Lógica difusa de norma T

Las lógicas difusas de norma t son una familia de lógicas no clásicas , informalmente delimitadas por tener una semántica que toma el intervalo unitario real [0, 1] para el sistema de valores de verdad y funciones llamadas normas t para interpretaciones permisibles de conjunción . Se utilizan principalmente en lógica difusa aplicada y teoría de conjuntos difusos como base teórica para razonamiento aproximado.

Las lógicas difusas de norma t pertenecen a clases más amplias de lógicas difusas y lógicas multivaluadas . Para generar una implicación bien comportada , generalmente se requiere que las normas t sean continuas por la izquierda ; las lógicas de normas t continuas por la izquierda pertenecen además a la clase de lógicas subestructurales , entre las que se distinguen por la validez de la ley de prelinealidad , ( A  →  B ) ∨ ( B  →  A ). Se estudian tanto las lógicas difusas de norma t proposicionales como las de primer orden (o de orden superior ), así como sus expansiones mediante operadores modales y otros. Las lógicas que restringen la semántica de la norma t a un subconjunto del intervalo unitario real (por ejemplo, las lógicas de Łukasiewicz de valor finito ) también suelen incluirse en la clase.

Ejemplos importantes de lógicas difusas de norma t son la lógica t-norma monoidal (MTL) de todas las normas t continuas por la izquierda, la lógica básica (BL) de todas las normas t continuas, la lógica difusa de producto de la norma t producto o la lógica mínima nilpotente de la norma t mínima nilpotente. Algunas lógicas motivadas independientemente también pertenecen a las lógicas difusas de norma t, por ejemplo, la lógica de Łukasiewicz (que es la lógica de la norma t de Łukasiewicz) o la lógica de Gödel–Dummett (que es la lógica de la norma t mínima).

Motivación

Como miembros de la familia de lógicas difusas , las lógicas difusas de norma t apuntan principalmente a generalizar la lógica clásica de dos valores al admitir valores de verdad intermedios entre 1 (verdad) y 0 (falsedad) que representan grados de verdad de las proposiciones. Se supone que los grados son números reales del intervalo unitario [0, 1]. En las lógicas difusas proposicionales de norma t, se estipula que los conectivos proposicionales son veritativo-funcionales , es decir, el valor de verdad de una proposición compleja formada por un conectivo proposicional de algunas proposiciones constituyentes es una función (llamada función de verdad del conectivo) de los valores de verdad de las proposiciones constituyentes. Las funciones de verdad operan en el conjunto de grados de verdad (en la semántica estándar, en el intervalo [0, 1]); por lo tanto, la función de verdad de un conectivo proposicional n -ario c es una función F _c : [0, 1] ⁿ → [0, 1]. Las funciones de verdad generalizan las tablas de verdad de los conectivos proposicionales que la lógica clásica conoce y que operan en el sistema más amplio de valores de verdad.

Las lógicas difusas de norma T imponen ciertas restricciones naturales a la función de verdad de la conjunción . Se supone que la función de verdad de la conjunción satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle *\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$

• Conmutatividad , es decir, para todos los x e y en [0, 1]. Esto expresa el supuesto de que el orden de las proposiciones difusas es inmaterial en conjunción, incluso si se admiten grados de verdad intermedios. ${\displaystyle x*y=y*x}$
• Asociatividad , es decir, para todos los x , y y z en [0, 1]. Esto expresa el supuesto de que el orden de realización de la conjunción es inmaterial, incluso si se admiten grados de verdad intermedios. ${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$
• Monotonía , es decir, si entonces para todo x , y y z en [0, 1]. Esto expresa el supuesto de que aumentar el grado de verdad de una conjunción no debería disminuir el grado de verdad de la conjunción. ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x*z\leq y*z}$
• Neutralidad de 1 , es decir, para todo x en [0, 1]. Este supuesto corresponde a considerar el grado de verdad 1 como verdad completa, conjunción con la cual no disminuye el valor de verdad del otro conjunto. Junto con las condiciones anteriores, esta condición asegura que también para todo x en [0, 1], lo que corresponde a considerar el grado de verdad 0 como falsedad completa, conjunción con la cual es siempre completamente falsa. ${\displaystyle 1*x=x}$ ${\displaystyle 0*x=0}$
• Continuidad de la función (las condiciones anteriores reducen este requisito a la continuidad en cualquiera de los argumentos). De manera informal, esto expresa la suposición de que los cambios microscópicos de los grados de verdad de los conjuntos no deberían dar como resultado un cambio macroscópico del grado de verdad de su conjunción. Esta condición, entre otras cosas, asegura un buen comportamiento de la implicación (residual) derivada de la conjunción; para asegurar el buen comportamiento, sin embargo, es suficiente la continuidad izquierda (en cualquiera de los argumentos) de la función . ^[1] En las lógicas difusas de norma t generales, por lo tanto, solo se requiere la continuidad izquierda de , lo que expresa la suposición de que una disminución microscópica del grado de verdad de un conjunto no debería disminuir macroscópicamente el grado de verdad de la conjunción. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$

