Geodésicas de Schwarzschild

Trayectorias de partículas en la solución de Schwarzschild para las ecuaciones de campo de Einstein

En la relatividad general , las geodésicas de Schwarzschild describen el movimiento de partículas de prueba en el campo gravitatorio de una masa fija central , es decir, el movimiento en la métrica de Schwarzschild. Las geodésicas de Schwarzschild han sido fundamentales para la validación de la teoría de la relatividad general de Einstein . Por ejemplo, proporcionan predicciones precisas de la precesión anómala de los planetas del Sistema Solar y de la desviación de la luz por la gravedad. ${\textstyle M,}$

Las geodésicas de Schwarzschild se refieren únicamente al movimiento de partículas de masas tan pequeñas que contribuyen poco al campo gravitatorio. Sin embargo, son muy precisas en muchos escenarios astrofísicos siempre que sea varias veces menor que la masa central , por ejemplo, para planetas que orbitan alrededor de su estrella. Las geodésicas de Schwarzschild también son una buena aproximación al movimiento relativo de dos cuerpos de masa arbitraria, siempre que la masa de Schwarzschild sea igual a la suma de las dos masas individuales y . Esto es importante para predecir el movimiento de estrellas binarias en la relatividad general. ${\textstyle m}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle m_{1}}$ ${\textstyle m_{2}}$

Contexto histórico

La métrica de Schwarzschild recibe su nombre en honor a su descubridor, Karl Schwarzschild , quien encontró la solución en 1915, solo un mes después de la publicación de la teoría de la relatividad general de Einstein. Fue la primera solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein, aparte de la solución trivial del espacio plano .

En 1931, Yusuke Hagihara publicó un artículo que mostraba que la trayectoria de una partícula de prueba en la métrica de Schwarzschild se puede expresar en términos de funciones elípticas . ^[1]

Samuel Kaplan en 1949 demostró que existe un radio mínimo para que la órbita circular sea estable en la métrica de Schwarzschild. ^[2]

Métrica de Schwarzschild

Una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein es la métrica de Schwarzschild , que corresponde al campo gravitacional externo de un cuerpo de masa 1,5, no cargado, no rotatorio y esféricamente simétrico . La solución de Schwarzschild se puede escribir como ^[3] ${\textstyle M}$

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2})}$

dónde

${\displaystyle \tau }$, en el caso de una partícula de prueba de pequeña masa positiva, es el tiempo propio (tiempo medido por un reloj que se mueve con la partícula) en segundos,

${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en metros por segundo,

${\displaystyle t}$es, para , la coordenada de tiempo (tiempo medido por un reloj estacionario en el infinito) en segundos, ${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$

${\displaystyle r}$es, para , la coordenada radial (circunferencia de un círculo centrado en la estrella dividida por ) en metros, ${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \theta }$es la colatitud (ángulo desde el Norte) en radianes,

${\displaystyle \varphi }$es la longitud en radianes, y

${\displaystyle r_{\text{s}}}$es el radio de Schwarzschild del cuerpo masivo (en metros), que está relacionado con su masa por ${\textstyle M}$

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

donde es la constante gravitacional . La teoría clásica newtoniana de la gravedad se recupera en el límite cuando el cociente tiende a cero. En ese límite, la métrica vuelve a la definida por la relatividad especial . ${\textstyle G}$ ${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

En la práctica, esta relación es casi siempre extremadamente pequeña. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild de la Tierra es de aproximadamente 9 mm ( 3 ⁄ 8  pulgadas); en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son solo una parte en mil millones. El radio de Schwarzschild del Sol es mucho mayor, aproximadamente 2953 metros, pero en su superficie, la relación es de aproximadamente 4 partes en un millón. Una estrella enana blanca es mucho más densa, pero incluso aquí la relación en su superficie es de aproximadamente 250 partes en un millón. La relación solo se vuelve grande cerca de objetos ultradensos como las estrellas de neutrones (donde la relación es de aproximadamente el 50%) y los agujeros negros . ${\textstyle r_{\text{s}}}$ ${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

Órbitas de partículas de prueba

Comparación entre la órbita de una partícula de prueba en el espacio-tiempo newtoniano (izquierda) y de Schwarzschild (derecha); observe la precesión apsidal a la derecha.

Podemos simplificar el problema utilizando simetría para eliminar una variable de la consideración. Dado que la métrica de Schwarzschild es simétrica respecto de , cualquier geodésica que comience a moverse en ese plano permanecerá en ese plano indefinidamente (el plano es totalmente geodésico ). Por lo tanto, orientamos el sistema de coordenadas de modo que la órbita de la partícula se encuentre en ese plano y fijamos la coordenada de modo que la métrica (de este plano) se simplifique a ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.}$

Se pueden identificar dos constantes de movimiento (valores que no cambian con el tiempo propio ) (véase la deducción que se da a continuación). Una es la energía total : ${\displaystyle \tau }$ ${\textstyle E}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

y el otro es el momento angular específico :

${\displaystyle h={\frac {L}{\mu }}=r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }},}$

donde es el momento angular total de los dos cuerpos, y es la masa reducida . Cuando , la masa reducida es aproximadamente igual a . A veces se supone que . En el caso del planeta Mercurio , esta simplificación introduce un error más del doble de grande que el efecto relativista. Cuando se habla de geodésicas, puede considerarse ficticio, y lo que importa son las constantes y . Para cubrir todas las geodésicas posibles, necesitamos considerar casos en los que es infinito (dando trayectorias de fotones ) o imaginario (para geodésicas taquiónicas ). Para el caso fotónico, también necesitamos especificar un número correspondiente a la relación de las dos constantes, a saber , , que puede ser cero o un número real distinto de cero. ${\textstyle L}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle M\gg m}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle m=\mu }$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle {\frac {E}{m}}}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle {\frac {E}{m}}}$ ${\textstyle {\frac {mh}{E}}}$

Sustituyendo estas constantes en la definición de la métrica de Schwarzschild

${\displaystyle c^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2},}$

produce una ecuación de movimiento para el radio en función del tiempo propio : ${\textstyle \tau }$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$

La solución formal a esto es

${\displaystyle \tau =\int {\frac {dr}{\pm {\sqrt {{\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

Tenga en cuenta que la raíz cuadrada será imaginaria para las geodésicas taquiónicas.

