Sistema multifractal

Sistema con múltiples dimensiones fractales.

Un atractor extraño que exhibe escalamiento multifractal

Ejemplo de un estado propio electrónico multifractal en la transición de localización de Anderson en un sistema con 1367631 átomos.

Un sistema multifractal es una generalización de un sistema fractal en el que un solo exponente (la dimensión fractal ) no es suficiente para describir su dinámica; en cambio, se necesita un espectro continuo de exponentes (el llamado espectro de singularidad ). ^[1]

Los sistemas multifractales son comunes en la naturaleza. Incluyen la longitud de las costas , la topografía montañosa, ^[2] turbulencias completamente desarrolladas , escenas del mundo real, dinámica de los latidos del corazón , ^[3] marcha humana ^[4] y actividad, ^[5] actividad del cerebro humano , ^{[6] [7] [ 8] [9] [10] [11] [12]} y series temporales de luminosidad natural. ^[13] Se han propuesto modelos en diversos contextos que van desde la turbulencia en la dinámica de fluidos hasta el tráfico de Internet, las finanzas, el modelado de imágenes, la síntesis de texturas, la meteorología, la geofísica y más. ^{[ cita necesaria ]} El origen de la multifractalidad en datos secuenciales (series de tiempo) se ha atribuido a efectos de convergencia matemática relacionados con el teorema del límite central que tienen como focos de convergencia la familia de distribuciones estadísticas conocidas como modelos de dispersión exponencial de Tweedie , ^[14] así como los modelos geométricos Tweedie. ^[15] El primer efecto de convergencia produce secuencias monofractales, y el segundo efecto de convergencia es responsable de la variación en la dimensión fractal de las secuencias monofractales. ^[dieciséis]

El análisis multifractal se utiliza para investigar conjuntos de datos, a menudo junto con otros métodos de análisis de fractales y lagunares . La técnica implica distorsionar conjuntos de datos extraídos de patrones para generar espectros multifractales que ilustran cómo varía la escala a lo largo del conjunto de datos. El análisis multifractal se ha utilizado para descifrar las reglas generadoras y las funcionalidades de redes complejas. ^[17] Las técnicas de análisis multifractal se han aplicado en una variedad de situaciones prácticas, como la predicción de terremotos y la interpretación de imágenes médicas. ^{[18] [19] [20]}

Definición

En un sistema multifractal , el comportamiento alrededor de cualquier punto se describe mediante una ley de potencia local : ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s({\vec {x}}+{\vec {a}})-s({\vec {x}})\sim a^{h({\vec {x}})}.}$

El exponente se llama exponente de singularidad, ya que describe el grado local de singularidad o regularidad alrededor del punto . ^[21] ${\displaystyle h({\vec {x}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

El conjunto formado por todos los puntos que comparten el mismo exponente de singularidad se llama variedad de singularidad de exponente h , y es un conjunto fractal de dimensión fractal, el espectro de singularidad. La curva versus se llama espectro de singularidad y describe completamente la distribución estadística de la variable . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle D(h):}$ ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

En la práctica, el comportamiento multifractal de un sistema físico no se caracteriza directamente por su espectro de singularidad . Más bien, el análisis de datos da acceso a los exponentes de escala múltiple . De hecho, las señales multifractales generalmente obedecen a una propiedad de invariancia de escala que produce comportamientos de ley de potencia para cantidades de resolución múltiple, dependiendo de su escala . Dependiendo del objeto bajo estudio, estas cantidades de resolución múltiple, denotadas por , pueden ser promedios locales en cuadros de tamaño , gradientes a lo largo de la distancia , coeficientes wavelet a escala , etc. Para objetos multifractales, generalmente se observa una escala de ley de potencia global de la forma : ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q),\ q\in {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle T_{X}(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta (q)}\ }$

al menos en algún rango de escalas y para algún rango de órdenes . Cuando se observa tal comportamiento, se habla de invariancia de escala, autosimilitud o multiescala. ^[22] ${\displaystyle q}$