Estas suposiciones hacen que la función de verdad de la conjunción sea una t-norma continua por la izquierda , lo que explica el nombre de la familia de lógicas difusas ( basadas en t-norma ). Las lógicas particulares de la familia pueden hacer suposiciones adicionales sobre el comportamiento de la conjunción (por ejemplo, la lógica de Gödel-Dummett requiere su idempotencia ) u otros conectivos (por ejemplo, la lógica IMTL (lógica t-norma monoidal involutiva) requiere la involutividad de la negación).

Todas las t-normas continuas por la izquierda tienen un residuo único , es decir, una función binaria tal que para todos los x , y y z en [0, 1], ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle x*y\leq z}$Si y sólo si ${\displaystyle x\leq y\Rightarrow z.}$

El residuo de una norma t continua por la izquierda se puede definir explícitamente como

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.}$

Esto garantiza que el residuo sea la función puntual más grande tal que para todos los x e y ,

${\displaystyle x*(x\Rightarrow y)\leq y.}$

Esta última puede interpretarse como una versión difusa de la regla de inferencia del modus ponens . El residuo de una norma t continua por la izquierda puede caracterizarse así como la función más débil que hace válido el modus ponens difuso, lo que lo convierte en una función de verdad adecuada para la implicación en lógica difusa. La continuidad por la izquierda de la norma t es la condición necesaria y suficiente para que se mantenga esta relación entre una conjunción de normas t y su implicación residual.

Las funciones de verdad de conectivas proposicionales adicionales pueden definirse por medio de la t-norma y su residuo, por ejemplo la negación residual o la equivalencia bi-residual Las funciones de verdad de conectivas proposicionales también pueden introducirse mediante definiciones adicionales: las más usuales son el mínimo (que juega un papel de otra conectiva conjuntiva), el máximo (que juega un papel de una conectiva disyuntiva), o el operador Delta de Baaz, definido en [0, 1] como si y en caso contrario. De esta manera, una t-norma continua por la izquierda, su residuo y las funciones de verdad de conectivas proposicionales adicionales determinan los valores de verdad de fórmulas proposicionales complejas en [0, 1]. ${\displaystyle \neg x=(x\Rightarrow 0)}$ ${\displaystyle x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).}$ ${\displaystyle \Delta x=1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \Delta x=0}$

Las fórmulas que siempre dan como resultado 1 se denominan tautologías con respecto a la o las t-normas continuas por la izquierda dadas . El conjunto de todas las tautologías se denomina lógica de la t-norma , ya que estas fórmulas representan las leyes de la lógica difusa (determinadas por la t-norma) que se cumplen (hasta el grado 1) independientemente de los grados de verdad de las fórmulas atómicas . Algunas fórmulas son tautologías con respecto a una clase más grande de t-normas continuas por la izquierda; el conjunto de dichas fórmulas se denomina lógica de la clase. Las lógicas de t-normas importantes son las lógicas de t-normas particulares o clases de t-normas, por ejemplo: ${\displaystyle *,}$ ${\displaystyle *{\mbox{-}}}$ ${\displaystyle *{\mbox{-}}}$ ${\displaystyle *,}$