Usando la relación anterior entre y , también podemos escribir ${\textstyle {\frac {dt}{d\tau }}}$ ${\textstyle E}$

${\displaystyle t=\int {\frac {dr}{\pm c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\sqrt {1-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {m^{2}c^{2}}{E^{2}}}}}}}.}$

Como asintóticamente el integrando es inversamente proporcional a , esto demuestra que en el marco de referencia si tiende a , lo hace exponencialmente sin alcanzarlo nunca. Sin embargo, como función de , alcanza . ${\textstyle r-r_{\text{s}}}$ ${\textstyle r,\theta ,\varphi ,t}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle r_{\text{s}}}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle r_{\text{s}}}$

Las soluciones anteriores son válidas mientras el integrando sea finito, pero una solución total puede involucrar dos o una infinidad de partes, cada una descrita por la integral pero con signos alternos para la raíz cuadrada.

Cuando y , podemos resolver y explícitamente: ${\textstyle E=mc^{2}}$ ${\textstyle h=0}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\text{constant}}\pm {\frac {r_{\text{s}}}{c}}\left({\frac {2}{3}}\left({\frac {r}{r_{\text{s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}+2{\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}+\ln {\frac {\left|{\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}-1\right|}{{\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}+1}}\right)\\\tau &={\text{constant}}\pm {\frac {2}{3}}{\frac {r_{\text{s}}}{c}}\left({\frac {r}{r_{\text{s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}\end{aligned}}}$

y para geodésicas fotónicas ( ) con momento angular cero ${\textstyle m=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\text{constant}}\pm {\frac {1}{c}}\left(r+r_{\text{s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1\right|\right)\\\tau &={\text{constant}}.\end{aligned}}}$

(Aunque el tiempo propio es trivial en el caso fotónico, se puede definir un parámetro afín , y entonces la solución de la ecuación geodésica es .) ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle r=c_{1}\lambda +c_{2}}$

Otro caso solucionable es aquel en el que y y son constantes. En el volumen donde esto da para el tiempo propio ${\textstyle E=0}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle r<r_{\text{s}}}$

${\displaystyle \tau ={\text{constant}}\pm {\frac {r_{\text{s}}}{c}}\left(\arcsin {\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}-{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}\left(1-{\frac {r}{r_{\text{s}}}}\right)}}\right).}$

Esto se acerca a las soluciones con valores pequeños y positivos. El exterior de la solución es taquiónico y el "tiempo propio" es similar al espacio: ${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$ ${\textstyle r_{\text{s}}}$ ${\textstyle E=0}$

${\displaystyle \tau ={\text{constant}}\pm i{\frac {r_{\text{s}}}{c}}\left(\ln \left({\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}+{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1}}\right)+{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}\left({\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1\right)}}\right).}$

Esto es similar a otras soluciones taquiónicas con valores pequeños y negativos. La geodésica taquiónica constante en el exterior no se continúa con una geodésica constante en el interior , sino que continúa en una "región exterior paralela" (ver coordenadas de Kruskal-Szekeres ). Otras soluciones taquiónicas pueden entrar en un agujero negro y volver a salir en la región exterior paralela. La solución constante dentro del horizonte de sucesos ( ) se continúa con una solución constante en un agujero blanco . ${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle r_{\text{s}}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle r_{\text{s}}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle r_{\text{s}}}$ ${\textstyle t}$

Cuando el momento angular no es cero podemos reemplazar la dependencia del tiempo propio por una dependencia del ángulo usando la definición de ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle h}$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {r^{2}}{h}}\right)^{2},}$

lo que produce la ecuación para la órbita

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

donde, para abreviar, se han definido dos escalas de longitud, y , mediante ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {h}{c}},\\b&={\frac {cL}{E}}={\frac {hmc}{E}}.\end{aligned}}}$

Nótese que en el caso taquiónico, será imaginario y real o infinito. ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

La misma ecuación también se puede derivar utilizando un enfoque lagrangiano ^[4] o la ecuación de Hamilton-Jacobi ^[5] (ver más abajo). La solución de la ecuación de la órbita es

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{\pm r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

Esto puede expresarse en términos de la función elíptica de Weierstrass . ^[6] ${\textstyle \wp }$

Velocidades locales y retardadas

A diferencia de la mecánica clásica, en las coordenadas de Schwarzschild y no son los componentes radial y transversal de la velocidad local (relativa a un observador estacionario), sino que dan los componentes de la celeridad que están relacionados con ${\textstyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau }}}$ ${\textstyle r\ {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}\tau }}}$ ${\textstyle v_{\parallel }}$ ${\textstyle v_{\perp }}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle v}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau }}=v_{\parallel }{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\ \gamma }$

para el radial y

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}\tau }}={\frac {v_{\perp }}{r}}\ \gamma }$

para el componente transversal del movimiento, con . El contador de coordenadas que se encuentra lejos de la escena observa la velocidad retardada por Shapiro , que está dada por la relación ${\textstyle v^{2}=v_{\parallel }^{2}+v_{\perp }^{2}}$ ${\textstyle {\hat {v}}}$

${\displaystyle {\hat {v}}_{\perp }=v_{\perp }{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}}$y . ${\displaystyle {\hat {v}}_{\parallel }=v_{\parallel }\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}$

El factor de dilatación del tiempo entre el contador y la partícula de prueba en movimiento también se puede expresar en la forma