Estimacion

Utilizando el llamado formalismo multifractal , se puede demostrar que, bajo algunos supuestos adecuados, existe una correspondencia entre el espectro de singularidad y los exponentes de escala múltiple a través de una transformada de Legendre . Si bien la determinación de requiere un análisis local exhaustivo de los datos, lo que daría lugar a cálculos difíciles y numéricamente inestables, la estimación de se basa en el uso de promedios estadísticos y regresiones lineales en diagramas logarítmicos. Una vez conocidos, se puede deducir una estimación gracias a una simple transformada de Legendre. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle D(h),}$

Los sistemas multifractales suelen modelarse mediante procesos estocásticos como las cascadas multiplicativas . Se interpretan estadísticamente, ya que caracterizan la evolución de las distribuciones de las escalas mayores a menores. Esta evolución a menudo se denomina intermitencia estadística y delata un alejamiento de los modelos gaussianos . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle T_{X}(a)}$ ${\displaystyle a}$

El modelado como cascada multiplicativa también conduce a la estimación de propiedades multifractales. Roberts y Cronin 1996 Este método funciona razonablemente bien, incluso para conjuntos de datos relativamente pequeños. Un ajuste máximo probable de una cascada multiplicativa al conjunto de datos no sólo estima el espectro completo sino que también proporciona estimaciones razonables de los errores. ^[23]Error de harvnb: sin destino: CITEREFRobertsCronin1996 ( ayuda )

Estimación de escala multifractal a partir del conteo de cajas

Los espectros multifractales se pueden determinar mediante el conteo de cajas en imágenes digitales. Primero, se realiza un escaneo de conteo de cajas para determinar cómo se distribuyen los píxeles; entonces, esta "distribución masiva" se convierte en la base de una serie de cálculos. ^{[24] [25] [26]} La idea principal es que para los multifractales, la probabilidad de que aparezca un número de píxeles en un cuadro varía según el tamaño del cuadro , hasta algún exponente , que cambia a lo largo de la imagen, como en la ecuación 0.0. ( NB : para los monofractales, por el contrario, el exponente no cambia significativamente a lo largo del conjunto). se calcula a partir de la distribución de píxeles de conteo de cajas como en la Ec.2.0 . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \epsilon }$= una escala arbitraria ( tamaño de caja en el conteo de cajas) en la que se examina el conjunto

${\displaystyle i}$= el índice de cada caja colocada sobre el conjunto durante un ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$= el número de píxeles o masa en cualquier cuadro, en tamaño ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{\epsilon }}$= el total de cuadros que contenían más de 0 píxeles, para cada ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle P}$se utiliza para observar cómo se comporta la distribución de píxeles cuando se distorsiona de ciertas maneras como en la Ec.3.0 y la Ec.3.1 :

${\displaystyle Q}$= un rango arbitrario de valores para usar como exponentes para distorsionar el conjunto de datos

• Cuando , la ecuación 3.0 es igual a 1, la suma habitual de todas las probabilidades, y cuando , cada término es igual a 1, por lo que la suma es igual al número de cajas contadas ,. ${\displaystyle Q=1}$ ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle N_{\epsilon }}$

Estas ecuaciones de distorsión se utilizan además para abordar cómo se comporta el conjunto cuando se escala, se resuelve o se corta en una serie de piezas de tamaño - y se distorsiona por Q, para encontrar diferentes valores para la dimensión del conjunto, como en el siguiente: ${\displaystyle \epsilon }$

• Una característica importante de la Ec.3.0 es que también se puede ver que varía según la escala elevada al exponente en la Ec.4.0 : ${\displaystyle \tau }$

Por lo tanto, se puede encontrar una serie de valores a partir de las pendientes de la línea de regresión para el log de la Ec.3.0 versus el log de cada uno , según la Ec.4.1 : ${\displaystyle \tau _{(Q)}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle Q}$

