Función de signo de interrogación de Minkowski

Función con propiedades fractales inusuales

Función de signo de interrogación de Minkowski.

Izquierda: ?( x ) . Derecha: ?( x ) − x .

En matemáticas , la función de signo de interrogación de Minkowski , denotada ?( x ) , es una función con propiedades fractales inusuales , definida por Hermann Minkowski en 1904. ^[1] Asigna números irracionales cuadráticos a números racionales en el intervalo unitario , a través de una expresión que relaciona las expansiones fraccionarias continuas de los cuadráticos con las expansiones binarias de los racionales, dada por Arnaud Denjoy en 1938. ^[2] También asigna números racionales a racionales diádicos , como se puede ver por una definición recursiva estrechamente relacionada con el árbol de Stern-Brocot .

Definición e intuición

Una forma de definir la función de signo de interrogación implica la correspondencia entre dos formas diferentes de representar números fraccionarios utilizando secuencias binarias finitas o infinitas . Más familiarmente, una cadena de 0 y 1 con un solo punto ".", como "11.0010010000111111..." puede interpretarse como la representación binaria de un número. En este caso, este número es Sin embargo, existe una forma diferente de interpretar la misma secuencia, utilizando fracciones continuas . Interpretando la parte fraccionaria "0.00100100001111110..." como un número binario de la misma manera, reemplaza cada bloque consecutivo de 0 o 1 por su longitud de ejecución (o, para el primer bloque de ceros, su longitud de ejecución más uno), en este caso generando la secuencia . Luego, usa esta secuencia como los coeficientes de una fracción continua: ^{[3] [4]} $${\displaystyle 2+1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{64}}+\cdots =\pi .}$$ ${\displaystyle [3;3,1,2,1,4,6,\dots ]}$ $${\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 2+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 4+{\frac {1}{\displaystyle 6+\dots }}}}}}}}}}}}\approx 3.2676}$$

La función de signo de interrogación invierte este proceso: traduce la fracción continua de un número real dado en una secuencia binaria codificada por longitud de ejecución y luego reinterpreta esa secuencia como un número binario. ^{[3] [4]} Por ejemplo, para el ejemplo anterior, . Para definir esto formalmente, si un número irracional tiene la representación de fracción continua (no terminal), entonces el valor de la función de signo de interrogación en se define como el valor de la serie infinita . De la misma manera, si un número racional tiene la representación de fracción continua terminal , entonces el valor de la función de signo de interrogación en se reduce a una suma finita, ${\displaystyle \operatorname {?} (3.2676)\approx \pi }$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{\displaystyle a_{1}+{\frac {1}{\displaystyle a_{2}+\cdots }}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}]}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{m}{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$

De manera análoga a la forma en que la función del signo de interrogación reinterpreta las fracciones continuas como números binarios, la función de Cantor puede entenderse como la reinterpretación de los números ternarios como números binarios.

Autosimetría

El signo de interrogación es claramente autosimilar visualmente. Un monoide de autosimilitudes puede generarse mediante dos operadores S y R que actúan sobre el cuadrado unitario y se define de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}S(x,y)&=\left({\frac {x}{x+1}},{\frac {y}{2}}\right),\\[5px]R(x,y)&=(1-x,1-y).\end{aligned}}}$$

Visualmente, S reduce el cuadrado unitario a su cuarto inferior izquierdo, mientras que R realiza una reflexión puntual a través de su centro.

Un punto en el gráfico de ? tiene coordenadas ( x , ?( x )) para algún x en el intervalo unitario. Dicho punto se transforma mediante S y R en otro punto del gráfico, porque ? satisface las siguientes identidades para todo x ∈ [0, 1] : $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {?} \left({\frac {x}{x+1}}\right)&={\frac {\operatorname {?} (x)}{2}},\\[5px]\operatorname {?} (1-x)&=1-\operatorname {?} (x).\end{aligned}}}$$

Estos dos operadores pueden combinarse repetidamente para formar un monoide. Un elemento general del monoide es entonces $${\displaystyle S^{a_{1}}RS^{a_{2}}RS^{a_{3}}\cdots }$$

para números enteros positivos a ₁ , a ₂ , a ₃ , … . Cada uno de estos elementos describe una autosimilitud de la función de signo de interrogación. Este monoide a veces se denomina monoide de duplicación de período , y todas las curvas fractales de duplicación de período tienen una autosimetría descrita por él (la curva de De Rham , de la que el signo de interrogación es un caso especial, es una categoría de tales curvas). Los elementos del monoide están en correspondencia con los racionales, por medio de la identificación de a ₁ , a ₂ , a ₃ , … con la fracción continua [0; a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…] . Dado que tanto y son transformaciones fraccionarias lineales con coeficientes enteros, el monoide puede considerarse como un subconjunto del grupo modular PSL(2, Z ) . $${\displaystyle S:x\mapsto {\frac {x}{x+1}}}$$ $${\displaystyle T:x\mapsto 1-x}$$