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\tau }{{\rm {d}}t}}={\frac {\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}{\gamma }}}$

donde el numerador es la componente gravitacional y el denominador es el componente cinemático de la dilatación del tiempo. Para una partícula que cae desde el infinito, el factor izquierdo es igual al factor derecho, ya que la velocidad de caída coincide con la velocidad de escape en este caso. ${\textstyle v}$ ${\textstyle c{\sqrt {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}$

Las dos constantes momento angular y energía total de una partícula de prueba con masa están en términos de ${\textstyle L}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle v}$

${\displaystyle L=m\ v_{\perp }\ r\ \gamma }$

y

${\displaystyle E=mc^{2}\ {\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\ \gamma }$

dónde

${\displaystyle E=E_{\rm {rest}}+E_{\rm {kin}}+E_{\rm {pot}}}$

y

${\displaystyle E_{\rm {rest}}=mc^{2}\ ,\ \ E_{\rm {kin}}=(\gamma -1)mc^{2}\ ,\ \ E_{\rm {pot}}=\left({\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}-1\right)\ \gamma \ mc^{2}}$

Para partículas de prueba masivas, el factor de Lorentz y es el tiempo propio, mientras que para partículas sin masa, como los fotones, se establece en y asume el papel de un parámetro afín. Si la partícula no tiene masa, se reemplaza por y por , donde es la constante de Planck y la frecuencia observada localmente. ${\textstyle \gamma }$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle \gamma }$ ${\textstyle 1}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle E_{\rm {rest}}}$ ${\textstyle E_{\rm {kin}}}$ ${\textstyle mc^{2}}$ ${\textstyle hf}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle f}$

Solución exacta utilizando funciones elípticas

La ecuación fundamental de la órbita es más fácil de resolver ^{[nota 1]} si se expresa en términos del radio inverso ${\textstyle u={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-ur_{\text{s}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+u^{2}\right)}$

El lado derecho de esta ecuación es un polinomio cúbico , que tiene tres raíces , denotadas aquí como , , y ${\textstyle u_{1}}$ ${\textstyle u_{2}}$ ${\textstyle u_{3}}$

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}=r_{\text{s}}\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right)}$

La suma de las tres raíces es igual al coeficiente del término. ${\textstyle u^{2}}$

${\displaystyle u_{1}+u_{2}+u_{3}={\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$

Un polinomio cúbico con coeficientes reales puede tener tres raíces reales o una raíz real y dos raíces conjugadas complejas . Si las tres raíces son números reales , las raíces se etiquetan de modo que . Si, en cambio, solo hay una raíz real, entonces se denota como ; las raíces conjugadas complejas se etiquetan como y . Usando la regla de signos de Descartes , puede haber como máximo una raíz negativa; es negativo si y solo si . Como se analiza a continuación, las raíces son útiles para determinar los tipos de órbitas posibles. ${\textstyle u_{1}<u_{2}<u_{3}}$ ${\textstyle u_{3}}$ ${\textstyle u_{1}}$ ${\textstyle u_{2}}$ ${\textstyle u_{1}}$ ${\textstyle b<a}$

Dado este etiquetado de las raíces, la solución de la ecuación orbital fundamental es

${\displaystyle u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right)\,\mathrm {sn} ^{2}\left({\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}+\delta \right)}$

donde representa la función seno amplitudino (una de las funciones elípticas de Jacobi ) y es una constante de integración que refleja la posición inicial. El módulo elíptico de esta función elíptica viene dado por la fórmula ${\textstyle \mathrm {sn} }$ ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle k}$

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}}}}}$

Límite newtoniano

Para recuperar la solución newtoniana para las órbitas planetarias, se toma el límite a medida que el radio de Schwarzschild tiende a cero. En este caso, la tercera raíz se convierte aproximadamente en , y mucho mayor que o . Por lo tanto, el módulo tiende a cero; en ese límite, se convierte en la función seno trigonométrica ${\textstyle r_{\text{s}}}$ ${\textstyle u_{3}}$ ${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$ ${\textstyle u_{1}}$ ${\textstyle u_{2}}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle \mathrm {sn} }$

${\displaystyle u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right)\,\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\varphi +\delta \right)}$

En consonancia con las soluciones de Newton para los movimientos planetarios, esta fórmula describe una cónica focal de excentricidad. ${\textstyle e}$

${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$

Si es un número real positivo, entonces la órbita es una elipse donde y representan las distancias de aproximación más lejana y más cercana, respectivamente. Si es cero o un número real negativo, la órbita es una parábola o una hipérbola , respectivamente. En estos dos últimos casos, representa la distancia de aproximación más cercana; dado que la órbita tiende al infinito ( ), no hay distancia de aproximación más lejana. ${\textstyle u_{1}}$ ${\textstyle u_{1}}$ ${\textstyle u_{2}}$ ${\textstyle u_{1}}$ ${\textstyle u_{2}}$ ${\textstyle u=0}$

Raíces y panorama de posibles órbitas

Una raíz representa un punto de la órbita donde la derivada se anula, es decir, donde . En dicho punto de inflexión, alcanza un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, dependiendo del valor de la segunda derivada, que viene dado por la fórmula ${\textstyle {\frac {du}{d\phi }}=0}$ ${\textstyle u}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}={\frac {r_{\text{s}}}{2}}\left[\left(u-u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\right]}$

Si las tres raíces son números reales distintos, la segunda derivada es positiva, negativa y positiva en u ₁ , u ₂ y u ₃ , respectivamente. De ello se deduce que una gráfica de u en función de φ puede oscilar entre u ₁ y u ₂ , o puede alejarse de u ₃ hacia el infinito (lo que corresponde a que r se acerque a cero). Si u ₁ es negativa, solo se producirá una parte de una "oscilación". Esto corresponde a que la partícula viene del infinito, se acerca a la masa central y luego se aleja nuevamente hacia el infinito, como la trayectoria hiperbólica en la solución clásica.