• Para la dimensión generalizada:

• ${\displaystyle \alpha _{(Q)}}$se estima como la pendiente de la línea de regresión para log A _{,Q ${\displaystyle \epsilon }$} versus log ${\displaystyle \epsilon }$ donde:

• Luego se encuentra a partir de la Ec.5.3 . ${\displaystyle f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

• La media se estima como la pendiente de la línea de regresión log-log para versus , donde: ${\displaystyle \tau _{(Q)}}$ ${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

En la práctica, la distribución de probabilidad depende de cómo se muestrea el conjunto de datos, por lo que se han desarrollado algoritmos de optimización para garantizar un muestreo adecuado. ^[24]

Aplicaciones

El análisis multifractal se ha utilizado con éxito en muchos campos, incluidas las ciencias físicas, ^{[27] [28]} de la información y biológicas. ^[29] Por ejemplo, la cuantificación de patrones de grietas residuales en la superficie de muros de corte de hormigón armado. ^[30]

Análisis de distorsión del conjunto de datos.

El análisis multifractal es análogo a ver un conjunto de datos a través de una serie de lentes distorsionantes para identificar las diferencias de escala. El patrón que se muestra es un mapa de Hénon .

El análisis multifractal se ha utilizado en varios campos científicos para caracterizar varios tipos de conjuntos de datos. ^{[31] [5] [8]} En esencia, el análisis multifractal aplica un factor de distorsión a conjuntos de datos extraídos de patrones, para comparar cómo se comportan los datos en cada distorsión. Esto se hace utilizando gráficos conocidos como espectros multifractales , análogos a ver el conjunto de datos a través de una "lente distorsionante", como se muestra en la ilustración. ^[24] En la práctica se utilizan varios tipos de espectros multifractales.

D _Q contra Q

Espectros D _{Q vs Q para un círculo no fractal (dimensión de conteo de cajas empíricas = 1,0),} una cruz cuádrica monofractal (dimensión de conteo de cajas empíricas = 1,49) y un mapa de Hénon multifractal (dimensión de conteo de cajas empíricas = 1,29).

Un espectro multifractal práctico es la gráfica de D _Q vs Q, donde D _Q es la dimensión generalizada de un conjunto de datos y Q es un conjunto arbitrario de exponentes. Por lo tanto, la expresión dimensión generalizada se refiere a un conjunto de dimensiones para un conjunto de datos ( a continuación se describen los cálculos detallados para determinar la dimensión generalizada mediante el recuento de cajas ).

Orden dimensional

El patrón general del gráfico de D _Q vs Q se puede utilizar para evaluar la escala en un patrón. La gráfica es generalmente decreciente, sigmoidea alrededor de Q=0, donde D _(Q=0) ≥ D _(Q=1) ≥ D _(Q=2) . Como se ilustra en la figura, la variación en este espectro gráfico puede ayudar a distinguir patrones. La imagen muestra espectros D _(Q) de un análisis multifractal de imágenes binarias de conjuntos no fractales, mono y multifractales. Como es el caso en las imágenes de muestra, los monofractales y los no fractales tienden a tener espectros D _(Q) más planos que los multifractales.

La dimensión generalizada también proporciona información específica importante. D _(Q=0) es igual a la dimensión de capacidad , que, en el análisis que se muestra en las figuras aquí, es la dimensión de conteo de cajas . D _(Q=1) es igual a la dimensión de información , y D _(Q=2) a la dimensión de correlación . Esto se relaciona con el "multi" en multifractal, donde los multifractales tienen múltiples dimensiones en los espectros D _(Q) versus Q, pero los monofractales permanecen bastante planos en esa área. ^{[24] [25]}

f(α) versus α

Otro espectro multifractal útil es el gráfico de versus (ver cálculos). Estos gráficos generalmente aumentan hasta un máximo que se aproxima a la dimensión fractal en Q=0, y luego caen. Al igual que los espectros D _Q versus Q, también muestran patrones típicos útiles para comparar patrones no fractales, mono y multifractales. En particular, para estos espectros, los monofractales y no fractales convergen en ciertos valores, mientras que los espectros de patrones multifractales típicamente forman jorobas en un área más amplia. ${\displaystyle f(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Dimensiones generalizadas de las distribuciones de abundancia de especies en el espacio.

