Operador Gauss-Kuzmin-Wirsing

En matemáticas , el operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing es el operador de transferencia de la función de Gauss que lleva un número positivo a la parte fraccionaria de su recíproco. (No es lo mismo que la función de Gauss en geometría diferencial ). Recibe su nombre en honor a Carl Gauss , Rodion Kuzmin y Eduard Wirsing . Aparece en el estudio de las fracciones continuas ; también está relacionado con la función zeta de Riemann .

Relación con los mapas y fracciones continuas

El mapa de Gauss

Archivo:Función Gauss

La función de Gauss (mapa) h es:

${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor .}$

donde denota la función de piso . ${\displaystyle \lfloor 1/x\rfloor }$

Tiene un número infinito de discontinuidades de salto en x = 1/ n , para números enteros positivos  n . Es difícil aproximarlo mediante un único polinomio suave. ^[1]

Operador en los mapas

El operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing actúa sobre funciones como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle [Gf](x)=\int _{0}^{1}\delta (x-h(y))f(y)\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}f\left({\frac {1}{x+n}}\right).}$

tiene el punto fijo , único hasta la escala, que es la densidad de la medida invariante bajo el mapa de Gauss. ${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{\ln 2(1+x)}}}$

Valores propios del operador

La primera función propia de este operador es

${\displaystyle {\frac {1}{\ln 2}}\ {\frac {1}{1+x}}}$

que corresponde a un valor propio de λ ₁  = 1. Esta función propia da la probabilidad de ocurrencia de un entero dado en una expansión de fracción continua, y se conoce como la distribución de Gauss-Kuzmin . Esto se debe en parte a que el mapa de Gauss actúa como un operador de desplazamiento truncado para las fracciones continuas : si

${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]}$

es la representación en fracción continua de un número 0 <  x  < 1, entonces

${\displaystyle h(x)=[0;a_{2},a_{3},\dots ].}$

Como es conjugada a un desplazamiento de Bernoulli , el valor propio es simple, y como el operador deja invariante la medida de Gauss-Kuzmin, el operador es ergódico con respecto a la medida. Este hecho permite una breve demostración de la existencia de la constante de Khinchin . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$

Se pueden calcular numéricamente valores propios adicionales; el siguiente valor propio es λ ₂ = −0,3036630029... (secuencia A038517 en la OEIS ) y su valor absoluto se conoce como la constante de Gauss–Kuzmin–Wirsing . No se conocen formas analíticas para funciones propias adicionales. No se sabe si los valores propios son irracionales .

Ordenemos los valores propios del operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing según un valor absoluto:

${\displaystyle 1=|\lambda _{1}|>|\lambda _{2}|\geq |\lambda _{3}|\geq \cdots .}$

En 1995, Philippe Flajolet y Brigitte Vallée conjeturaron que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda _{n}}{\lambda _{n+1}}}=-\varphi ^{2},{\text{ where }}\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

En 2018, Giedrius Alkauskas presentó un argumento convincente de que esta conjetura puede refinarse hasta convertirse en una afirmación mucho más sólida: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&(-1)^{n+1}\lambda _{n}=\varphi ^{-2n}+C\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{\sqrt {n}}}+d(n)\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{n}},\\[4pt]&{\text{where }}C={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\cdot \zeta (3/2)}{2{\sqrt {\pi }}}}=1.1019785625880999_{+};\end{aligned}}}$

Aquí la función está acotada y es la función zeta de Riemann . ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle \zeta (\star )}$