• La lógica de Łukasiewicz es la lógica de la norma t de Łukasiewicz ${\displaystyle x*y=\max(x+y-1,0)}$
• La lógica de Gödel-Dummett es la lógica de la norma t mínima ${\displaystyle x*y=\min(x,y)}$
• La lógica difusa del producto es la lógica de la norma t del producto. ${\displaystyle x*y=x\cdot y}$
• Lógica t-norma monoidal MTL es la lógica de (la clase de) todas las t-normas continuas por la izquierda
• Lógica difusa básica BL es la lógica de (la clase de) todas las normas t continuas

Resulta que muchas lógicas de t-normas particulares y clases de t-normas son axiomatizables. El teorema de completitud del sistema axiomático con respecto a la semántica de t-normas correspondiente en [0, 1] se denomina entonces completitud estándar de la lógica. Además de la semántica estándar de valores reales en [0, 1], las lógicas son sólidas y completas con respecto a la semántica algebraica general, formada por clases adecuadas de retículos integrales acotados conmutativos prelineales residuales .

Historia

Algunas lógicas difusas de norma t particulares se introdujeron e investigaron mucho antes de que se reconociera la familia (incluso antes de que surgieran las nociones de lógica difusa o norma t ):

• La lógica de Łukasiewicz (la lógica de la norma t de Łukasiewicz) fue definida originalmente por Jan Łukasiewicz (1920) como una lógica de tres valores ; ^[2] luego se generalizó a lógicas de n valores (para todo n finito ) así como a variantes de infinitos valores, tanto proposicionales como de primer orden. ^[3]
• La lógica de Gödel-Dummett (la lógica de la norma t mínima) estaba implícita en la prueba de Gödel de 1932 de la valuación infinita de la lógica intuicionista . ^[4] Más tarde (1959) fue estudiada explícitamente por Dummett , quien demostró un teorema de completitud para la lógica. ^[5]

Un estudio sistemático de lógicas difusas de t-normas particulares y sus clases comenzó con la monografía Metamatemáticas de la lógica difusa de Hájek (1998) , que presentó la noción de la lógica de una t-norma continua, las lógicas de las tres t-normas continuas básicas (Łukasiewicz, Gödel y producto), y la lógica difusa BL 'básica' de todas las t-normas continuas (todas ellas proposicionales y de primer orden). El libro también inició la investigación de las lógicas difusas como lógicas no clásicas con cálculos de estilo Hilbert, semántica algebraica y propiedades metamatemáticas conocidas de otras lógicas (teoremas de completitud, teoremas de deducción , complejidad , etc.).

Desde entonces, se han introducido una plétora de lógicas difusas de norma t y se han investigado sus propiedades metamatemáticas. Algunas de las lógicas difusas de norma t más importantes fueron introducidas en 2001 por Esteva y Godo ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM), ^[1] Esteva, Godo y Montagna (LΠ proposicional), ^[6] y Cintula (LΠ de primer orden). ^[7]

Lenguaje lógico

El vocabulario lógico de las lógicas difusas proposicionales de norma t comprende de manera estándar los siguientes conectivos:

• Implicación ( binaria ). En el contexto de lógicas difusas distintas a las basadas en la norma t, la implicación basada en la norma t a veces se denomina implicación residual o implicación R , ya que su semántica estándar es el residuo de la norma t que realiza la conjunción fuerte. ${\displaystyle \rightarrow }$
• Conjunción fuerte (binaria). En el contexto de la lógica subestructural, el signo y los nombres conjunción grupal , intensional , multiplicativa o paralela se utilizan a menudo para la conjunción fuerte. ${\displaystyle \And }$ ${\displaystyle \otimes }$
• Conjunción débil (binaria), también llamada conjunción reticular (ya que siempre se realiza mediante la operación reticular de encuentro en semántica algebraica). En el contexto de las lógicas subestructurales, a veces se utilizan los nombres conjunción aditiva , extensional o comparativa para la conjunción reticular. En la lógica BL y sus extensiones (aunque no en las lógicas t-normas en general), la conjunción débil se puede definir en términos de implicación y conjunción fuerte, mediante La presencia de dos conectivos de conjunción es una característica común de las lógicas subestructurales libres de contracción . ${\displaystyle \wedge }$ $${\displaystyle A\wedge B\equiv A{\mathbin {\And }}(A\rightarrow B).}$$
• Fondo ( nulario ); o son signos alternativos comunes y cero un nombre alternativo común para la constante proposicional (ya que las constantes fondo y cero de las lógicas subestructurales coinciden en las lógicas difusas de norma t). La proposición representa la falsedad o absurdo y corresponde al valor de verdad clásico falso . ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\overline {0}}}$ ${\displaystyle \bot }$
• Negación ( unaria ), a veces llamada negación residual si se consideran otros conectivos de negación, tal como se define a partir de la implicación residual por reducción al absurdo: ${\displaystyle \neg }$ $${\displaystyle \neg A\equiv A\rightarrow \bot }$$
• Equivalencia (binaria), definida como En la lógica t-norma, la definición es equivalente a ${\displaystyle \leftrightarrow }$ $${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)}$$ ${\displaystyle (A\rightarrow B){\mathbin {\And }}(B\rightarrow A).}$
• Disyunción (débil) (binaria), también llamada disyunción reticular (ya que siempre se realiza mediante la operación reticular de unión en semántica algebraica). En lógicas t-normales, se puede definir en términos de otros conectivos como ${\displaystyle \vee }$ $${\displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$$
• Top (nular), también llamado uno y denotado por o (ya que las constantes top y zero de las lógicas subestructurales coinciden en las lógicas difusas de norma t). La proposición corresponde al valor de verdad clásico true y en las lógicas de norma t puede definirse como ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\overline {1}}}$ ${\displaystyle \top }$ $${\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot .}$$