Una aplicación de D _q versus Q en ecología es caracterizar la distribución de especies. Tradicionalmente, la abundancia relativa de especies se calcula para un área sin tener en cuenta la ubicación de los individuos. Una representación equivalente de la abundancia relativa de especies son los rangos de especies, que se utilizan para generar una superficie llamada superficie de rango de especies, ^[32] que puede analizarse utilizando dimensiones generalizadas para detectar diferentes mecanismos ecológicos como los observados en la teoría neutral de la biodiversidad , metacomunidad. Dinámica o teoría de nichos . ^{[32] [33]}

Ver también

• Curva de Rham  : curva fractal continua obtenida como imagen del espacio de Cantor.
• Movimiento browniano fraccional  : concepto de teoría de la probabilidad
• Análisis de fluctuación sin tendencia  : variación de la técnica del exponente de Hurst, utilizada en el análisis de series de tiempo fractales.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Distribuciones Tweedie  : familia de distribuciones de probabilidadPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Multifractal de conmutación de Markov  : modelo de rendimiento de activosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Red estocástica plana ponderada  : estructura matemática que comparte algunas de las propiedades tanto de las redes como de los gráficos.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

1. Harte, David (2001). Multifractales . Londres: Chapman & Hall. ISBN 978-1-58488-154-4.
2. Gerges, Firas; Geng, Xiaolong; Nassif, Hani; Boufadel, Michel C. (2021). "Escalado multifractal anisotrópico de la topografía del Monte Líbano: acondicionamiento aproximado". Fractales . 29 (5): 2150112–2153322. Código Bib : 2021Fract..2950112G. doi :10.1142/S0218348X21501127. ISSN  0218-348X. S2CID  234272453.
3. Ivanov, Plamen Ch.; Amaral, Luis A. Nunes; Goldberger, Ary L.; Havlin, Shlomo; Rosenblum, Michael G.; Struzik, Zbigniew R.; Stanley, H. Eugene (3 de junio de 1999). "Multifractalidad en la dinámica de los latidos del corazón humano". Naturaleza . 399 (6735): 461–465. arXiv : cond-mat/9905329 . Código Bib :1999Natur.399..461I. doi :10.1038/20924. ISSN  0028-0836. PMID  10365957. S2CID  956569.
4. Scafetta, Nicola; Marchi, Damián; Oeste, Bruce J. (junio de 2009). "Comprender la complejidad de la dinámica de la marcha humana". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 19 (2): 026108. Bibcode : 2009Caos..19b6108S. doi : 10.1063/1.3143035. ISSN  1054-1500. PMID  19566268.
5. Francia, Lucas Gabriel Souza; Montoya, Pedro; Miranda, José García Vivas (2019). "Sobre multifractales: un estudio no lineal de datos de actigrafía". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 514 : 612–619. arXiv : 1702.03912 . Código Bib : 2019PhyA..514..612F. doi :10.1016/j.physa.2018.09.122. ISSN  0378-4371. S2CID  18259316.
6. Papo, David; Goñi, Joaquín; Buldú, Javier M. (2017). "Editorial: Sobre la relación entre dinámica y estructura en las redes cerebrales". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 27 (4): 047201. Bibcode : 2017Caos..27d7201P. doi : 10.1063/1.4981391. ISSN  1054-1500. PMID  28456177.