Espectro continuo

Los valores propios forman un espectro discreto, cuando el operador se limita a actuar sobre funciones en el intervalo unitario de la recta de números reales. En términos más generales, dado que la función de Gauss es el operador de desplazamiento en el espacio de Baire , el operador GKW también puede verse como un operador en el espacio de funciones (considerado como un espacio de Banach , con funciones base tomadas como funciones indicadoras en los cilindros de la topología de producto ). En el último caso, tiene un espectro continuo, con valores propios en el disco unitario del plano complejo. Es decir, dado el cilindro , el operador G lo desplaza hacia la izquierda: . Tomando como la función indicadora que es 1 en el cilindro (cuando ), y cero en caso contrario, se tiene que . La serie ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\lambda |<1}$ ${\displaystyle C_{n}[b]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \mathbb {N} ^{\omega }:a_{n}=b\}}$ ${\displaystyle GC_{n}[b]=C_{n-1}[b]}$ ${\displaystyle r_{n,b}(x)}$ ${\displaystyle x\in C_{n}[b]}$ ${\displaystyle Gr_{n,b}=r_{n-1,b}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda ^{n-1}r_{n,b}(x)}$

entonces es una función propia con valor propio . Es decir, se tiene siempre que la suma converge: es decir, cuando . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [Gf](x)=\lambda f(x)}$ ${\displaystyle |\lambda |<1}$

Un caso especial surge cuando se desea considerar la medida de Haar del operador de desplazamiento, es decir, una función que es invariante ante desplazamientos. Esto viene dado por la medida de Minkowski . Es decir, se tiene que . ^[3] ${\displaystyle ?^{\prime }}$ ${\displaystyle G?^{\prime }=?^{\prime }}$

Ergodicidad

El mapa de Gauss es de hecho mucho más que ergódico: se mezcla exponencialmente, ^{[4] [5]} pero la prueba no es elemental.

Entropía

El mapa de Gauss, sobre la medida de Gauss, tiene entropía . Esto se puede demostrar mediante la fórmula de Rokhlin para la entropía. Luego, utilizando el teorema de Shannon-McMillan-Breiman , con su propiedad de equipartición, obtenemos el teorema de Lochs . ^[6] ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$

Preliminares de la teoría de la medida

Una familia de cobertura es un conjunto de conjuntos mensurables, de modo que cualquier conjunto abierto es una unión disjunta de los conjuntos que lo componen. Compárese esto con la base en topología , que es menos restrictiva ya que permite uniones no disjuntas. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Lema de Knopp. Sea medible, sea una familia de cobertura y supongamos que . Entonces . ${\displaystyle B\subset [0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \exists \gamma >0,\forall A\in {\mathcal {C}},\mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (B)=1}$

Demostración. Como cualquier conjunto abierto es una unión disjunta de conjuntos en , tenemos para cualquier conjunto abierto , no solo cualquier conjunto en . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Tomemos el complemento . Dado que la medida de Lebesgue es regular externamente , podemos tomar un conjunto abierto que esté cerca de , lo que significa que la diferencia simétrica tiene una medida arbitrariamente pequeña . ${\displaystyle B^{c}}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B^{c}}$ ${\displaystyle \mu (B'\Delta B^{c})<\epsilon }$

En el límite, se convierte en tener . ${\displaystyle \mu (B'\cap B)\geq \gamma \mu (B')}$ ${\displaystyle 0\geq \gamma \mu (B^{c})}$

El mapa de Gauss es ergódico

Fijemos una secuencia de números enteros positivos. Sea . Sea el intervalo el intervalo abierto con extremos . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {q_{n}}{p_{n}}}=[0;a_{1},\dots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$ ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]}$

Lema. Para cualquier intervalo abierto , tenemos Demostración. Para cualquier tenemos por la teoría de fracciones continuas estándar . Al expandir la definición, es un intervalo con puntos finales . Ahora calcule directamente. Para mostrar que la fracción es , use el hecho de que . ${\displaystyle (a,b)\subset (0,1)}$ $${\displaystyle \mu (T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n})=\mu ((a,b))\mu (\Delta _{n})\underbrace {\left({\frac {q_{n}(q_{n}+q_{n-1})}{(q_{n}+q_{n-1}b)(q_{n}+q_{n-1}a)}}\right)} _{\geq 1/2}}$$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}+t]={\frac {q_{n}+q_{n-1}t}{p_{n}+p_{n-1}t}}}$ ${\displaystyle T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n}}$ ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}+a],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+b]}$ ${\displaystyle \geq 1/2}$ ${\displaystyle q_{n}\geq q_{n-1}}$

Teorema. El mapa de Gauss es ergódico.