Algunas lógicas proposicionales de norma t añaden más conectores proposicionales al lenguaje anterior, generalmente los siguientes:

• El conectivo delta es un conectivo unario que afirma la verdad clásica de una proposición, ya que las fórmulas de la forma se comportan como en la lógica clásica. También se denomina Delta de Baaz , ya que fue utilizado por primera vez por Matthias Baaz para la lógica de Gödel–Dummett . ^[8] La expansión de una lógica de t-norma por el conectivo delta se suele denotar por ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\triangle }.}$
• Las constantes de verdad son conectivas nularias que representan valores de verdad particulares entre 0 y 1 en la semántica estándar de valores reales. Para el número real , la constante de verdad correspondiente generalmente se denota por La mayoría de las veces, se suman las constantes de verdad para todos los números racionales. Se supone que el sistema de todas las constantes de verdad en el lenguaje satisface los axiomas contables : ^[9] etc. para todas las conectivas proposicionales y todas las constantes de verdad definibles en el lenguaje. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\overline {r}}.}$ $${\displaystyle {\overline {r{\mathbin {\And }}s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\And }}{\overline {s}}),}$$ $${\displaystyle {\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\rightarrow }}{\overline {s}}),}$$
• La negación involutiva (unaria) puede añadirse como negación adicional a las lógicas de norma t cuya negación residual no es en sí misma involutiva , es decir, si no obedece la ley de doble negación . Una lógica de norma t expandida con negación involutiva se denota habitualmente por y se denomina con involución . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\sim }}$ ${\displaystyle L}$
• Disyunción fuerte (binaria). En el contexto de la lógica subestructural también se denomina disyunción grupal , intensional , multiplicativa o paralela . Aunque es la norma en las lógicas subestructurales sin contracción, en las lógicas difusas de norma t se suele utilizar solo en presencia de negación involutiva, lo que la hace definible (y por tanto axiomatizable) mediante la ley de De Morgan a partir de la conjunción fuerte: ${\displaystyle \oplus }$ $${\displaystyle A\oplus B\equiv \mathrm {\sim } (\mathrm {\sim } A{\mathbin {\And }}\mathrm {\sim } B).}$$
• Conjunciones t-normas adicionales e implicaciones residuales . Algunas lógicas t-normas expresivamente fuertes, por ejemplo la lógica ŁΠ, tienen más de una conjunción fuerte o implicación residual en su lenguaje. En la semántica estándar de valores reales, todas esas conjunciones fuertes se realizan mediante diferentes t-normas y las implicaciones residuales mediante sus residuos.