Irracionales cuadráticos

La función del signo de interrogación proporciona una correspondencia biunívoca entre los racionales no diádicos y los irracionales cuadráticos , lo que permite una prueba explícita de la contabilizabilidad de estos últimos. De hecho, se puede entender que estos corresponden a las órbitas periódicas de la transformación diádica . Esto se puede demostrar explícitamente en tan solo unos pocos pasos.

Simetría diádica

Defina dos movimientos: un movimiento hacia la izquierda y un movimiento hacia la derecha, válidos en el intervalo unitario como y y y La función del signo de interrogación obedece entonces a una simetría de movimiento hacia la izquierda y a una simetría de movimiento hacia la derecha donde denota composición de funciones . Estas pueden concatenarse arbitrariamente. Considere, por ejemplo, la secuencia de movimientos de izquierda a derecha. Añadiendo los subíndices C y D, y, para mayor claridad, eliminando el operador de composición en todos los lugares excepto en unos pocos, se tiene: Las cadenas arbitrarias de longitud finita en las letras L y R corresponden a los racionales diádicos , en el sentido de que cada racional diádico puede escribirse como tanto para el entero n y m como como longitud finita de bits con Por tanto, cada racional diádico está en correspondencia biunívoca con alguna autosimetría de la función del signo de interrogación. ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ $${\displaystyle L_{D}(x)={\frac {x}{2}}}$$ ${\displaystyle L_{C}(x)={\frac {x}{1+x}}}$ $${\displaystyle R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}}$$ ${\displaystyle R_{C}(x)={\frac {1}{2-x}}}$ $${\displaystyle L_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}}$$ $${\displaystyle R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ R_{C}}$$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle LRLLR.}$ ${\displaystyle \circ }$ $${\displaystyle L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}}$$ ${\displaystyle y=n/2^{m}}$ ${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$ ${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}.}$

Algunas reorganizaciones de la notación pueden hacer que lo anterior sea un poco más fácil de expresar. Sea y el que represente L y R. La composición de funciones extiende esto a un monoide , en el sentido de que se puede escribir y en general, para algunas cadenas binarias de dígitos A , B , donde AB es simplemente la concatenación ordinaria de tales cadenas. El monoide diádico M es entonces el monoide de todos esos movimientos de izquierda a derecha de longitud finita. Escribiéndolo como un elemento general del monoide, existe una autosimetría correspondiente de la función del signo de interrogación: ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}}$ ${\displaystyle g_{A}g_{B}=g_{AB}}$ ${\displaystyle \gamma \in M}$ $${\displaystyle \gamma _{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ \gamma _{C}}$$

Isomorfismo

Se puede obtener un mapeo explícito entre los racionales y los racionales diádicos proporcionando un operador de reflexión y notando que tanto y Dado que es la identidad , una cadena arbitraria de movimientos de izquierda a derecha se puede reescribir como una cadena de movimientos solo a la izquierda, seguida de una reflexión, seguida de más movimientos a la izquierda, una reflexión, y así sucesivamente, es decir, como que es claramente isomorfo a de arriba. Evaluar alguna secuencia explícita de en el argumento de la función da un racional diádico; explícitamente, es igual a donde cada uno es un bit binario, cero corresponde a un movimiento a la izquierda y uno corresponde a un movimiento a la derecha. La secuencia equivalente de movimientos, evaluada en da un número racional Es explícitamente el proporcionado por la fracción continua teniendo en cuenta que es un racional porque la secuencia era de longitud finita. Esto establece una correspondencia uno a uno entre los racionales diádicos y los racionales. $${\displaystyle r(x)=1-x}$$ $${\displaystyle r\circ R_{D}\circ r=L_{D}}$$ ${\displaystyle r\circ R_{C}\circ r=L_{C}}$ ${\displaystyle r^{2}=1}$ ${\displaystyle L^{a_{1}}rL^{a_{2}}rL^{a_{3}}\cdots }$ ${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}TS^{a_{3}}\cdots }$ ${\displaystyle L_{D},R_{D}}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$ ${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle L_{C},R_{C}}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle p/q.}$ ${\displaystyle p/q=[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j}]}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j})}$

