Kurt Friedrich Gödel ( / ˈ ɡ ɜːr d əl / GUR -dəl ; [2] alemán: [kʊʁt ˈɡøːdl̩] ; 28 de abril de 1906 – 14 de enero de 1978) fue un lógico,matemáticoyfilósofo. Considerado junto conAristótelesyGottlob Fregecomo uno de los lógicos más importantes de la historia, Gödel influyó profundamente en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX (en una época en la queBertrand Russell,[3] Alfred North Whitehead,[3]yDavid Hilbertutilizabanla lógicayla teoría de conjuntospara investigar losfundamentos de las matemáticas), basándose en trabajos anteriores de Frege,Richard DedekindyGeorg Cantor.
Los descubrimientos de Gödel en los fundamentos de las matemáticas llevaron a la prueba de su teorema de completitud en 1929 como parte de su disertación para obtener un doctorado en la Universidad de Viena , y a la publicación de los teoremas de incompletitud de Gödel dos años después, en 1931. El primer teorema de incompletitud establece que para cualquier sistema axiomático recursivo ω-consistente lo suficientemente potente como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo, la aritmética de Peano ), existen proposiciones verdaderas sobre los números naturales que no pueden ser ni probadas ni refutadas a partir de los axiomas. [4] Para probar esto, Gödel desarrolló una técnica ahora conocida como numeración de Gödel , que codifica expresiones formales como números naturales. El segundo teorema de incompletitud, que se desprende del primero, establece que el sistema no puede probar su propia consistencia. [5]
Gödel también demostró que ni el axioma de elección ni la hipótesis del continuo pueden ser refutados a partir de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel aceptada , suponiendo que sus axiomas son consistentes. El primer resultado abrió la puerta para que los matemáticos asumieran el axioma de elección en sus demostraciones. También hizo importantes contribuciones a la teoría de las demostraciones al aclarar las conexiones entre la lógica clásica , la lógica intuicionista y la lógica modal .
Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brünn, Austria-Hungría (hoy Brno , República Checa ), en el seno de una familia de habla alemana formada por Rudolf Gödel (1874-1929), director gerente y copropietario de una importante empresa textil, y Marianne Gödel ( de soltera Handschuh, 1879-1966). [6] En el momento de su nacimiento, la ciudad tenía una mayoría de habla alemana , incluidos sus padres. [7] Su padre era católico y su madre protestante y los niños fueron criados como protestantes. Los antepasados de Kurt Gödel fueron a menudo activos en la vida cultural de Brünn. Por ejemplo, su abuelo Joseph Gödel fue un famoso cantante en su época y durante algunos años miembro de la Brünner Männergesangverein (Unión Coral Masculina de Brünn). [8]
Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano de Checoslovaquia a los 12 años cuando el Imperio austrohúngaro colapsó tras su derrota en la Primera Guerra Mundial . Según su compañero de clase Klepetař , como muchos residentes de los Sudetes , predominantemente alemanes , "Gödel se consideró siempre austríaco y un exiliado en Checoslovaquia". [9] En febrero de 1929, se le concedió la liberación de su ciudadanía checoslovaca y luego, en abril, se le concedió la ciudadanía austríaca. [10] Cuando Alemania anexó Austria en 1938, Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano alemán a los 32 años. En 1948, después de la Segunda Guerra Mundial , a la edad de 42 años, se convirtió en ciudadano estadounidense. [11]
En su familia, el joven Gödel recibió el apodo de Herr Warum («el señor por qué») debido a su insaciable curiosidad. Según su hermano Rudolf, a los seis o siete años, Kurt sufrió fiebre reumática ; se curó por completo, pero durante el resto de su vida siguió convencido de que su corazón había sufrido daños permanentes. A partir de los cuatro años, Gödel sufrió «frecuentes episodios de mala salud», que continuarían durante toda su vida. [12]
Gödel asistió a la Evangelische Volksschule , una escuela luterana en Brünn de 1912 a 1916, y estuvo inscrito en el Deutsches Staats-Realgymnasium de 1916 a 1924, sobresaliendo con honores en todas sus materias, particularmente en matemáticas, idiomas y religión. Aunque Gödel había sobresalido primero en idiomas, más tarde se interesó más en la historia y las matemáticas. Su interés en las matemáticas aumentó cuando en 1920 su hermano mayor Rudolf (nacido en 1902) se fue a Viena , donde asistió a la escuela de medicina en la Universidad de Viena . Durante su adolescencia, Gödel estudió taquigrafía de Gabelsberger , [13] y críticas a Isaac Newton , y los escritos de Immanuel Kant . [14]