Si la partícula tiene la cantidad justa de energía para su momento angular, u ₂ y u ₃ se fusionarán. Hay tres soluciones en este caso. La órbita puede entrar en espiral hasta , acercándose a ese radio como (asintóticamente) una exponencial decreciente en φ, o . O se puede tener una órbita circular en ese radio. O se puede tener una órbita que desciende en espiral desde ese radio hasta el punto central. El radio en cuestión se llama radio interior y está entre y 3 veces r _s . Una órbita circular también resulta cuando es igual a , y esto se llama radio exterior. Estos diferentes tipos de órbitas se analizan a continuación. ${\textstyle r={\frac {1}{u_{2}}}={\frac {1}{u_{3}}}}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ ${\textstyle u_{2}}$ ${\textstyle u_{1}}$

Si la partícula llega a la masa central con suficiente energía y un momento angular suficientemente bajo, entonces solo será real. Esto corresponde a la partícula cayendo en un agujero negro. La órbita gira en espiral con un cambio finito en φ. ${\textstyle u_{1}}$

Precesión de órbitas

La función sn y su cuadrado sn ² tienen períodos de 4 K y 2 K , respectivamente, donde K está definido por la ecuación ^{[nota 2]}

${\displaystyle K=\int _{0}^{1}{\frac {dy}{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-k^{2}y^{2}\right)}}}}$

Por lo tanto, el cambio en φ durante una oscilación de (o, equivalentemente, una oscilación de ) es igual a ^[7] ${\textstyle u}$ ${\textstyle r}$

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {4K}{\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}}}$

En el límite clásico, u ₃ se aproxima a y es mucho mayor que o . Por lo tanto, es aproximadamente ${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$ ${\textstyle u_{1}}$ ${\textstyle u_{2}}$ ${\textstyle k^{2}}$

${\displaystyle k^{2}={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}}}\approx r_{\text{s}}\left(u_{2}-u_{1}\right)\ll 1}$

Por las mismas razones, el denominador de Δφ es aproximadamente

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-r_{\text{s}}\left(2u_{1}+u_{2}\right)}}}\approx 1+{\frac {1}{2}}r_{\text{s}}\left(2u_{1}+u_{2}\right)}$

Dado que el módulo es cercano a cero, el período K se puede expandir en potencias de ; hasta el orden más bajo, esta expansión produce ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$

${\displaystyle K\approx \int _{0}^{1}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}\left(1+{\frac {1}{2}}k^{2}y^{2}\right)={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {k^{2}}{4}}\right)}$

Sustituyendo estas aproximaciones en la fórmula para Δφ se obtiene una fórmula para el avance angular por oscilación radial.

${\displaystyle \delta \varphi =\Delta \varphi -2\pi \approx {\frac {3}{2}}\pi r_{\text{s}}\left(u_{1}+u_{2}\right)}$

Para una órbita elíptica, y representan las inversas de las distancias más larga y más corta, respectivamente. Estas pueden expresarse en términos del semieje mayor de la elipse y su excentricidad orbital . ${\textstyle u_{1}}$ ${\textstyle u_{2}}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{max}}&={\frac {1}{u_{1}}}=A(1+e)\\r_{\text{min}}&={\frac {1}{u_{2}}}=A(1-e)\end{aligned}}}$

donación

${\displaystyle u_{1}+u_{2}={\frac {2}{A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Sustituyendo la definición de se obtiene la ecuación final ${\textstyle r_{\text{s}}}$

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Curvatura de la luz por la gravedad

Diagrama de la lente gravitacional de un cuerpo compacto

En el límite, a medida que la masa de la partícula m tiende a cero (o, equivalentemente, si la luz se dirige directamente hacia la masa central, a medida que la escala de longitud a tiende al infinito), la ecuación para la órbita se convierte en

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}}$

Desarrollando en potencias de , el término de orden principal en esta fórmula da la desviación angular aproximada δ φ para una partícula sin masa que entra desde el infinito y regresa al infinito: ${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {2r_{\text{s}}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.}$

Aquí, el parámetro de impacto es algo mayor que la distancia de aproximación más cercana : ^[8] ${\textstyle b}$ ${\textstyle r_{3}}$

${\displaystyle b=r_{3}{\sqrt {\frac {r_{3}}{r_{3}-r_{\text{s}}}}}}$

Aunque esta fórmula es aproximada, es precisa para la mayoría de las mediciones de lentes gravitacionales , debido a lo pequeño de la relación . Para la luz que roza la superficie del sol, la desviación angular aproximada es de aproximadamente 1,75  segundos de arco , aproximadamente una millonésima parte de un círculo. ${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

De manera más general, la geodésica de un fotón emitido desde una fuente de luz ubicada en una coordenada radial se puede calcular de la siguiente manera, aplicando la ecuación ${\displaystyle r={1 \over u}\in [r_{s},\infty [}$

${\displaystyle {\left({du \over d\varphi }\right)^{2}}=r_{s}\ u^{3}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}$

Geodésica de un fotón emitido desde una fuente de luz ubicada en el horizonte de sucesos de un agujero negro y de regreso a él, con un parámetro de impacto . ${\displaystyle b>b_{crit}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}r_{s}}$

Geodésica de un fotón emitido desde una fuente de luz situada en el horizonte de sucesos de un agujero negro, con un parámetro de impacto y luego desplazándose a la órbita inestable . Si el fotón se libera hacia el infinito. ${\displaystyle b=b_{crit}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}r_{s}}$ ${\displaystyle r_{crit}={3 \over 2}r_{s}}$ ${\displaystyle b<b_{crit}}$

La ecuación se puede derivar como

${\displaystyle 2\ {\frac {du}{d\varphi }}{\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=3\ r_{s}u^{2}{\frac {du}{d\varphi }}-2\ u{\frac {du}{d\varphi }}}$