7. Ciuciu, Philippe; Varoquaux, Gaël; Abry, Patrice; Sadaghiani, Sepideh; Kleinschmidt, Andreas (2012). "Propiedades multifractales y sin escala de las señales de resonancia magnética funcional durante el reposo y la tarea". Fronteras en Fisiología . 3 : 186. doi : 10.3389/fphys.2012.00186 . ISSN  1664-042X. PMC 3375626 . PMID  22715328. 
8. Francia, Lucas G. Souza; Miranda, José G. Vivas; Leite, Marco; Sharma, Niraj K.; Walker, Mateo C.; Lemieux, Luis; Wang, Yujiang (2018). "Propiedades fractales y multifractales de registros electrográficos de la actividad del cerebro humano: hacia su uso como característica de señal para el aprendizaje automático en aplicaciones clínicas". Fronteras en Fisiología . 9 : 1767. arXiv : 1806.03889 . Código Bib : 2018arXiv180603889F. doi : 10.3389/fphys.2018.01767 . ISSN  1664-042X. PMC 6295567 . PMID  30618789. 
9. Ihlen, Espen AF; Vereijken, Beatrix (2010). "Dinámica dominante de la interacción en la cognición humana: más allá de la fluctuación 1/ƒα". Revista de Psicología Experimental: General . 139 (3): 436–463. doi :10.1037/a0019098. ISSN  1939-2222. PMID  20677894.
10. Zhang, Yanli; Zhou, Weidong; Yuan, Shasha (2015). "Análisis multifractal y detección automática de convulsiones basada en máquinas de vectores de relevancia en EEG intracraneal". Revista internacional de sistemas neuronales . 25 (6): 1550020. doi : 10.1142/s0129065715500203. ISSN  0129-0657. PMID  25986754.
11. Amamantando, John; Guiño, Alle Meije; Bernard, Federico A.; Barnes, Anna; Bullmore, Eduardo (2008). "La dinámica cerebral multifractal endógena está modulada por la edad, el bloqueo colinérgico y el rendimiento cognitivo". Revista de métodos de neurociencia . 174 (2): 292–300. doi :10.1016/j.jneumeth.2008.06.037. ISSN  0165-0270. PMC 2590659 . PMID  18703089. 
12. Zorick, Todd; Mandelkern, Mark A. (3 de julio de 2013). "Análisis de fluctuación multifractal sin tendencia del EEG humano: investigación preliminar y comparación con la técnica del módulo máximo de transformada wavelet". MÁS UNO . 8 (7): e68360. Código Bib : 2013PLoSO...868360Z. doi : 10.1371/journal.pone.0068360 . ISSN  1932-6203. PMC 3700954 . PMID  23844189. 
13. Gastón, Kevin J.; Richard Inger; Bennie, Jonathan; Davies, Thomas W. (24 de abril de 2013). "La luz artificial altera los regímenes naturales de brillo del cielo nocturno". Informes científicos . 3 : 1722. Código bibliográfico : 2013NatSR...3E1722D. doi :10.1038/srep01722. ISSN  2045-2322. PMC 3634108 . 
14. Kendal, WS; Jørgensen, BR (2011). "Convergencia Tweedie: una base matemática para la ley de potencia de Taylor, el ruido 1/f y la multifractalidad". Física. Rev. E. 84 (6 parte 2): 066120. Código bibliográfico : 2011PhRvE..84f6120K. doi :10.1103/physreve.84.066120. PMID  22304168.
15. Jorgensen, B; Kokonendji, CC (2011). "Modelos de dispersión para sumas geométricas". Estadísticas de Braz J Probab . 25 (3): 263–293. doi : 10.1214/10-bjps136 .
16. Kendal, WS (2014). "Multifractalidad atribuida a efectos de convergencia duales similares a límites centrales". Física A. 401 : 22–33. Código Bib : 2014PhyA..401...22K. doi :10.1016/j.physa.2014.01.022.
