Número irracional cuadrático

Concepto matemático

En matemáticas , un número irracional cuadrático (también conocido como irracional cuadrático o irracional cuadrático radical ) es un número irracional que es la solución de alguna ecuación cuadrática con coeficientes racionales que es irreducible sobre los números racionales . ^[1] Dado que las fracciones en los coeficientes de una ecuación cuadrática se pueden despejar multiplicando ambos lados por su mínimo común denominador , un irracional cuadrático es una raíz irracional de alguna ecuación cuadrática con coeficientes enteros . Los números irracionales cuadráticos, un subconjunto de los números complejos , son números algebraicos de grado 2 y, por lo tanto, se pueden expresar como

${\displaystyle {a+b{\sqrt {c}} \over d},}$

para los números enteros a , b , c , d ; con b , c y d distintos de cero, y con c libre de cuadrados . Cuando c es positivo, obtenemos números irracionales cuadráticos reales , mientras que un c negativo da números irracionales cuadráticos complejos que no son números reales . Esto define una inyección de los irracionales cuadráticos a los cuádruplos de números enteros, por lo que su cardinalidad es, como máximo , contable ; dado que, por otra parte, cada raíz cuadrada de un número primo es un irracional cuadrático distinto, y hay una cantidad contable de números primos, son al menos contables; por lo tanto, los irracionales cuadráticos son un conjunto contable .

Los irracionales cuadráticos se utilizan en la teoría de campos para construir extensiones de campo del campo de números racionales Q . Dado el entero sin cuadrados c , la ampliación de Q por irracionales cuadráticos utilizando √ c produce un campo cuadrático Q ( √ c ). Por ejemplo, las inversas de los elementos de Q ( √ c ) tienen la misma forma que los números algebraicos anteriores:

${\displaystyle {d \over a+b{\sqrt {c}}}={ad-bd{\sqrt {c}} \over a^{2}-b^{2}c}.}$

Los irracionales cuadráticos tienen propiedades útiles, especialmente en relación con las fracciones continuas , donde tenemos el resultado de que todos los irracionales cuadráticos reales, y solo los irracionales cuadráticos reales, tienen formas de fracción continua periódica . Por ejemplo

${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$

Las fracciones periódicas continuas pueden colocarse en correspondencia biunívoca con los números racionales. La correspondencia se proporciona explícitamente mediante la función de signo de interrogación de Minkowski , y en ese artículo se ofrece una construcción explícita. Es completamente análoga a la correspondencia entre números racionales y cadenas de dígitos binarios que tienen una cola que se repite eventualmente, que también proporciona la función de signo de interrogación. Tales secuencias repetidas corresponden a órbitas periódicas de la transformación diádica (para los dígitos binarios) y el mapa de Gauss para fracciones continuas. ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$

Números irracionales cuadráticos reales y formas cuadráticas binarias indefinidas

Podemos reescribir una irracionalidad cuadrática de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {a+b{\sqrt {c}}}{d}}={\frac {a+{\sqrt {b^{2}c}}}{d}}.}$

De ello se deduce que todo número irracional cuadrático puede escribirse en la forma

${\displaystyle {\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}.}$

Esta expresión no es única.

Fije un entero positivo no cuadrado congruente con o módulo , y defina un conjunto como ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle S_{c}}$

${\displaystyle S_{c}=\left\{{\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}\colon a,d{\text{ integers, }}\,d{\text{ even}},\,a^{2}\equiv c{\pmod {2d}}\right\}.}$

Toda irracionalidad cuadrática está en algún conjunto , ya que las condiciones de congruencia pueden cumplirse escalando el numerador y el denominador por un factor apropiado. ${\displaystyle S_{c}}$

Una matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

con entradas enteras y se puede utilizar para transformar un número en . El número transformado es ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S_{c}}$

${\displaystyle z={\frac {\alpha y+\beta }{\gamma y+\delta }}}$

Si está en , entonces también lo está. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S_{c}}$ ${\displaystyle z}$

La relación entre y anterior es una relación de equivalencia . (Esto se deduce, por ejemplo, porque la transformación anterior da una acción de grupo del grupo de matrices enteras con determinante 1 en el conjunto ). Por lo tanto, se particiona en clases de equivalencia . Cada clase de equivalencia comprende una colección de irracionalidades cuadráticas con cada par equivalente a través de la acción de alguna matriz. El teorema de Serret implica que las expansiones de fracciones continuas regulares de irracionalidades cuadráticas equivalentes son eventualmente las mismas, es decir, sus secuencias de cocientes parciales tienen la misma cola. Por lo tanto, todos los números en una clase de equivalencia tienen expansiones de fracciones continuas que son eventualmente periódicas con la misma cola. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S_{c}}$ ${\displaystyle S_{c}}$

Hay un número finito de clases de equivalencia de irracionalidades cuadráticas en . La prueba estándar de esto implica considerar la función de las formas cuadráticas binarias del discriminante a dada por ${\displaystyle S_{c}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{c}}$