Lo que conduce a

${\displaystyle {d^{2}u \over d\varphi ^{2}}={\frac {3}{2}}\ r_{s}\ u^{2}-\ u}$

Esta ecuación con segunda derivada se puede integrar numéricamente de la siguiente manera mediante un método de Runge-Kutta de cuarto orden, considerando un tamaño de paso y con: ${\displaystyle \Delta \varphi }$

${\displaystyle k_{1}={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}(u)}$,

${\displaystyle k_{2}={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}{\bigl (}u+{\frac {\Delta \varphi }{2}}{du \over d\varphi }{\bigr )}}$,

${\displaystyle k_{3}={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}{\Bigl (}u+{\frac {\Delta \varphi }{2}}{du \over d\varphi }+{\frac {\Delta \varphi ^{2}}{4}}k_{1}{\Bigr )}}$y

${\displaystyle k_{4}={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}{\Bigl (}u+\Delta \varphi {du \over d\varphi }+{\frac {\Delta \varphi ^{2}}{2}}k_{2}{\Bigr )}}$.

El valor en el siguiente paso es ${\displaystyle {du \over d\varphi }(\varphi +\Delta \varphi )}$

${\displaystyle {du \over d\varphi }(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi }{6}}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})}$

y el valor en el siguiente paso es ${\displaystyle u(\varphi +\Delta \varphi )}$

${\displaystyle u(\varphi )+\Delta \varphi {du \over d\varphi }(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi ^{2}}{6}}(k_{1}+k_{2}+k_{3})}$

El paso se puede elegir para que sea constante o adaptativo, dependiendo de la precisión requerida . ${\displaystyle \Delta \varphi }$ ${\displaystyle r={1 \over u}}$

Relación con la física newtoniana

Energía potencial radial efectiva

La ecuación de movimiento para la partícula derivada anteriormente

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m\mu r^{2}}}+{\frac {r_{\text{s}}L^{2}}{m\mu r^{3}}}}$

se puede reescribir utilizando la definición del radio de Schwarzschild r _s como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}},}$

lo que equivale a una partícula que se mueve en un potencial efectivo unidimensional

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$

Los dos primeros términos son energías clásicas bien conocidas: la primera es la energía potencial gravitatoria de atracción newtoniana y la segunda corresponde a la energía potencial "centrífuga" de repulsión ; sin embargo, el tercer término es una energía de atracción exclusiva de la relatividad general . Como se muestra a continuación y en otros lugares , esta energía cúbica inversa hace que las órbitas elípticas precesen gradualmente en un ángulo δφ por revolución.

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

donde es el semieje mayor y es la excentricidad. ${\textstyle A}$ ${\textstyle e}$

El tercer término es atractivo y domina en valores pequeños, dando un radio interno crítico r _interior en el cual una partícula es atraída inexorablemente hacia adentro a ; este radio interno es una función del momento angular de la partícula por unidad de masa o, equivalentemente, la escala de longitud definida anteriormente. ${\textstyle r}$ ${\textstyle r=0}$ ${\textstyle a}$

Órbitas circulares y su estabilidad

Potencial radial efectivo para diversos momentos angulares. En radios pequeños, la energía cae precipitadamente, lo que hace que la partícula sea atraída inexorablemente hacia adentro hasta . Sin embargo, cuando el momento angular normalizado es igual a la raíz cuadrada de tres, es posible una órbita circular metaestable en el radio resaltado con un círculo verde. En momentos angulares más altos, hay una barrera centrífuga significativa (curva naranja) y un radio interno inestable, resaltado en rojo. ${\textstyle r=0}$ ${\textstyle {\frac {a}{r_{\text{s}}}}={\frac {L}{mcr_{\text{s}}}}}$

El potencial efectivo se puede reescribir en términos de la longitud . ${\textstyle V}$ ${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$

${\displaystyle V(r)={\frac {\mu c^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{\text{s}}a^{2}}{r^{3}}}\right]}$

Las órbitas circulares son posibles cuando la fuerza efectiva es cero

${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {\mu c^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{\text{s}}r^{2}-2a^{2}r+3r_{\text{s}}a^{2}\right]=0}$

Es decir, cuando las dos fuerzas de atracción —la gravedad newtoniana (primer término) y la atracción propia de la relatividad general (tercer término)— están exactamente equilibradas por la fuerza centrífuga repulsiva (segundo término). Hay dos radios en los que puede producirse este equilibrio, denotados aquí como r _interior y r _exterior.

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&={\frac {a^{2}}{r_{\text{s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{a^{2}}}}}\right)\\[3pt]r_{\text{inner}}&={\frac {a^{2}}{r_{\text{s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\text{outer}}}}\end{aligned}}}$

que se obtienen utilizando la fórmula cuadrática . El radio interior r _interior es inestable, porque la tercera fuerza atractiva se fortalece mucho más rápido que las otras dos fuerzas cuando r se vuelve pequeño; si la partícula se desliza ligeramente hacia adentro desde r _interior (donde las tres fuerzas están en equilibrio), la tercera fuerza domina a las otras dos y atrae a la partícula inexorablemente hacia adentro hasta r = 0. En el radio exterior, sin embargo, las órbitas circulares son estables; el tercer término es menos importante y el sistema se comporta más como el problema de Kepler no relativista .