Demostración. Consideremos el conjunto de todos los intervalos abiertos en la forma . Reúnalos en una sola familia . Esta es una familia de recubrimiento, porque cualquier intervalo abierto donde son racionales, es una unión disjunta de un número finito de conjuntos en . ${\displaystyle ([0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1])}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (a,b)\setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Supóngase que un conjunto es -invariante y tiene medida positiva. Elija cualquier . Como la medida de Lebesgue es regular externa, existe un conjunto abierto que difiere de solo en . Como es -invariante, también tenemos . Por lo tanto, Por el lema anterior, tenemos Tomamos el límite, tenemos . Por el lema de Knopp, tiene medida completa. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta _{n}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\Delta B)=\mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon }$ $${\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\in \mu (B\cap \Delta _{n})\pm \epsilon }$$ $${\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B_{0})\mu (\Delta _{n})\in {\frac {1}{2}}(\mu (B)\pm \epsilon )\mu (\Delta _{n})}$$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle \mu (B\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B)\mu (\Delta _{n})}$

Relación con la función zeta de Riemann

El operador GKW está relacionado con la función zeta de Riemann . Nótese que la función zeta se puede escribir como

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx}$

Lo que implica que

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}x\left[Gx^{s-1}\right]\,dx}$

por cambio de variable.

Elementos de la matriz

Consideremos las expansiones en serie de Taylor en x  = 1 para una función f ( x ) y . Es decir, sea ${\displaystyle g(x)=[Gf](x)}$

${\displaystyle f(1-x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}}}$

y escribimos lo mismo para g ( x ). La expansión se hace alrededor de x  = 1 porque el operador GKW se comporta mal en x  = 0. La expansión se hace alrededor de 1 −  x de modo que podamos mantener x como un número positivo, 0 ≤  x  ≤ 1. Entonces el operador GKW actúa sobre los coeficientes de Taylor como

${\displaystyle (-1)^{m}{\frac {g^{(m)}(1)}{m!}}=\sum _{n=0}^{\infty }G_{mn}(-1)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}},}$

donde los elementos de la matriz del operador GKW están dados por

${\displaystyle G_{mn}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{k+m+1 \choose m}\left[\zeta (k+m+2)-1\right].}$

Este operador está muy bien formado y, por lo tanto, es muy manejable numéricamente. La constante de Gauss-Kuzmin se calcula fácilmente con alta precisión diagonalizando numéricamente la parte superior izquierda de n por n . No se conoce ninguna expresión de forma cerrada que diagonalice este operador; es decir, no se conocen expresiones de forma cerrada para los vectores propios.

Zeta de Riemann

La zeta de Riemann se puede escribir como

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s-1 \choose n}t_{n}}$

donde están dados por los elementos de la matriz anterior: ${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle t_{n}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {G_{mn}}{(m+1)(m+2)}}.}$

Realizando las sumas se obtiene:

${\displaystyle t_{n}=1-\gamma +\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left[{\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}\right]}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni . Estas juegan el análogo de las constantes de Stieltjes , pero para la expansión factorial descendente . Al escribir ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=t_{n}-{\frac {1}{2(n+1)}}}$

Se obtiene: a ₀ = −0,0772156... y a ₁ = −0,00474863... y así sucesivamente. Los valores se reducen rápidamente pero son oscilatorios. Se pueden realizar algunas sumas explícitas de estos valores. Se pueden relacionar explícitamente con las constantes de Stieltjes reexpresando el factorial descendente como un polinomio con coeficientes de números de Stirling y luego resolviéndolo. De manera más general, la zeta de Riemann se puede reexpresar como una expansión en términos de secuencias de polinomios de Sheffer.

