La condición de Carleman

En matemáticas, particularmente en análisis , la condición de Carleman proporciona una condición suficiente para la determinación del problema de momentos . Es decir, si una medida satisface la condición de Carleman, no hay otra medida que tenga los mismos momentos que la condición. La condición fue descubierta por Torsten Carleman en 1922. ^[1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu .}$

Problema del momento de la hamburguesa

Para el problema del momento de hamburguesa (el problema del momento en toda la línea real), el teorema establece lo siguiente:

Sea una medida en tal que todos los momentos son finitos. Si entonces el problema de momentos para es determinado ; es decir, es la única medida en con como su secuencia de momentos. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{n}\,d\mu (x)~,\quad n=0,1,2,\cdots }$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }m_{2n}^{-{\frac {1}{2n}}}=+\infty ,}$$ ${\displaystyle (m_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (m_{n})}$

Problema del momento de Stieltjes

Para el problema del momento de Stieltjes , la condición suficiente para la determinación es $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }m_{n}^{-{\frac {1}{2n}}}=+\infty .}$$

Enfermedad de Carleman generalizada

En ^[2], Nasiraee et al. demostraron que, a pesar de los supuestos previos, ^[3] cuando el integrando es una función arbitraria, la condición de Carleman no es suficiente, como lo demuestra un contraejemplo. De hecho, el ejemplo viola la propiedad de biyección, es decir, de determinación, en el teorema de suma de probabilidad. Cuando el integrando es una función arbitraria, establecen además una condición suficiente para la determinación del problema del momento, denominada condición de Carleman generalizada .

Notas

1. Akhiezer (1965)
2. M. Nasiraee, Jav. Kazemitabar y Jal. Kazemitabar, "La propiedad de biyección en la ley de probabilidad total y su aplicación en la teoría de la comunicación", en IEEE Communications Letters, doi: 10.1109/LCOMM.2024.3447352.
3. SS Shamai, “Capacidad de un canal de fotones de detección directa modulado en amplitud de pulso”, IEE Proceedings I (Comunicaciones, habla y visión), vol. 137, núm. 6, págs. 424–430, diciembre de 1990.

Referencias

• Akhiezer, NI (1965). El problema del momento clásico y algunas cuestiones relacionadas en el análisis . Oliver & Boyd.
• Capítulo 3.3, Durrett, Richard. Probabilidad: teoría y ejemplos . 5.ª ed. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics 49. Cambridge; Nueva York, NY: Cambridge University Press, 2019.