Cuando es mucho mayor que (el caso clásico), estas fórmulas se vuelven aproximadamente ${\textstyle a}$ ${\textstyle r_{\text{s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&\approx {\frac {2a^{2}}{r_{\text{s}}}}\\[3pt]r_{\text{inner}}&\approx {\frac {3}{2}}r_{\text{s}}\end{aligned}}}$

Los radios estables e inestables se representan gráficamente en función del momento angular normalizado en azul y rojo, respectivamente. Estas curvas se encuentran en una órbita circular única (círculo verde) cuando el momento angular normalizado es igual a la raíz cuadrada de tres. A modo de comparación, el radio clásico predicho a partir de la aceleración centrípeta y la ley de la gravedad de Newton se representa gráficamente en negro. ${\textstyle {\frac {a}{r_{\text{s}}}}={\frac {L}{mcr_{\text{s}}}}}$

Sustituyendo las definiciones de y r _s en r _exterior se obtiene la fórmula clásica para una partícula de masa que orbita un cuerpo de masa . ${\textstyle a}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle M}$

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }^{3}={\frac {G(M+m)}{\omega _{\varphi }^{2}}}}$

donde ω _φ es la velocidad angular orbital de la partícula. Esta fórmula se obtiene en mecánica no relativista igualando la fuerza centrífuga a la fuerza gravitatoria newtoniana:

${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega _{\varphi }^{2}r}$

¿Dónde está la masa reducida ? ${\textstyle \mu }$

En nuestra notación, la velocidad angular orbital clásica es igual a

${\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{\text{s}}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{\text{s}}^{4}}{16a^{6}}}}$

En el otro extremo, cuando un ² se acerca a 3 r _s ² desde arriba, los dos radios convergen a un único valor.

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{\text{s}}}$

Las soluciones cuadráticas anteriores aseguran que r _exterior sea siempre mayor que 3 r _s , mientras que r _interior se encuentra entre 3 ⁄ 2 r _s y 3 r _s . Las órbitas circulares menores que 3 ⁄ 2 r _s no son posibles. Para partículas sin masa, a tiende al infinito, lo que implica que hay una órbita circular para fotones en r _interior = 3 ⁄ 2 r _s . La esfera de este radio a veces se conoce como esfera de fotones .   

Precesión de órbitas elípticas

En el problema no relativista de Kepler , una partícula sigue la misma elipse perfecta (órbita roja) eternamente. La relatividad general introduce una tercera fuerza que atrae a la partícula ligeramente más fuertemente que la gravedad newtoniana, especialmente en radios pequeños. Esta tercera fuerza hace que la órbita elíptica de la partícula precese (órbita cian) en la dirección de su rotación; este efecto se ha medido en Mercurio , Venus y la Tierra. El punto amarillo dentro de las órbitas representa el centro de atracción, como el Sol .

La tasa de precesión orbital se puede derivar utilizando este potencial radial efectivo V . Una pequeña desviación radial de una órbita circular de radio r _exterior oscilará de manera estable con una frecuencia angular

${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}}$

Lo cual es igual

${\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{a^{2}}}}}}$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y realizando una expansión en serie de Taylor se obtiene

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left[1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{4a^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {r_{\text{s}}^{4}}{a^{4}}}\right)\right]}$

Multiplicando por el período T de una revolución se obtiene la precesión de la órbita por revolución.

${\displaystyle \delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{\text{s}}^{2}}$

donde hemos utilizado ω _φ T = 2 п y la definición de la escala de longitud a . Sustituyendo la definición del radio de Schwarzschild r _s se obtiene

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$

Esto se puede simplificar utilizando el semieje A de la órbita elíptica y la excentricidad e relacionada por la fórmula

${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\right)}$

para dar el ángulo de precesión

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Derivaciones matemáticas de la ecuación orbital

Símbolos de Christoffel

Los símbolos de Christoffel que no desaparecen para la métrica de Schwarzschild son: ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{rt}^{t}=-\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {r_{\text{s}}}{2r(r-r_{\text{s}})}}\\[3pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {r_{\text{s}}(r-r_{\text{s}})}{2r^{3}}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=(r_{\text{s}}-r)\sin ^{2}(\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=r_{\text{s}}-r\\[3pt]\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{r\phi }^{\phi }&={\frac {1}{r}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=-\sin(\theta )\cos(\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=\cot(\theta )\end{aligned}}}$

Ecuación geodésica

Según la teoría de la relatividad general de Einstein, las partículas de masa despreciable viajan a lo largo de geodésicas en el espacio-tiempo. En un espacio-tiempo plano, lejos de una fuente de gravedad, estas geodésicas corresponden a líneas rectas; sin embargo, pueden desviarse de las líneas rectas cuando el espacio-tiempo es curvo. La ecuación para las líneas geodésicas es ^[10]

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=0}$

donde Γ representa el símbolo de Christoffel y la variable parametriza la trayectoria de la partícula a través del espacio-tiempo , su llamada línea del mundo . El símbolo de Christoffel depende solo del tensor métrico , o más bien de cómo cambia con la posición. La variable es un múltiplo constante del tiempo propio para órbitas temporales (que recorren las partículas masivas), y generalmente se toma como igual a él. Para órbitas similares a la luz (o nulas) (que recorren partículas sin masa como el fotón ), el tiempo propio es cero y, estrictamente hablando, no se puede usar como la variable . Sin embargo, las órbitas similares a la luz se pueden derivar como el límite ultrarrelativista de las órbitas temporales, es decir, el límite cuando la masa de la partícula m tiende a cero mientras mantiene fija su energía total . ${\textstyle q}$ ${\textstyle g_{\mu \nu }}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle q}$

Por lo tanto, para resolver el movimiento de una partícula, la forma más sencilla es resolver la ecuación geodésica, un enfoque adoptado por Einstein ^[11] y otros. ^[12] La métrica de Schwarzschild puede escribirse como