A los 18 años, Gödel se unió a su hermano en la Universidad de Viena . Ya dominaba las matemáticas a nivel universitario. [15] Aunque inicialmente tenía la intención de estudiar física teórica , también asistió a cursos de matemáticas y filosofía. [16] Durante este tiempo, adoptó las ideas del realismo matemático . Leyó Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft de Kant y participó en el Círculo de Viena con Moritz Schlick , Hans Hahn y Rudolf Carnap . Gödel luego estudió teoría de números , pero cuando participó en un seminario dirigido por Moritz Schlick que estudiaba el libro Introducción a la filosofía matemática de Bertrand Russell , se interesó en la lógica matemática . Según Gödel, la lógica matemática era "una ciencia anterior a todas las demás, que contiene las ideas y principios subyacentes a todas las ciencias". [17]
La asistencia a una conferencia de David Hilbert en Bolonia sobre completitud y consistencia en sistemas matemáticos puede haber marcado el rumbo de la vida de Gödel. En 1928, Hilbert y Wilhelm Ackermann publicaron Grundzüge der theoretischen Logik ( Principios de lógica matemática ), una introducción a la lógica de primer orden en la que se planteaba el problema de la completitud: "¿Son suficientes los axiomas de un sistema formal para derivar cada enunciado que sea verdadero en todos los modelos del sistema?" [18]
Este problema se convirtió en el tema que Gödel eligió para su trabajo doctoral. [18] En 1929, a los 23 años, completó su tesis doctoral bajo la supervisión de Hans Hahn. En ella, estableció su teorema de completitud homónimo con respecto a la lógica de primer orden . [18] Obtuvo su doctorado en 1930, [18] y su tesis (acompañada de trabajo adicional) fue publicada por la Academia de Ciencias de Viena .
El logro de Kurt Gödel en la lógica moderna es singular y monumental; de hecho, es más que un monumento, es un hito que permanecerá visible lejos en el espacio y en el tiempo. ... El tema de la lógica ciertamente ha cambiado por completo su naturaleza y sus posibilidades con el logro de Gödel.
—John von Neumann [19]
En 1930, Gödel asistió a la Segunda Conferencia sobre la Epistemología de las Ciencias Exactas , celebrada en Königsberg , del 5 al 7 de septiembre. Allí expuso sus teoremas de incompletitud . [20]
Gödel publicó sus teoremas de incompletitud en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (en español, " Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados "). En ese artículo, demostró para cualquier sistema axiomático computable que sea lo suficientemente potente como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo, los axiomas de Peano o la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección), que:
Estos teoremas pusieron fin a medio siglo de intentos, que comenzaron con el trabajo de Gottlob Frege y culminaron con Principia Mathematica y el programa de Hilbert , para encontrar una axiomatización no relativamente consistente suficiente para la teoría de números (que serviría como base para otros campos de las matemáticas). [22]
Gödel construyó una fórmula que afirma que es indemostrable en un sistema formal dado. Si fuera demostrable, sería falsa. Por lo tanto, siempre habrá al menos un enunciado verdadero pero indemostrable. Es decir, para cualquier conjunto de axiomas computablemente enumerables para la aritmética (es decir, un conjunto que en principio puede ser impreso por una computadora idealizada con recursos ilimitados), existe una fórmula que es verdadera para la aritmética, pero no demostrable en ese sistema. Para hacer esto preciso, Gödel tuvo que producir un método para codificar (como números naturales) enunciados, pruebas y el concepto de demostrabilidad; lo hizo mediante un proceso conocido como numeración de Gödel . [23]
En su artículo de dos páginas Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932), Gödel refutó la finitud de los valores de la lógica intuicionista . En la prueba, utilizó implícitamente lo que más tarde se conocería como lógica intermedia de Gödel-Dummett (o lógica difusa de Gödel ). [24]
Gödel obtuvo su habilitación en Viena en 1932, y en 1933 se convirtió en Privatdozent (profesor no remunerado) allí. En 1933, Adolf Hitler llegó al poder en Alemania, y durante los años siguientes los nazis aumentaron su influencia en Austria y entre los matemáticos de Viena. En junio de 1936, Moritz Schlick , cuyo seminario había despertado el interés de Gödel por la lógica, fue asesinado por uno de sus antiguos estudiantes, Johann Nelböck . Esto desencadenó "una grave crisis nerviosa" en Gödel. [25] Desarrolló síntomas paranoides, incluido el miedo a ser envenenado, y pasó varios meses en un sanatorio para enfermedades nerviosas. [26]
En 1933, Gödel viajó por primera vez a los EE. UU., donde conoció a Albert Einstein , con quien se convirtió en un buen amigo. [27] Pronunció un discurso en la reunión anual de la American Mathematical Society . Durante este año, Gödel también desarrolló las ideas de computabilidad y funciones recursivas hasta el punto en que pudo presentar una conferencia sobre funciones recursivas generales y el concepto de verdad. Este trabajo se desarrolló en teoría de números, utilizando la numeración de Gödel .
