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Sistema de numeración ternario

Un sistema de numeración ternario ( también llamado base 3 o trinario [1] ) tiene tres como base . Análogo a un bit , un dígito ternario es un trit ( tri nary dig it ). Un trit es equivalente a log 2 3 ( aproximadamente 1,58496  ) bits de información .

Aunque ternario se refiere con mayor frecuencia a un sistema en el que los tres dígitos son todos números no negativos; específicamente , 1 y 2 , el adjetivo también presta su nombre al sistema ternario equilibrado ; que comprende los dígitos −1 , 0 y +1, utilizado en lógica de comparación y computadoras ternarias .

Comparación con otras bases

Las representaciones de números enteros en ternario no se vuelven tan largas como en binario . Por ejemplo, el decimal 365 (10) o el senario 1 405 (6) corresponden al binario 1 0110 1101 (2) (nueve bits ) y al ternario 111 112 (3) (seis dígitos). Sin embargo, siguen siendo mucho menos compactas que las representaciones correspondientes en bases como el decimal ; véase a continuación una forma compacta de codificar el ternario utilizando nonario (base 9) y septemvigesimal (base 27).

En cuanto a los números racionales , el ternario ofrece una forma conveniente de representarlos .1/3⁠ lo mismo que senario (a diferencia de su engorrosa representación como una cadena infinita de dígitos recurrentes en decimal); pero un inconveniente importante es que, a su vez, ternario no ofrece una representación finita para ⁠1/2⁠ (ni para ⁠1/4⁠ , ⁠1/8⁠ , etc.), porque 2 no es un factor primo de la base; como con la base dos, un décimo (decimal ⁠1/10⁠ , senario ⁠1/14) no es representable con exactitud (para eso se necesitaría, por ejemplo, un decimal); ni tampoco lo es un sexto (senario ).1/10⁠ , decimal ⁠1/6⁠ ).

Suma de los dígitos en ternario en contraposición a binario

El valor de un número binario con n bits que son todos 1 es 2 n  − 1 .

De manera similar, para un número N ( b , d ) con dígitos base b y d , todos los cuales son el valor de dígito máximo b  − 1 , podemos escribir:

N ( b , d ) = ( b  − 1) b d −1 + ( b  − 1) b d −2 + … + ( b  − 1) b 1 + ( b  − 1) b 0 ,
N ( b , d ) = ( b  − 1) ( b d −1 + b d −2 + … + b 1 + 1),
N ( b , d ) = ( b  − 1) M .
bM = b d + b d −1 + … + b 2 + b 1 y
− M = − b d −1  −  b d −2  − ... − b 1  − 1 , entonces
bM  −  M = b d  − 1 , o
M = ⁠b d  − 1/b  -1⁠ .

Entonces

N ( b , d ) = ( b  − 1) M ,
N ( b , d ) = ⁠( b -  1)( bd  -1)/b  -1⁠ ,
N ( b , d ) = b d  − 1.

Para un número ternario de tres dígitos, N (3, 3) = 3 3  − 1 = 26 = 2 × 3 2 + 2 × 3 1 + 2 × 3 0 = 18 + 6 + 2 .

Representación ternaria compacta: base 9 y 27

Se puede utilizar nonario (base 9, cada dígito son dos dígitos ternarios) o septemvigesimal (base 27, cada dígito son tres dígitos ternarios) para la representación compacta del ternario, de forma similar a cómo se utilizan los sistemas octal y hexadecimal en lugar del binario .

Uso práctico

Uso de números ternarios para equilibrar un peso entero desconocido de 1 a 40 kg con pesos de 1, 3, 9 y 27 kg (4 dígitos ternarios en realidad dan 3 4 = 81 combinaciones posibles: −40 a +40, pero solo los valores positivos son útiles)

En cierta lógica analógica, el estado del circuito se expresa a menudo de forma ternaria. Esto se ve más comúnmente en circuitos CMOS y también en lógica transistor-transistor con salida tótem . Se dice que la salida es baja ( puesta a tierra ), alta o abierta ( alta- Z ). En esta configuración, la salida del circuito en realidad no está conectada a ninguna referencia de voltaje . Cuando la señal suele estar conectada a tierra con una determinada referencia o a un determinado nivel de voltaje, se dice que el estado es de alta impedancia porque está abierto y sirve a su propia referencia. Por lo tanto, el nivel de voltaje real a veces es impredecible.

Un "punto ternario" poco común de uso común es el de las estadísticas defensivas en el béisbol estadounidense (generalmente solo para lanzadores ), para denotar partes fraccionarias de una entrada. Dado que al equipo a la ofensiva se le permiten tres outs , cada out se considera un tercio de una entrada defensiva y se denota como .1 . Por ejemplo, si un jugador lanzó todas las entradas 4.ª, 5.ª y 6.ª, además de lograr 2 outs en la 7.ª entrada, su columna de entradas lanzadas para ese juego se enumeraría como 3.2 , el equivalente a 3.+2 ⁄ 3 (que a veces se utiliza como alternativa por algunos registradores). En este uso, solo la parte fraccionaria del número se escribe en forma ternaria. [2] [3]

