como todos los demás acumuladores iguales a 0), la distribución normal es la distribución que resuelve el problema del momento. ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

En matemáticas , un problema de momento surge como resultado de intentar invertir el mapeo que toma una medida de la secuencia de momentos. ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,.}$

De manera más general, se puede considerar

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.}$

para una secuencia arbitraria de funciones . ${\displaystyle M_{n}}$

Introducción

En el escenario clásico, es una medida sobre la recta real , y es la sucesión . De esta forma, la pregunta aparece en la teoría de la probabilidad , preguntando si existe una medida de probabilidad que tenga media , varianza , etc. especificadas , y si es única. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{x^{n}:n=1,2,\dotsc \}}$

Hay tres problemas de momentos clásicos con nombre: el problema del momento de Hamburgo en el que se permite que el apoyo de sea toda la recta real; el problema del momento de Stieltjes , para ; y el problema del momento de Hausdorff para un intervalo acotado, que sin pérdida de generalidad puede tomarse como . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle [0,1]}$

El problema de momento también se extiende al análisis complejo como el problema de momento trigonométrico en el que las matrices de Hankel se reemplazan por matrices de Toeplitz y el soporte de μ es el círculo unitario complejo en lugar de la línea real. ^[1]

Existencia

Una secuencia de números es la secuencia de momentos de una medida si y sólo si se cumple una determinada condición de positividad; es decir, las matrices de Hankel , ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,}$

debe ser semidefinido positivo . Esto se debe a que una matriz de Hankel semidefinida positiva corresponde a un funcional lineal tal que y (no negativo para suma de cuadrados de polinomios). Supongamos que se puede extender a . En el caso univariado, un polinomio no negativo siempre se puede escribir como suma de cuadrados. Entonces el funcional lineal es positivo para todos los polinomios no negativos en el caso univariado. Según el teorema de Haviland, el funcional lineal tiene forma de medida, es decir . Una condición de forma similar es necesaria y suficiente para la existencia de una medida sustentada en un intervalo determinado . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=m_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda (f^{2})\geq 0}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [a,b]}$

Una forma de probar estos resultados es considerar el funcional lineal que envía un polinomio ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}}$

a

${\displaystyle \sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

Si los momentos de alguna medida se apoyan en , entonces evidentemente ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [a,b]}$

Viceversa, si se cumple ( 1 ), se puede aplicar el teorema de extensión de M. Riesz y extender a un funcional en el espacio de funciones continuas con soporte compacto ), de modo que ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C_{c}([a,b])}$

Según el teorema de representación de Riesz , ( 2 ) se cumple si existe una medida apoyada en , tal que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \varphi (f)=\int f\,d\mu }$

para cada . ${\displaystyle f\in C_{c}([a,b])}$

Por tanto, la existencia de la medida equivale a ( 1 ). Utilizando un teorema de representación para polinomios positivos en , se puede reformular ( 1 ) como una condición en las matrices de Hankel. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [a,b]}$

Unicidad (o determinación)

La unicidad de en el problema del momento de Hausdorff se deriva del teorema de aproximación de Weierstrass , que establece que los polinomios son densos bajo la norma uniforme en el espacio de funciones continuas . Para el problema de un intervalo infinito, la unicidad es una cuestión más delicada. ^[4] Hay distribuciones, como las distribuciones log-normales , que tienen momentos finitos para todos los números enteros positivos pero donde otras distribuciones tienen los mismos momentos. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,1]}$

Solución formal

Cuando la solución existe, se puede escribir formalmente usando derivadas de la función delta de Dirac como

${\displaystyle d\mu (x)=\rho (x)dx,\quad \rho (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)m_{n}}$.

La expresión se puede derivar tomando la transformada de Fourier inversa de su función característica .

Variaciones

Una variación importante es el problema del momento truncado, que estudia las propiedades de medidas con primeros k momentos fijos (para un k finito ). Los resultados del problema del momento truncado tienen numerosas aplicaciones a problemas extremos, teoremas de optimización y límites en la teoría de la probabilidad . ^[3]

Probabilidad

El problema del momento tiene aplicaciones a la teoría de la probabilidad. Lo siguiente se usa comúnmente: ^[5]

Teorema (Fréchet-Shohat)  :  si es una medida determinada (es decir, sus momentos la determinan de forma única), y las medidas son tales que ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \mu _{n}}$

$${\displaystyle \forall k\geq 0\quad \lim _{n\rightarrow \infty }m_{k}\left[\mu _{n}\right]=m_{k}[\mu ],}$$

luego en distribución. ${\textstyle \mu _{n}\rightarrow \mu }$

Al verificar la condición de Carleman , sabemos que la distribución normal estándar es una medida determinada, por lo que tenemos la siguiente forma del teorema del límite central :

Corolario  :  si una secuencia de distribuciones de probabilidad satisface ${\textstyle \nu _{n}}$

$${\displaystyle m_{2k}[\nu _{n}]\to {\frac {(2k)!}{2^{k}k!}};\quad m_{2k+1}[\nu _{n}]\to 0}$$

luego converge a en distribución. ${\textstyle \nu _{n}}$ ${\textstyle N(0,1)}$

Ver también

• La condición de Carleman.
• Problema del momento de la hamburguesa
• matriz de hankel
• problema del momento de hausdorff
• Momento (matemáticas)
• Problema del momento Stieltjes
• Problema de momento trigonométrico

Notas

1. Schmüdgen 2017, pag. 257.
2. Shohat y Tamarkin 1943.
3. Kreĭn y Nudel′man 1977.
4. Akhiezer 1965.
5. Sodin, Sasha (5 de marzo de 2019). "El problema del momento clásico" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 1 de julio de 2022.

Referencias

• Shohat, James Alejandro; Tamarkin, Jacob D. (1943). El problema de los momentos . Nueva York: sociedad matemática estadounidense. ISBN 978-1-4704-1228-9.
• Akhiezer, Naum I. (1965). El problema del momento clásico y algunas cuestiones relacionadas en el análisis . Nueva York: Hafner Publishing Co.(traducido del ruso por N. Kemmer)
• Kreĭn, MG; Nudel'man, AA (1977). El problema del momento de Markov y los problemas extremos . Traducciones de monografías matemáticas. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/mmono/050. ISBN 978-0-8218-4500-4. ISSN  0065-9282.
• Schmüdgen, Konrad (2017). El problema del momento . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 277. Cham: Editorial Internacional Springer. doi :10.1007/978-3-319-64546-9. ISBN 978-3-319-64545-2. ISSN  0072-5285.