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=w(r)c^{2}dt^{2}-v(r)dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$

donde las dos funciones y su recíproca se definen para abreviar. A partir de esta métrica, se pueden calcular los símbolos de Christoffel y sustituir los resultados en las ecuaciones geodésicas. ${\textstyle w(r)=1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$ ${\textstyle v(r)={\frac {1}{w(r)}}}$ ${\textstyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d^{2}\theta }{dq^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\theta }{dq}}{\frac {dr}{dq}}-\sin \theta \cos \theta \left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}\phi }{dq^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\phi }{dq}}{\frac {dr}{dq}}+2\cot \theta {\frac {d\phi }{dq}}{\frac {d\theta }{dq}}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}t}{dq^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {dw}{dr}}{\frac {dt}{dq}}{\frac {dr}{dq}}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}r}{dq^{2}}}-{\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dr}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-{\frac {r}{v}}\left({\frac {d\theta }{dq}}\right)^{2}-{\frac {r\sin ^{2}\theta }{v}}\left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}+{\frac {c^{2}}{2v}}{\frac {dw}{dr}}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Se puede verificar que es una solución válida mediante la sustitución en la primera de estas cuatro ecuaciones. Por simetría, la órbita debe ser plana y tenemos libertad para disponer el sistema de coordenadas de modo que el plano ecuatorial sea el plano de la órbita. Esta solución simplifica la segunda y la cuarta ecuaciones. ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle \theta }$

Para resolver la segunda y tercera ecuaciones, basta dividirlas por y , respectivamente. ${\textstyle {\frac {d\phi }{dq}}}$ ${\textstyle {\frac {dt}{dq}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dq}}\left[\ln {\frac {d\phi }{dq}}+\ln r^{2}\right]\\[3pt]0&={\frac {d}{dq}}\left[\ln {\frac {dt}{dq}}+\ln w\right],\end{aligned}}}$

lo que produce dos constantes de movimiento.

Enfoque lagrangiano

Debido a que las partículas de prueba siguen geodésicas en una métrica fija, las órbitas de esas partículas pueden determinarse utilizando el cálculo de variaciones, también llamado enfoque lagrangiano. ^[13] Las geodésicas en el espacio-tiempo se definen como curvas para las cuales pequeñas variaciones locales en sus coordenadas (mientras se mantienen fijos sus eventos de puntos finales) no producen cambios significativos en su longitud total s . Esto puede expresarse matemáticamente utilizando el cálculo de variaciones

${\displaystyle 0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau }$

donde τ es el tiempo propio , s = cτ es la longitud de arco en el espacio-tiempo y T se define como

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2}}$

En analogía con la energía cinética , si la derivada con respecto al tiempo propio se representa con un punto para abreviar.

${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$

T puede escribirse como

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}}$

Los factores constantes (como c o la raíz cuadrada de dos) no afectan la respuesta al problema variacional; por lo tanto, al tomar la variación dentro de la integral se obtiene el principio de Hamilton.

${\displaystyle 0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .}$

La solución del problema variacional viene dada por las ecuaciones de Lagrange.

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.}$

Cuando se aplican a t y φ , estas ecuaciones revelan dos constantes de movimiento

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]&=0,\\{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]&=0,\end{aligned}}}$

que puede expresarse en términos de dos escalas de longitud constantes, y ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}&=ac,\\\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}&={\frac {a}{b}}.\end{aligned}}}$

Como se muestra arriba, la sustitución de estas ecuaciones en la definición de la métrica de Schwarzschild produce la ecuación de la órbita.

Enfoque hamiltoniano

Una solución lagrangiana se puede reformular en una forma hamiltoniana equivalente. ^[14] En este caso, el hamiltoniano viene dado por ${\displaystyle H}$

${\displaystyle 2H=c^{2}={\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)p_{r}^{2}-{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}-{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

Una vez más, la órbita puede estar restringida a por simetría. Dado que y no aparecen en el hamiltoniano, sus momentos conjugados son constantes; pueden expresarse en términos de la velocidad de la luz y dos escalas de longitud constantes y ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\varphi }&=-ac\\p_{\theta }&=0\\p_{t}&={\frac {ac^{2}}{b}}\end{aligned}}}$

Las derivadas con respecto al tiempo propio están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dr}{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}=-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)p_{r}\\{\frac {d\varphi }{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {-p_{\varphi }}{r^{2}}}={\frac {ac}{r^{2}}}\\{\frac {dt}{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{t}}}={\frac {p_{t}}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}}={\frac {a}{b\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}}\end{aligned}}}$

Dividiendo la primera ecuación por la segunda se obtiene la ecuación orbital.

${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}=-{\frac {r^{2}}{ac}}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)p_{r}}$

El momento radial p _r se puede expresar en términos de r utilizando la constancia del hamiltoniano ; esto produce la ecuación orbital fundamental ${\textstyle H={\frac {c^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

Enfoque de Hamilton-Jacobi

Curvatura de las ondas en un campo gravitatorio. Debido a la gravedad, el tiempo transcurre más lentamente en la parte inferior que en la superior, lo que hace que los frentes de onda (mostrados en negro) se curven gradualmente hacia abajo. La flecha verde muestra la dirección de la aparente "atracción gravitatoria".

La ecuación orbital se puede derivar de la ecuación de Hamilton-Jacobi . ^[15] La ventaja de este enfoque es que equipara el movimiento de la partícula con la propagación de una onda, y conduce claramente a la derivación de la desviación de la luz por la gravedad en la relatividad general , a través del principio de Fermat . La idea básica es que, debido a la desaceleración gravitacional del tiempo, las partes de un frente de onda más cercanas a una masa gravitante se mueven más lentamente que las más alejadas, doblando así la dirección de propagación del frente de onda.