Esta expansión de la zeta de Riemann se investiga en las siguientes referencias. ^{[7] [8] [9] [10] [11]} Los coeficientes disminuyen a medida que

${\displaystyle \left({\frac {2n}{\pi }}\right)^{1/4}e^{-{\sqrt {4\pi n}}}\cos \left({\sqrt {4\pi n}}-{\frac {5\pi }{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {e^{-{\sqrt {4\pi n}}}}{n^{1/4}}}\right).}$

Referencias

1. Introducción a los métodos numéricos desde el punto de vista del análisis de errores hacia atrás por Corless, Robert, Fillion, Nicolas
2. Alkauskas, Giedrius (2018). "Operador de transferencia para el mapa de fracciones continuas de Gauss. I. Estructura de los valores propios y fórmulas de trazas". arXiv : 1210.4083 [math.NT].
3. Vepstas, Linas (2008). "Sobre la medida de Minkowski". arXiv : 0810.1265 [math.DS].
4. Zweimüller, Roland (30 de marzo de 2004). "Kuzmin, acoplamiento, conos y mezcla exponencial". Forum Mathematicum . 16 (3): 447–457. doi :10.1515/form.2004.021. ISSN  1435-5337.
5. Pollicott, Mark (2019), Dani, SG; Ghosh, Anish (eds.), "Mezcla exponencial: conferencias desde Mumbai", Aspectos geométricos y ergódicos de las acciones grupales , Infosys Science Foundation Series, Singapur: Springer, págs. 135-167, doi :10.1007/978-981-15-0683-3_4, ISBN 978-981-15-0683-3, S2CID  214272613 , consultado el 13 de enero de 2024
6. El teorema de Shannon-McMillan-Breiman
7. Yeremin, A. Yu.; Kaporin, IE; Kerimov, MK (1985). "El cálculo de la función zeta de Riemann en el dominio complejo". URSS Comput. Matemáticas y Matemáticas Físicas . 25 (2): 111–119. doi :10.1016/0041-5553(85)90116-8.
8. Yeremin, A. Yu.; Kaporin, IE; Kerimov, MK (1988). "Cálculo de las derivadas de la función zeta de Riemann en el dominio complejo". URSS Comput. Math. And Math. Phys . 28 (4): 115–124. doi :10.1016/0041-5553(88)90121-8.
9. Báez-Duarte, Luis (2003). "Una nueva condición necesaria y suficiente para la hipótesis de Riemann". arXiv : math.NT/0307215 .
10. Báez-Duarte, Luis (2005). "Un criterio secuencial tipo Riesz para la hipótesis de Riemann". Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 2005 (21): 3527–3537. doi : 10.1155/IJMMS.2005.3527 .
11. Flajolet, Philippe; Vepstas, Linas (2006). "Sobre las diferencias de los valores zeta". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 220 (1–2): 58–73. arXiv : math/0611332 . Código Bibliográfico :2008JCoAM.220...58F. doi :10.1016/j.cam.2007.07.040. S2CID  15022096.

Referencias generales

• A. Ya. Khinchin , Continued Fractions , 1935, traducción al inglés University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8 (Ver sección 15). 
• KI Babenko, Sobre un problema de Gauss , Soviet Mathematical Doklady 19 :136–140 (1978) MR 472746
• KI Babenko y SP Jur'ev, Sobre la discretización de un problema de Gauss , Soviet Mathematical Doklady 19 :731–735 (1978). MR 499751
• A. Durner, Sobre un teorema de Gauss-Kuzmin-Lévy. Arch. Math. 58 , 251–256, (1992). MR 1148200
• AJ MacLeod, Valores numéricos de alta precisión del problema de fracción continua de Gauss-Kuzmin. Computers Math. Appl. 26 , 37–44, (1993).
• E. Wirsing, Sobre el teorema de Gauss-Kuzmin-Lévy y un teorema de tipo Frobenius para espacios funcionales. Acta Arith. 24 , 507–528, (1974). MR 337868

Lectura adicional

• Keith Briggs, Un cálculo preciso de la constante de Gauss–Kuzmin–Wirsing (2003) (Contiene una colección muy extensa de referencias).
• Phillipe Flajolet y Brigitte Vallée , Sobre la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing Archivado el 18 de mayo de 2005 en Wayback Machine .
• Linas Vepstas El operador Bernoulli, el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing y el Zeta de Riemann (2004) (PDF)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing". MundoMatemático .
• Secuencia OEIS A038517 (Expansión decimal de la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing)