Derivado de Pompeya

En análisis matemático , una derivada de Pompeiu es una función de valor real de una variable real que es la derivada de una función diferenciable en todas partes y que se anula en un conjunto denso . En particular, una derivada de Pompeiu es discontinua en cada punto donde no es 0. Si tales funciones no idénticamente cero pueden existir fue un problema que surgió en el contexto de la investigación de principios del siglo XX sobre la diferenciabilidad e integrabilidad funcionales . La pregunta fue respondida afirmativamente por Dimitrie Pompeiu al construir un ejemplo explícito; por lo tanto, estas funciones llevan su nombre.

La construcción de Pompeya

Aquí se describe la construcción de Pompeiu. Sea la raíz cúbica real del número real $x$ . Sea una enumeración de los números racionales en el intervalo unitario $[0, 1]$ . Sean números reales positivos con . Definir por ${\sqrt[{3}]{x}}$ $\{q_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ $\{a_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ $\sum_{j}a_{j}<\infty$ $g\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$

g(x):=a_{0}+\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{x-q_{j}}}.

Para cada $x$ en $[0, 1]$ , cada término de la serie es menor o igual a $j$ en valor absoluto, por lo que la serie converge uniformemente a una función continua estrictamente creciente $g$ $($ $x$ $)$ , mediante la prueba M de Weierstrass . Además $,$ resulta que la función $g$ es diferenciable, con

g'(x):={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{j}}{\sqrt[{3}]{(x-q_{j})^{2}}}}>0,

en cada punto donde la suma es finita; además, en todos los demás puntos, en particular, en cada uno de los $q j$ , se tiene $g'(x) := +\infty$ . Puesto que la imagen de $g$ es un intervalo cerrado acotado con extremo izquierdo

g(0)=a_{0}-\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{q_{j}}},

hasta la elección de , podemos suponer y hasta la elección de un factor multiplicativo podemos suponer que $g$ mapea el intervalo $[0, 1]$ sobre sí mismo. Como $g$ es estrictamente creciente es inyectiva , y por lo tanto un homeomorfismo ; y por el teorema de diferenciación de la función inversa , su inversa $f$ $:=$ $g$ $-1$ tiene una derivada finita en cada punto, que se anula al menos en los puntos Estos forman un subconjunto denso de $[0, 1]$ (en realidad, se anula en muchos otros puntos; véase más abajo). $estilo de visualización a_{0}}$ $g(0)=0$ $\{g(q_{j})\}_{j\in \mathbb {N} }.$

Propiedades

Se sabe que el conjunto cero de una derivada de cualquier función diferenciable en todas partes (y, más generalmente, de cualquier función de la clase uno de Baire ) es un subconjunto G δ de la recta real. Por definición, para cualquier función de Pompeiu, este conjunto es un conjunto $G$ $δ$ denso ; por lo tanto, es un conjunto residual . En particular, posee una cantidad incontable de puntos.
Una combinación lineal $af (x) + bg (x)$ de funciones de Pompeiu es una derivada y se anula en el conjunto ${f = 0} \cap {g = 0}$ , que es un conjunto denso según el teorema de categorías de Baire. Por lo tanto, las funciones de Pompeiu forman un espacio vectorial de funciones. $Estilo de visualización G_{\delta}$
Una función límite de una sucesión uniformemente convergente de derivadas de Pompeiu es una derivada de Pompeiu. De hecho, es una derivada, debido al teorema del límite bajo el signo de la derivada. Además, se anula en la intersección de los conjuntos cero de las funciones de la sucesión: dado que estos son conjuntos $G$ $δ$ densos , el conjunto cero de la función límite también es denso.
En consecuencia, la clase $E$ de todas las derivadas de Pompeiu acotadas en un intervalo $[a, b]$ es un subespacio lineal cerrado del espacio de Banach de todas las funciones acotadas bajo la distancia uniforme (por lo tanto, es un espacio de Banach).
La construcción anterior de Pompeiu de una función positiva es un ejemplo bastante peculiar de una función de Pompeiu: un teorema de Weil establece que genéricamente una derivada de Pompeiu asume valores tanto positivos como negativos en conjuntos densos, en el sentido preciso de que tales funciones constituyen un conjunto residual del espacio de Banach $E.$

Referencias

Pompeya, Dimitrie (1907). "Sobre las funciones derivadas". Mathematische Annalen (en francés). 63 (3): 326–332. doi :10.1007/BF01449201. SEÑOR 1511410.
Andrew M. Bruckner, "Diferenciación de funciones reales"; Serie de monografías CRM, Montreal (1994).