Órbitas periódicas de la transformada diádica

Consideremos ahora las órbitas periódicas de la transformación diádica . Éstas corresponden a secuencias de bits que consisten en una secuencia inicial finita "caótica" de bits , seguida de una cadena repetida de longitud . Tales cadenas repetidas corresponden a un número racional. Esto se hace explícito fácilmente. Escriba uno entonces claramente tiene Agregando a la secuencia inicial no repetitiva, uno claramente tiene un número racional. De hecho, cada número racional puede expresarse de esta manera: una secuencia inicial "aleatoria", seguida de una repetición cíclica. Es decir, las órbitas periódicas del mapa están en correspondencia uno a uno con los racionales. ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k-1}}$ ${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\ldots ,b_{k+m-1}}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$$ $${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{m}}}}$$

Órbitas periódicas como fracciones continuas

Tales órbitas periódicas tienen una fracción continua periódica equivalente, según el isomorfismo establecido anteriormente. Hay una órbita "caótica" inicial, de cierta longitud finita, seguida de una secuencia repetitiva. La secuencia repetitiva genera una fracción continua periódica que satisface Esta fracción continua tiene la forma ^[5] donde los son números enteros y satisfacen Se pueden obtener valores explícitos escribiendo para el desplazamiento, de modo que mientras que la reflexión está dada por de modo que . Ambas matrices son unimodulares , los productos arbitrarios siguen siendo unimodulares y dan como resultado una matriz de la forma que da el valor preciso de la fracción continua. Como todas las entradas de la matriz son números enteros, esta matriz pertenece al grupo modular proyectivo ${\displaystyle x=[a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\ldots ,a_{n+r},x].}$ $${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1.}$ $${\displaystyle S\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle S^{n}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle T^{2}=I}$ $${\displaystyle S^{a_{n}}TS^{a_{n+1}}T\cdots TS^{a_{n+r}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} ).}$

Resolviendo explícitamente, se tiene que No es difícil verificar que las soluciones de esto cumplen con la definición de irracionales cuadráticos. De hecho, cada irracional cuadrático se puede expresar de esta manera. Por lo tanto, los irracionales cuadráticos están en correspondencia uno a uno con las órbitas periódicas de la transformada diádica, que están en correspondencia uno a uno con los racionales (no diádicos), que están en correspondencia uno a uno con los racionales diádicos. La función del signo de interrogación proporciona la correspondencia en cada caso. ${\displaystyle \gamma x^{2}+(\delta -\alpha )x-\beta =0.}$

Propiedades de?( x )

La función signo de interrogación es una función estrictamente creciente y continua, ^[6] pero no absolutamente continua . La derivada está definida casi en todas partes y puede tomar solo dos valores, 0 (su valor en casi todas partes, incluidos todos los números racionales ) y . ^[7] Hay varias construcciones para una medida que, cuando se integra, produce la función signo de interrogación. Una de estas construcciones se obtiene midiendo la densidad de los números de Farey en la línea de números reales. La medida signo de interrogación es el ejemplo prototípico de lo que a veces se denomina medidas multifractales . ${\displaystyle +\infty }$

La función signo de interrogación asigna números racionales a números racionales diádicos , es decir, aquellos cuya representación en base dos termina, como se puede probar por inducción a partir de la construcción recursiva delineada anteriormente. Asigna números irracionales cuadráticos a números racionales no diádicos. En ambos casos proporciona un isomorfismo de orden entre estos conjuntos, ^[8] haciendo concreto el teorema de isomorfismo de Cantor según el cual cada dos órdenes lineales densos contables no acotados son orden-isomorfos. ^[9] Es una función impar y satisface la ecuación funcional ?( x + 1) = ?( x ) + 1 ; en consecuencia x ↦ ?( x ) − x es una función periódica impar con período uno. Si ?( x ) es irracional, entonces x es algebraica de grado mayor que dos o trascendental .

La función del signo de interrogación tiene puntos fijos en 0, ⁠1/2⁠ y 1, y al menos dos más, simétricos respecto del punto medio. Uno es aproximadamente 0,42037. ^[6] Moshchevitin conjeturó que eran los únicos 5 puntos fijos. ^[10]

En 1943, Raphaël Salem planteó la cuestión de si los coeficientes de Fourier-Stieltjes de la función de signo de interrogación se anulan en el infinito. ^[11] En otras palabras, quería saber si $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}e^{2\pi inx}\,\operatorname {d?} (x)=0.}$$

Jordan y Sahlsten respondieron afirmativamente a esta pregunta, como un caso especial de un resultado en las medidas de Gibbs . ^[12]

La gráfica de la función de signo de interrogación de Minkowski es un caso especial de curvas fractales conocidas como curvas de De Rham .

Algoritmo

La definición recursiva se presta naturalmente a un algoritmo para calcular la función con cualquier grado deseado de precisión para cualquier número real, como lo demuestra la siguiente función C. El algoritmo desciende por el árbol de Stern-Brocot en busca de la entrada  x y suma los términos de la expansión binaria de y = ?( x ) en el camino. Mientras se cumpla el invariante de bucle qr − ps = 1, no hay necesidad de reducir la fracción ⁠metro/norte⁠ = ⁠p + r/q + s⁠ , ya que está en términos mínimos. Otro invariante es ⁠pag/q⁠ ≤ x < ⁠a/s⁠ . Elforbucle en este programa puede analizarse de forma similar a unwhilebucle, con las declaraciones de ruptura condicional en las primeras tres líneas que forman la condición. Las únicas declaraciones en el bucle que posiblemente pueden afectar a los invariantes están en las últimas dos líneas, y se puede demostrar que estas preservan la verdad de ambos invariantes siempre que las primeras tres líneas se hayan ejecutado con éxito sin salir del bucle. Un tercer invariante para el cuerpo del bucle (hasta precisión de punto flotante) es y ≤ ?( x ) < y + d , pero como d se reduce a la mitad al comienzo del bucle antes de que se pruebe cualquier condición, nuestra conclusión es solo que y ≤ ?( x ) < y + 2 d al final del bucle.

Para probar la terminación , es suficiente notar que la suma q + saumenta al menos en 1 con cada iteración del bucle, y que el bucle terminará cuando esta suma sea demasiado grande para ser representada en el tipo de datos primitivo de C. longSin embargo, en la práctica, la interrupción condicional cuando y + d == yes lo que asegura la terminación del bucle en un tiempo razonable.

/* Función de signo de interrogación de Minkowski */ double minkowski ( double x ) { long p = x ; long q = 1 , r = p + 1 , s = 1 , m , n ; double d = 1 , y = p ; if ( x < p || ( p < 0 ) ^ ( r <= 0 )) return x ; /* fuera de rango ?(x) =~ x */ for (;;) { /* invariantes: q * r - p * s == 1 && p / q <= x && x < r / s */ d /= 2 ; if ( y + d == y ) break ; /* se alcanzó la máxima precisión posible */ m = p + r ; if (( m < 0 ) ^ ( p < 0 )) break ; /* suma desbordada */ n = q + s ; si ( n < 0 ) break ; /* suma desbordada */                                                                                     si ( x < ( double ) m / n ) { r = m ; s = n ; } de lo contrario { y += d ; p = m ; q = n ; } } devuelve y + d ; /* redondeo final */ }                               

Distribución de probabilidad

Si restringimos la función de signo de interrogación de Minkowski a ?:[0,1] → [0,1], se puede utilizar como función de distribución acumulativa de una distribución singular en el intervalo unitario. Esta distribución es simétrica respecto de su punto medio, con momentos brutos de aproximadamente m ₁  = 0,5, m ₂  = 0,290926, m ₃  = 0,186389 y m ₄  = 0,126992, ^[13] y, por lo tanto, una media y una mediana de 0,5, una desviación estándar de aproximadamente 0,2023, una asimetría de 0 y una curtosis en exceso de aproximadamente −1,147.

Véase también

• Derivado de Pompeya
• Problema de Hermite , en el cual uno de los enfoques utiliza la generalización de la función de signo de interrogación de Minkowski. ^[14]

Referencias

Notas

1. Minkowski (1904), págs. 171-172.
2. Denjoy (1938).
3. Finch (2003), págs. 441–442.
4. Pytheas Fogg (2002), pág. 95.
5. Khinchin (1964).
6. Finch (2003), pág. 442.
7. Dushistova y Moshchevitin (2012).
8. Girgensohn (1996).
9. Bhattacharjee y otros (1997).
10. Moshchevitin (2020).
11. Salem (1943).
12. Jordan y Sahlsten (2016).
13. Alkauskas (2010).
14. Beaver, Olga R. ; Garrity, Thomas (2004), "Una función ?( x ) de Minkowski bidimensional ", Journal of Number Theory , 107 (1): 105–134, arXiv : math/0210480 , doi :10.1016/j.jnt.2004.01.008, MR  2059953

Fuentes históricas

• Minkowski, Hermann (1904), "Zur Geometrie der Zahlen", Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses en Heidelberg , Berlín, págs. 164–173, JFM  36.0281.01, archivado desde el original el 4 de enero de 2015{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Denjoy, Arnaud (1938), "Sur une fonction réelle de Minkowski", J. Math. Pures Appl. , Série IX (en francés), 17 : 105–151, Zbl  0018.34602

Bibliografía

• Alkauskas, Giedrius (2010), "Los momentos de la función de signo de interrogación de Minkowski: la función de período diádico", Glasgow Mathematical Journal , 52 (1): 41–64, arXiv : 0801.0051 , doi :10.1017/S0017089509990152, MR  2587817, S2CID  115167042
• Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1997), "Números racionales", Notas sobre grupos de permutaciones infinitas , Textos y lecturas en matemáticas, vol. 12, Berlín: Springer-Verlag, págs. 77–86, doi :10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN 81-85931-13-5, Sr.  1632579
• Dushistova, Anna A.; Moshchevitin, Nikolai G. (marzo de 2012), "Sobre la derivada de la función de signo de interrogación de Minkowski ", Journal of Mathematical Sciences , 182 (4): 463–471, arXiv : 0706.2219 , doi :10.1007/s10958-012-0750-2, MR  2825515, S2CID  115156022 ${\displaystyle ?(x)}$
• Finch, Steven R. (2003), Constantes matemáticas , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 94, Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-81805-6, Zbl1054.00001 ​
• Girgensohn, Roland (1996), "Construcción de funciones singulares mediante fracciones de Farey", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR  1412484
• Jordan, Thomas; Sahlsten, Tuomas (2016), "Transformadas de Fourier de medidas de Gibbs para el mapa de Gauss", Mathematische Annalen , 364 (3–4): 983–1023, arXiv : 1312.3619 , Bibcode :2013arXiv1312.3619J, doi :10.1007/s00208-015-1241-9, S2CID  56046793
• Khinchin, A. Ya. (1964) [Publicado originalmente en ruso, 1935], "10: Números irracionales cuadráticos y fracciones periódicas continuas", Fracciones continuas , University of Chicago Press , pp. 47–50, ISBN 0-486-69630-8; reimpreso por Dover Publications, 1997
• Moshchevitin, Nikolay (25 de noviembre de 2020), "Sesión de problemas abiertos", Problemas diofánticos, determinismo y aleatoriedad, CIRM – vía YouTube
• Pytheas Fogg, N. (2002), Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, cristiano; Siegel, A. (eds.), Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1794, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44141-0, Zbl1014.11015 ​
• Salem, Raphaël (1943), "Sobre algunas funciones monótonas singulares que son estrictamente crecientes" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 53 (3): 427–439, doi : 10.2307/1990210 , JSTOR  1990210

Lectura adicional

• Alkauskas, Giedrius (2008), Transformadas integrales de la función de signo de interrogación de Minkowski, tesis doctoral, Universidad de Nottingham
• Bibiloni, L.; Paradis, J.; Viader, P. (1998), "Una nueva luz sobre la función ?(x) de Minkowski", Journal of Number Theory , 73 (2): 212–227, doi :10.1006/jnth.1998.2294, hdl : 10230/843 , Zbl  0928.11006, archivado desde el original el 22 de junio de 2015
• Bibiloni, L.; Paradis, J.; Viader, P. (2001), "La derivada de la función singular de Minkowski", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 253 (1): 107–125, doi : 10.1006/jmaa.2000.7064 , Zbl  0995.26005
• Conley, RM (2003), Un estudio de la función ?(x) de Minkowski , tesis de maestría, Universidad de Virginia Occidental
• Conway, JH (2000), "Fracciones retorcidas", On Numbers and Games (2.ª ed.), Wellesley, MA: AK Peters, págs. 82–86
• Vepstas, L. (2004), El signo de interrogación de Minkowski y el grupo modular SL(2,Z) (PDF)
• Vepstas, L. (2008), "Sobre la medida de Minkowski", arXiv : 0810.1265 [math.DS]

Enlaces externos

• Una extensa lista bibliográfica
• Weisstein, Eric W. , "La función de signo de interrogación de Minkowski", MathWorld
• Implementación simple de IEEE 754 en C++