En 1934, Gödel impartió una serie de conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) de Princeton (Nueva Jersey) , tituladas On undecidible propositions of formal mathematics systems (Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales) . Stephen Kleene , que acababa de terminar su doctorado en Princeton, tomó notas de estas conferencias que se han publicado posteriormente.
Gödel visitó nuevamente el IAS en el otoño de 1935. Los viajes y el trabajo duro lo habían agotado y al año siguiente se tomó un descanso para recuperarse de un episodio depresivo. Regresó a la docencia en 1937. Durante este tiempo, trabajó en la prueba de consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo ; pasó a demostrar que estas hipótesis no pueden refutarse a partir del sistema común de axiomas de la teoría de conjuntos.
Se casó el 20 de septiembre de 1938 con Adele Nimbursky (née Porkert, 1899–1981), a quien conocía desde hacía más de 10 años. Los padres de Gödel se habían opuesto a su relación porque ella era una bailarina divorciada, seis años mayor que él.
Posteriormente, partió para otra visita a los Estados Unidos, pasando el otoño de 1938 en el IAS y publicando Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hipothesis with the axioms of set theory, [28] un clásico de las matemáticas modernas. En esa obra introdujo el universo construible , un modelo de teoría de conjuntos en el que los únicos conjuntos que existen son aquellos que pueden construirse a partir de conjuntos más simples. Gödel demostró que tanto el axioma de elección (AC) como la hipótesis generalizada del continuo (GCH) son verdaderos en el universo construible, y por lo tanto deben ser consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (ZF). Este resultado ha tenido consecuencias considerables para los matemáticos en activo, ya que significa que pueden asumir el axioma de elección al probar el teorema de Hahn-Banach . Paul Cohen construyó más tarde un modelo de ZF en el que AC y GCH son falsos; En conjunto, estas pruebas significan que AC y GCH son independientes de los axiomas ZF para la teoría de conjuntos.
Gödel pasó la primavera de 1939 en la Universidad de Notre Dame . [29]
Tras la anexión del país el 12 de marzo de 1938, Austria pasó a formar parte de la Alemania nazi . Alemania abolió el título de Privatdozent , por lo que Gödel tuvo que solicitar un puesto diferente en el nuevo orden. Su antigua relación con miembros judíos del Círculo de Viena, especialmente con Hahn, jugó en su contra. La Universidad de Viena rechazó su solicitud.
Su situación se intensificó cuando el ejército alemán lo consideró apto para el reclutamiento. La Segunda Guerra Mundial comenzó en septiembre de 1939. Antes de que terminara el año, Gödel y su esposa abandonaron Viena para ir a Princeton . Para evitar la dificultad de cruzar el Atlántico, los Gödel tomaron el Ferrocarril Transiberiano hasta el Pacífico, navegaron desde Japón hasta San Francisco (a donde llegaron el 4 de marzo de 1940) y luego cruzaron los EE. UU. en tren hasta Princeton. [30] Durante este viaje, se suponía que Gödel llevaría una carta secreta del físico vienés Hans Thirring a Albert Einstein para alertar a Roosevelt de la posibilidad de que Hitler fabricara una bomba atómica. Gödel nunca le transmitió esa carta a Einstein, aunque sí se conocieron, porque no estaba convencido de que Hitler pudiera lograr esta hazaña. [31] En cualquier caso, Leo Szilard ya había transmitido el mensaje a Einstein, y Einstein ya había advertido a Roosevelt.
En Princeton, Gödel aceptó un puesto en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS), que había visitado entre 1933 y 1934. [32]
Einstein también vivía en Princeton durante esa época. Gödel y Einstein desarrollaron una fuerte amistad y se sabía que hacían largos paseos juntos hacia y desde el Instituto de Estudios Avanzados. La naturaleza de sus conversaciones era un misterio para los demás miembros del Instituto. El economista Oskar Morgenstern relata que hacia el final de su vida Einstein confesó que su "propio trabajo ya no significaba mucho, que venía al Instituto simplemente... para tener el privilegio de caminar a casa con Gödel". [33]
Gödel y su esposa, Adele, pasaron el verano de 1942 en Blue Hill, Maine , en el Blue Hill Inn en la parte superior de la bahía. Gödel no estaba simplemente de vacaciones, sino que tuvo un verano de trabajo muy productivo. Utilizando el volumen 15 de los Arbeitshefte [cuadernos de trabajo] de Gödel, aún inéditos , John W. Dawson Jr. conjetura que Gödel descubrió una prueba de la independencia del axioma de elección de la teoría de tipos finitos, una forma debilitada de la teoría de conjuntos, mientras estaba en Blue Hill en 1942. El amigo cercano de Gödel, Hao Wang , apoya esta conjetura, señalando que los cuadernos de Blue Hill de Gödel contienen su tratamiento más extenso del problema.
El 5 de diciembre de 1947, Einstein y Morgenstern acompañaron a Gödel a su examen de ciudadanía estadounidense , donde actuaron como testigos. Gödel les había confiado que había descubierto una inconsistencia en la Constitución de los Estados Unidos que podría permitir que el país se convirtiera en una dictadura; esto desde entonces se denominó la laguna jurídica de Gödel . Einstein y Morgenstern estaban preocupados de que el comportamiento impredecible de su amigo pudiera poner en peligro su solicitud. El juez resultó ser Phillip Forman , que conocía a Einstein y había administrado el juramento en la propia audiencia de ciudadanía de Einstein. Todo transcurrió sin problemas hasta que Forman le preguntó a Gödel si creía que una dictadura como el régimen nazi podía suceder en los EE. UU. Gödel comenzó a explicar su descubrimiento a Forman. Forman entendió lo que estaba sucediendo, interrumpió a Gödel y pasó la audiencia a otras preguntas y una conclusión de rutina. [34] [35]
Gödel se convirtió en miembro permanente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1946. En esa época dejó de publicar, aunque siguió trabajando. Se convirtió en profesor titular del Instituto en 1953 y profesor emérito en 1976. [36]
Durante su estancia en el instituto, los intereses de Gödel se orientaron hacia la filosofía y la física. En 1949, demostró la existencia de soluciones que implicaban curvas temporales cerradas para las ecuaciones de campo de Einstein en la relatividad general . [37] Se dice que le regaló esta elaboración a Einstein por su 70.º cumpleaños. [38] Sus "universos rotatorios" permitirían viajar en el tiempo al pasado y provocaron que Einstein tuviera dudas sobre su propia teoría. Sus soluciones se conocen como la métrica de Gödel (una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein ).
Estudió y admiró las obras de Gottfried Leibniz , pero llegó a creer que una conspiración hostil había causado que algunas de las obras de Leibniz fueran suprimidas. [39] En menor medida, estudió a Immanuel Kant y Edmund Husserl . A principios de la década de 1970, Gödel hizo circular entre sus amigos una elaboración de la versión de Leibniz de la prueba ontológica de la existencia de Dios de Anselmo de Canterbury . Esto ahora se conoce como la prueba ontológica de Gödel .
Gödel fue galardonado (con Julian Schwinger ) con el primer Premio Albert Einstein en 1951, y también fue galardonado con la Medalla Nacional de Ciencias , en 1974. [40] Gödel fue elegido miembro residente de la American Philosophical Society en 1961 y miembro extranjero de la Royal Society (ForMemRS) en 1968. [ 41] [1] Fue orador plenario del ICM en 1950 en Cambridge, Massachusetts. [42]
Más adelante en su vida, Gödel sufrió períodos de inestabilidad mental y enfermedad. Tras el asesinato de su amigo cercano Moritz Schlick , [43] Gödel desarrolló un miedo obsesivo a ser envenenado y solo comía alimentos preparados por su esposa Adele. Adele fue hospitalizada a partir de fines de 1977 y, en su ausencia, Gödel se negó a comer; [44] pesaba 29 kilogramos (65 libras) cuando murió de "desnutrición e inanición causadas por un trastorno de la personalidad" en el Hospital de Princeton el 14 de enero de 1978. [45] Fue enterrado en el Cementerio de Princeton . Adele murió en 1981. [46]
Gödel creía que Dios era personal, [47] y llamó a su filosofía "racionalista, idealista, optimista y teológica". [48] Formuló una prueba formal de la existencia de Dios conocida como la prueba ontológica de Gödel .