${\displaystyle \phi (tx^{2}+uxy+vy^{2})={\frac {-u+{\sqrt {c}}}{2t}}}$

Un cálculo muestra que es una biyección que respeta la acción matricial en cada conjunto. Las clases de equivalencia de irracionalidades cuadráticas están entonces en biyección con las clases de equivalencia de formas cuadráticas binarias, y Lagrange demostró que hay un número finito de clases de equivalencia de formas cuadráticas binarias de un discriminante dado. ${\displaystyle \phi }$

A través de la biyección , la expansión de un número en una fracción continua corresponde a la reducción de la forma cuadrática. La naturaleza eventualmente periódica de la fracción continua se refleja entonces en la naturaleza eventualmente periódica de la órbita de una forma cuadrática bajo reducción, correspondiendo las irracionalidades cuadráticas reducidas (aquellas con una fracción continua puramente periódica) a las formas cuadráticas reducidas. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle S_{c}}$

La raíz cuadrada de un número no cuadrado es irracional

La definición de irracionales cuadráticos requiere que satisfagan dos condiciones: deben satisfacer una ecuación cuadrática y deben ser irracionales. Las soluciones de la ecuación cuadrática ax ²  +  bx  +  c  = 0 son

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Por lo tanto, los irracionales cuadráticos son precisamente aquellos números reales en esta forma que no son racionales. Como b y 2 a son ambos números enteros, preguntar cuándo la cantidad anterior es irracional es lo mismo que preguntar cuándo la raíz cuadrada de un número entero es irracional. La respuesta a esto es que la raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea un número cuadrado es irracional.

La raíz cuadrada de 2 fue el primer número de este tipo que se demostró que era irracional. Teodoro de Cirene demostró la irracionalidad de las raíces cuadradas de los números naturales no cuadrados hasta el 17, pero se detuvo allí, probablemente porque el álgebra que utilizó no podía aplicarse a la raíz cuadrada de números mayores que 17. El Libro 10 de los Elementos de Euclides está dedicado a la clasificación de magnitudes irracionales. La prueba original de la irracionalidad de los números naturales no cuadrados depende del lema de Euclides .

Muchas pruebas de la irracionalidad de las raíces cuadradas de números naturales no cuadrados asumen implícitamente el teorema fundamental de la aritmética , que fue demostrado por primera vez por Carl Friedrich Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae . Este afirma que cada número entero tiene una factorización única en primos. Para cualquier número no entero racional en términos más bajos debe haber un primo en el denominador que no divida al numerador. Cuando el numerador se eleva al cuadrado, ese primo todavía no lo dividirá debido a la factorización única. Por lo tanto, el cuadrado de un número no entero racional siempre es un número no entero; por contraposición , la raíz cuadrada de un número entero siempre es otro número entero o irracional.

Euclides utilizó una versión restringida del teorema fundamental y algunos argumentos cuidadosos para demostrar el teorema. Su prueba se encuentra en la Proposición 9 del Libro X de los Elementos de Euclides. ^[2]

Sin embargo, no se requiere realmente el teorema fundamental de la aritmética para demostrar el resultado. Existen pruebas independientes de Richard Dedekind , ^[3] entre otros. La siguiente prueba fue adaptada por Colin Richard Hughes a partir de una prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 encontrada por Theodor Estermann en 1975. ^{[4] [5]}

Si D es un número natural no cuadrado, entonces existe un número natural n tal que:

n ² < D < ( n  + 1 ) ² ,

Así que en particular

0 < √ D − n < 1.

Si la raíz cuadrada de D es racional, entonces puede escribirse como la fracción irreducible p / q , de modo que q es el denominador más pequeño posible y, por lo tanto, el número más pequeño para el cual q √ D también es un entero. Entonces:

( √ D − n ) q √ D = qD − nq √ D

que por tanto también es un entero. Pero 0 < ( √ D  −  n ) < 1, por lo que ( √ D  −  n ) q  <  q . Por lo tanto, ( √ D  −  n ) q es un entero menor que q , que multiplicado por √ D da como resultado un entero. Esto es una contradicción, porque q se definió como el número más pequeño de esos números. Por lo tanto, √ D no puede ser racional.

Véase también

• Campo de números algebraicos
• Apótome (matemáticas)
• Fracción periódica continua
• Cocientes parciales restringidos
• Entero cuadrático

Referencias

1. Jörn Steuding, Análisis diofántico , (2005), Chapman & Hall, p.72.
2. Euclides. "Elementos de Euclides, Libro X, Proposición 9". DEJoyce, Clark University . Consultado el 29 de octubre de 2008 .
3. Bogomolny, Alexander . «La raíz cuadrada de 2 es irracional». Miscelánea y acertijos de matemáticas interactivas . Consultado el 5 de mayo de 2016 .
4. Hughes, Colin Richard (1999). "Raíces irracionales". Mathematical Gazette . 83 (498): 502–503. doi :10.2307/3620972. JSTOR  3620972. S2CID  149602021.
5. Estermann, Theodor (1975). "La irracionalidad de √2". Mathematical Gazette . 59 (408): 110. doi :10.2307/3616647. JSTOR  3616647. S2CID  126072097.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número irracional cuadrático". MathWorld .
• Calculadora de fracciones continuas para números irracionales cuadráticos
• Prueba de que e no es un irracional cuadrático