Utilizando la covarianza general, la ecuación de Hamilton-Jacobi para una sola partícula de masa unitaria se puede expresar en coordenadas arbitrarias como

${\displaystyle g^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=c^{2}.}$

Esto es equivalente a la formulación hamiltoniana anterior, en la que las derivadas parciales de la acción ocupan el lugar de los momentos generalizados. Si se utiliza la métrica de Schwarzschild g ^μν , esta ecuación se convierte en

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }}\right)^{2}=c^{2}}$

donde orientamos nuevamente el sistema de coordenadas esféricas con el plano de la órbita. El tiempo t y el ángulo azimutal φ son coordenadas cíclicas, de modo que la solución para la función principal de Hamilton S puede escribirse

${\displaystyle S=-p_{t}t+p_{\varphi }\varphi +S_{r}(r)\,}$

donde y son los momentos generalizados constantes. La ecuación de Hamilton-Jacobi proporciona una solución integral para la parte radial. ${\displaystyle p_{t}}$ ${\displaystyle p_{\varphi }}$ ${\displaystyle S_{r}(r)}$

${\displaystyle S_{r}(r)=\int ^{r}{\frac {dr}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)}}.}$

Tomando la derivada de la función principal de Hamilton S con respecto al momento conservado p _φ se obtiene

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial p_{\varphi }}}=\varphi +{\frac {\partial S_{r}}{\partial p_{\varphi }}}=\mathrm {constant} }$

Lo cual es igual

${\displaystyle \varphi -\int ^{r}{\frac {p_{\varphi }dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)}}}}=\mathrm {constant} }$

Tomando una variación infinitesimal en φ y r se obtiene la ecuación orbital fundamental

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).}$

donde las escalas de longitud conservadas a y b están definidas por los momentos conservados mediante las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial S}{\partial \varphi }}=p_{\varphi }&=-ac\\{\frac {\partial S}{\partial t}}=p_{t}&={\frac {ac^{2}}{b}}\end{aligned}}}$

Principio de Hamilton

La integral de acción para una partícula afectada únicamente por la gravedad es

${\displaystyle S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq}}$

donde es el tiempo propio y es cualquier parametrización suave de la línea del universo de la partícula. Si se aplica el cálculo de variaciones a esto, se obtienen nuevamente las ecuaciones para una geodésica. Para simplificar los cálculos, primero se toma la variación del cuadrado del integrando. Para la métrica y las coordenadas de este caso y suponiendo que la partícula se mueve en el plano ecuatorial , ese cuadrado es ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\,.}$

Tomando una variación de esto se obtiene

${\displaystyle \delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right]\,.}$

Movimiento en longitud

Varía con respecto a la longitud solo para obtener ${\textstyle \varphi }$

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}\,.}$

Dividir por para obtener la variación del propio integrando ${\textstyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$

${\displaystyle c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}\,.}$

De este modo

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq}\,.}$

Integrando por partes se obtiene

${\displaystyle 0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}\,.}$

Se supone que la variación de la longitud es cero en los puntos extremos, por lo que el primer término desaparece. La integral puede hacerse distinta de cero mediante una elección perversa de a menos que el otro factor interno sea cero en todas partes. Por lo tanto, la ecuación de movimiento es ${\textstyle \delta \varphi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0\,.}$

Movimiento en el tiempo

Varía con respecto al tiempo sólo para obtener ${\textstyle t}$

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}}\,.}$

Dividir por para obtener la variación del propio integrando ${\textstyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$

${\displaystyle c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}\,.}$

De este modo

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}\,.}$

Integrando por partes se obtiene

${\displaystyle 0=c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq}\,.}$

Entonces la ecuación de movimiento es

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0\,.}$

Momentos conservados

Integre estas ecuaciones de movimiento para determinar las constantes de integración obteniendo

${\displaystyle {\begin{aligned}L=p_{\phi }&=mr^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\,,\\E=-p_{t}&=mc^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\,.\end{aligned}}}$

Estas dos ecuaciones para las constantes de movimiento (momento angular) y (energía) se pueden combinar para formar una ecuación que es verdadera incluso para fotones y otras partículas sin masa para las cuales el tiempo propio a lo largo de una geodésica es cero. ${\textstyle L}$ ${\textstyle E}$

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {L\,c^{2}}{E\,r^{2}}}\,.}$

Movimiento radial

Sustituyendo

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m\,r^{2}}}\,}$

y

${\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)m\,c^{2}}}\,}$

en la ecuación métrica (y usando ) da ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\,{\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\,{\frac {L^{2}}{m^{2}}}\,,}$

de donde se puede derivar

${\displaystyle {\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)}^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\right)\,,}$

que es la ecuación de movimiento para . La dependencia de se puede encontrar dividiendo esto por ${\textstyle r}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle \varphi }$

${\displaystyle {\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)}^{2}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}}$

Llegar

${\displaystyle {\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)}^{2}={\frac {E^{2}r^{4}}{L^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {m^{2}c^{2}r^{4}}{L^{2}}}+r^{2}\right)\,}$

lo cual es cierto incluso para partículas sin masa. Si las escalas de longitud se definen por

${\displaystyle a={\frac {L}{m\,c}}}$

y

${\displaystyle b={\frac {L\,c}{E}}\,,}$

Entonces la dependencia de se simplifica a ${\textstyle r}$ ${\textstyle \varphi }$

${\displaystyle {\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)}^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)\,.}$

Véase también

• Portal de astronomía
• Portal de física

• Problema clásico de fuerza central
• Campos de trama en la relatividad general
• Problema de Kepler
• Problema de los dos cuerpos en la relatividad general

Notas

1. Esta sustitución de por también es común en problemas clásicos de fuerza central, ya que también hace que esas ecuaciones sean más fáciles de resolver. Para obtener más información, consulte el artículo sobre el problema clásico de fuerza central . ${\textstyle u}$ ${\textstyle r}$
2. En la literatura matemática, K se conoce como la integral elíptica completa de primer tipo ; para mayor información, consulte el artículo sobre integrales elípticas .

Referencias

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Bibliografía

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  • escaneo del documento original
  • Texto del artículo original, en Wikisource
  • traducción de Antoci y Loinger
  • un comentario sobre el artículo, que ofrece una derivación más sencilla
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Enlaces externos

• Extracto de Reflexiones sobre la relatividad de Kevin Brown.