Gödel creía en una vida después de la muerte, y dijo: “Por supuesto, esto supone que existen muchas relaciones de las que la ciencia actual y la sabiduría recibida no tienen ni la menor idea. Pero estoy convencido de esto [la vida después de la muerte], independientemente de cualquier teología”. Es “posible hoy percibir, mediante el razonamiento puro” que “es completamente consistente con los hechos conocidos”. “Si el mundo está construido racionalmente y tiene un significado, entonces debe existir algo así [como una vida después de la muerte]”. [49]
En una respuesta no enviada por correo a un cuestionario, Gödel describió su religión como "bautizado luterano (pero no miembro de ninguna congregación religiosa). Mi creencia es teísta , no panteísta , siguiendo a Leibniz en lugar de Spinoza ". [50] De la religión(es) en general, dijo: "Las religiones son malas en su mayor parte, pero no la religión en sí". [51] Según su esposa Adele, "Gödel, aunque no iba a la iglesia, era religioso y leía la Biblia en la cama todos los domingos por la mañana", [52] mientras que del Islam , dijo: "Me gusta el Islam: es una idea coherente [o consecuente] de la religión y de mente abierta". [53]
Douglas Hofstadter escribió en 1979 el libro Gödel, Escher, Bach para celebrar el trabajo y las ideas de Gödel, MC Escher y Johann Sebastian Bach . En parte, explora las ramificaciones del hecho de que el teorema de incompletitud de Gödel se puede aplicar a cualquier sistema computacional Turing-completo , que puede incluir el cerebro humano . En 2005, John Dawson publicó una biografía, Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel . [54] El libro de Stephen Budiansky sobre la vida de Gödel, Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel , [55] fue uno de los mejores libros de 2021 de los críticos del New York Times . [56] Gödel fue uno de los cuatro matemáticos examinados en el documental de la BBC de 2008 de David Malone Dangerous Knowledge . [57]
La Sociedad Kurt Gödel , fundada en 1987, es una organización internacional para la promoción de la investigación en lógica, filosofía e historia de las matemáticas . La Universidad de Viena alberga el Centro de Investigación Kurt Gödel para la Lógica Matemática. La Asociación de Lógica Simbólica ha celebrado una Conferencia Gödel anual desde 1990. El Premio Gödel se otorga anualmente a un artículo sobresaliente en informática teórica. Los cuadernos filosóficos de Gödel [58] se conservan en el Centro de Investigación Kurt Gödel en la Academia de Ciencias y Humanidades de Berlín-Brandeburgo . [59] Se han publicado cinco volúmenes de las obras recopiladas de Gödel. Los dos primeros incluyen sus publicaciones; el tercero incluye manuscritos inéditos de su Nachlass , y los dos últimos incluyen correspondencia.
En la película IQ de 1994 , Lou Jacobi interpreta a Gödel. En la película Oppenheimer de 2023 , Gödel, interpretado por James Urbaniak , aparece brevemente caminando con Einstein en los jardines de Princeton.
En alemán:
En Inglés:
En traducción al español:
{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )El departamento de Matemáticas de la Universidad de Notre Dame fue anfitrión... durante un solo semestre en la primavera de 1939 [de] Kurt Gödel
Gödel tuvo una infancia feliz y su familia lo llamaba "el señor Por qué" debido a sus numerosas preguntas. Fue bautizado como luterano y siguió siendo teísta (creyente en un Dios personal) durante toda su vida.
Gödel no era ajeno a las preocupaciones religiosas. Por el contrario, su biblioteca incluía muchos libros y tratados dedicados a diversas sectas religiosas; entre sus cuadernos hay dos dedicados a la teología; y en un manuscrito taquigráfico encontrado en su Nachlaß, señaló que "Die Religionen sind zum größten Teil schlecht, aber nicht die Religion" ("Las religiones son en su mayor parte malas, pero no la religión en sí").