Las fórmulas bien formadas de lógicas proposicionales de norma t se definen a partir de variables proposicionales (normalmente un número contable ) mediante los conectores lógicos anteriores, como es habitual en la lógica proposicional . Para ahorrar paréntesis, es habitual utilizar el siguiente orden de precedencia:

• Conectivos unarios (se unen más estrechamente)
• Conectivas binarias distintas de la implicación y la equivalencia
• Implicación y equivalencia (vinculación más débil)

Las variantes de primer orden de la lógica t-norma emplean el lenguaje lógico habitual de la lógica de primer orden con los conectivos proposicionales anteriores y los siguientes cuantificadores :

• Cuantificador general ${\displaystyle \forall }$
• Cuantificador existencial ${\displaystyle \exists }$

La variante de primer orden de una lógica proposicional t-norma se denota usualmente por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\forall .}$

Semántica

La semántica algebraica se utiliza predominantemente para lógicas difusas de norma t proposicionales, con tres clases principales de álgebras con respecto a las cuales una lógica difusa de norma t es completa : ${\displaystyle L}$

• Semántica general , formada por todas las álgebras , es decir, todas las álgebras cuya lógica es válida . ${\displaystyle L}$
• Semántica lineal , formada por todas las álgebras lineales , es decir, todas las álgebras cuyo orden reticular es lineal . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$
• Semántica estándar , formada por todas las -álgebras estándar , es decir, todas las -álgebras cuya reduccion reticular es el intervalo unitario real [0, 1] con el orden usual. En las -álgebras estándar, la interpretación de la conjunción fuerte es una t-norma continua por la izquierda y la interpretación de la mayoría de los conectivos proposicionales está determinada por la t-norma (de ahí los nombres de lógicas basadas en t-norma y t-norma -álgebras , que también se utilizan para -álgebras en la red [0, 1]). Sin embargo, en las lógicas t-normas con conectivas adicionales, la interpretación de valor real de las conectivas adicionales puede estar restringida por condiciones adicionales para que el álgebra t-norma se llame estándar: por ejemplo, en las álgebras estándar de la lógica con involución, se requiere que la interpretación de la negación involutiva adicional sea la involución estándar en lugar de otras involuciones que también pueden interpretarse sobre álgebras t-norma. ^[10] En general, por lo tanto, la definición de álgebras t-norma estándar tiene que darse explícitamente para las lógicas t-norma con conectivas adicionales. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\sim }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f_{\sim }(x)=1-x,}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle L_{\sim }}$

Bibliografía

• Esteva F. & Godo L., 2001, "Lógica basada en normas t monoidales: Hacia una lógica de normas t continuas por la izquierda". Fuzzy Sets and Systems 124 : 271–288.
• Flaminio T. y Marchioni E., 2006, Lógicas basadas en normas T con una negación involutiva independiente. Fuzzy Sets and Systems 157 : 3125–3144.
• Gottwald S. y Hájek P., 2005, Lógica difusa matemática basada en normas triangulares. En EP Klement y R. Mesiar (eds.), Aspectos lógicos, algebraicos, analíticos y probabilísticos de las normas triangulares , págs. 275-300. Elsevier, Ámsterdam, 2005.
• Hájek P., 1998, Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer. ISBN  0-7923-5238-6 .

Referencias

1. Esteva y Godo (2001)
2. Łukasiewicz J., 1920, O logice trojwartosciowej (polaco, sobre la lógica de tres valores). Ruch filozoficzny 5 :170-171.
3. Hay, LS, 1963, Axiomatización del cálculo de predicados de valor infinito. Journal of Symbolic Logic 28 :77–86.
4. Gödel K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65–66.
5. Dummett M., 1959, Cálculo proposicional con matriz numerable, Journal of Symbolic Logic 27 : 97–106
6. Esteva F., Godo L., y Montagna F., 2001, Las lógicas ŁΠ y ŁΠ½: Dos sistemas difusos completos que unen las lógicas de Łukasiewicz y del producto, Archive for Mathematical Logic 40 : 39–67.
7. Cintula P., 2001, Las lógicas proposicionales y predicativas ŁΠ y ŁΠ½, Fuzzy Sets and Systems 124 : 289–302.
8. Baaz M., 1996, Lógica de Gödel de valor infinito con proyecciones 0-1 y relativizaciones. En P. Hájek (ed.), Gödel'96: Fundamentos lógicos de las matemáticas, la informática y la física , Springer, Lecture Notes in Logic 6 : 23–33
9. Hajek (1998)
10. Flaminio y Marchioni (2006)