Los números ternarios se pueden utilizar para expresar estructuras autosimilares como el triángulo de Sierpinski o el conjunto de Cantor de manera conveniente. Además, resulta que la representación ternaria es útil para definir el conjunto de Cantor y los conjuntos de puntos relacionados, debido a la forma en que se construye el conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor consta de los puntos de 0 a 1 que tienen una expresión ternaria que no contiene ninguna instancia del dígito 1. [4] [5] Cualquier expansión terminal en el sistema ternario es equivalente a la expresión que es idéntica hasta el término que precede al último término distinto de cero seguido por el término uno menos que el último término distinto de cero de la primera expresión, seguido por una cola infinita de dos. Por ejemplo: 0,1020 es equivalente a 0,1012222... porque las expansiones son las mismas hasta el "dos" de la primera expresión, el dos se decrementó en la segunda expansión y los ceros finales se reemplazaron por dos finales en la segunda expresión.

El ternario es el sistema entero de base con menor economía de base , seguido de cerca por el binario y el cuaternario . Esto se debe a su proximidad a la constante matemática e . Se ha utilizado en algunos sistemas informáticos debido a esta eficiencia. También se utiliza para representar árboles de tres opciones , como los sistemas de menú de teléfonos, que permiten una ruta sencilla a cualquier rama.

Una forma de representación binaria redundante llamada sistema numérico binario de dígitos con signo, una forma de representación de dígitos con signo , se utiliza a veces en software y hardware de bajo nivel para lograr una rápida suma de números enteros porque puede eliminar acarreos . [6]

Ternario codificado en binario

La simulación de computadoras ternarias mediante computadoras binarias, o la interconexión entre computadoras ternarias y binarias, puede implicar el uso de números ternarios codificados en binario (BCT), con dos o tres bits utilizados para codificar cada trit. [7] [8] La codificación BCT es análoga a la codificación decimal codificada en binario (BCD). Si los valores trit 0, 1 y 2 se codifican como 00, 01 y 10, la conversión en cualquier dirección entre ternario codificado en binario y binario se puede realizar en tiempo logarítmico . [9] Hay disponible una biblioteca de código C que admite la aritmética BCT. [10]

Prueba

Algunas computadoras ternarias como la Setun definieron un tryte como seis trits [11] o aproximadamente 9,5 bits (que contienen más información que el byte binario de facto ). [12]

Véase también

Referencias

  1. ^ Kindra, Vladimir; Rogalev, Nikolay; Osipov, Sergey; Zlyvko, Olga; Naumov, Vladimir (2022). "Investigación y desarrollo de ciclos de potencia trinarios". Invenciones . 7 (3): 56. doi : 10.3390/invenciones7030056 . ISSN  2411-5134.
  2. ^ Ashley MacLennan (9 de enero de 2019). "Una guía completa para principiantes sobre las estadísticas del béisbol: estadísticas de pitcheo y lo que significan". Bless You Boys (Dios los bendiga, muchachos) . Consultado el 30 de julio de 2020 .
  3. ^ "Estadísticas - Equipo - Lanzamiento". MLB (Major League Baseball) . Consultado el 30 de julio de 2020 .
  4. ^ Soltanifar, Mohsen (2006). "Sobre una secuencia de fractales de Cantor". Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal . 7 (1). Artículo 9.
  5. ^ Soltanifar, Mohsen (2006). "Una descripción diferente de una familia de conjuntos de Cantor de α media". Revista estadounidense de investigación de pregrado . 5 (2): 9–12.
  6. ^ Phatak, DS; Koren, I. (1994). "Sistemas de números híbridos con dígitos con signo: un marco unificado para representaciones de números redundantes con cadenas de propagación de acarreo acotadas" (PDF) . IEEE Transactions on Computers . 43 (8): 880–891. CiteSeerX 10.1.1.352.6407 . doi :10.1109/12.295850. 
  7. ^ Frieder, Gideon; Luk, Clement (febrero de 1975). "Algoritmos para operaciones ternarias ordinarias y equilibradas con código binario". IEEE Transactions on Computers . C-24 (2): 212–215. doi :10.1109/TC.1975.224188. S2CID  38704739.
  8. ^ Parhami, Behrooz; McKeown, Michael (3 de noviembre de 2013). "Aritmética con números ternarios balanceados codificados en binario". Conferencia Asilomar de 2013 sobre señales, sistemas y computadoras . Pacific Grove, California, EE. UU., págs. 1130-1133. doi :10.1109/ACSSC.2013.6810470. ISBN. 978-1-4799-2390-8.S2CID 9603084  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  9. ^ Jones, Douglas W. (junio de 2016). "Ternario codificado en binario y su inverso".
  10. ^ Jones, Douglas W. (29 de diciembre de 2015). "Tipos de datos ternarios para programadores de C".
  11. ^ Impagliazzo, John; Proydakov, Eduard (2006). Perspectivas sobre la informática soviética y rusa. Primera conferencia IFIP WG 9.7, SoRuCom 2006. Petrozavodsk, Rusia: Springer . ISBN 978-3-64222816-2.
  12. ^ Brousentsov, NP; Maslov, SP; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, EA "Desarrollo de computadoras ternarias en la Universidad Estatal de Moscú" . Consultado el 20 de enero de 2010 .

Lectura adicional

Enlaces externos