En probabilidad , una distribución singular es una distribución de probabilidad concentrada en un conjunto de medida de Lebesgue cero , donde la probabilidad de cada punto en ese conjunto es cero [1] .
Estas distribuciones a veces se denominan distribuciones continuas singulares , ya que sus funciones de distribución acumulativas son singulares y continuas [1] .
Estas distribuciones no son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue .
Una distribución singular no es una distribución de probabilidad discreta porque cada punto discreto tiene una probabilidad cero. Por otra parte, tampoco tiene una función de densidad de probabilidad , ya que la integral de Lebesgue de cualquier función de este tipo sería cero.
En general, las distribuciones se pueden describir como una distribución discreta (con una función de masa de probabilidad), una distribución absolutamente continua (con una densidad de probabilidad), una distribución singular (sin ninguna) o se pueden descomponer en una mezcla de estas [1] .
Un ejemplo es la distribución de Cantor ; su función de distribución acumulativa es una escalera del diablo . Ejemplos menos curiosos aparecen en dimensiones superiores. Por ejemplo, los límites superior e inferior de Fréchet-Hoeffding son distribuciones singulares en dos dimensiones.