17. Xiao, Xiongye; Chen, Hanlong; Bogdan, Paul (25 de noviembre de 2021). "Descifrando las reglas generadoras y funcionalidades de redes complejas". Informes científicos . 11 (1): 22964. Código bibliográfico : 2021NatSR..1122964X. doi :10.1038/s41598-021-02203-4. PMC 8616909 . PMID  34824290. S2CID  244660272. 
18. Lopes, R.; Betrouni, N. (2009). "Análisis fractal y multifractal: una revisión". Análisis de Imágenes Médicas . 13 (4): 634–649. doi : 10.1016/j.media.2009.05.003. PMID  19535282.
19. Moreno, PA; Vélez, PE; Martínez, E.; Garreta, LE; Díaz, NS; Amador, S.; Tischer, I.; Gutiérrez, JM; Naik, Alaska; Tobar, FN; García, F. (2011). "El genoma humano: un análisis multifractal". Genómica BMC . 12 : 506. doi : 10.1186/1471-2164-12-506 . PMC 3277318 . PMID  21999602. 
20. Atupelage, C.; Nagahashi, H.; Yamaguchi, M.; Sakamoto, M.; Hashiguchi, A. (2012). "Descriptor de características multifractales para histopatología". Patología Celular Analítica . 35 (2): 123-126. doi : 10.1155/2012/912956 . PMC 4605731 . PMID  22101185. 
21. Halconero, Kenneth J. (2014). "17. Medidas multifractales". Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas (3. ed., 1. ed. publicada). Chichester: Wiley. ISBN 978-1-119-94239-9.
22. AJ Roberts y A. Cronin (1996). "Estimación imparcial de dimensiones multifractales de conjuntos de datos finitos". Física A. 233 (3): 867–878. arXiv : chao-dyn/9601019 . Código Bib : 1996PhyA..233..867R. doi :10.1016/S0378-4371(96)00165-3. S2CID  14388392.
23. Roberts, AJ (7 de agosto de 2014). "Estimación multifractal: máxima verosimilitud". Universidad de Adelaida . Consultado el 4 de junio de 2019 .
24. Karperien, A (2002), ¿Qué son los multifractales? , ImageJ, archivado desde el original el 20 de octubre de 2011 , consultado el 10 de febrero de 2012
25. Chhabra, A.; Jensen, R. (1989). "Determinación directa del espectro de singularidad f (α)". Cartas de revisión física . 62 (12): 1327-1330. Código bibliográfico : 1989PhRvL..62.1327C. doi : 10.1103/PhysRevLett.62.1327. PMID  10039645.
26. Posadas, Y; Giménez, D.; Bittelli, M.; Vaz, CMP; Flury, M. (2001). "Caracterización multifractal de las distribuciones del tamaño de partículas del suelo". Revista de la Sociedad de Ciencias del Suelo de América . 65 (5): 1361. Código bibliográfico : 2001SSASJ..65.1361P. doi :10.2136/sssaj2001.6551361x.
27. Amin, Kazi Rafsanjani; Nagarajan, Ramya; Pandita, Rahul; Oferta, Aveek (26 de octubre de 2022). "Fluctuaciones de conductancia multifractal en grafeno de alta movilidad en el régimen de pasillo cuántico entero". Cartas de revisión física . 129 (18): 186802. arXiv : 2112.14018 . Código Bib : 2022PhRvL.129r6802A. doi : 10.1103/PhysRevLett.129.186802. PMID  36374690. S2CID  245537293.
28. Amin, Kazi Rafsanjani; Ray, Samriddhi Sankar; Pal, Nairita; Pandita, Rahul; Oferta, Aveek (22 de febrero de 2018). "Fluctuaciones exóticas de conductancia multifractal en grafeno". Física de las Comunicaciones . 1 (1): 1–7. arXiv : 1804.04454 . Código Bib : 2018CmPhy...1....1A. doi : 10.1038/s42005-017-0001-4 . ISSN  2399-3650. S2CID  55555526.
29. Lopes, R.; Betrouni, N. (2009). "Análisis fractal y multifractal: una revisión". Análisis de Imágenes Médicas . 13 (4): 634–649. doi : 10.1016/j.media.2009.05.003. PMID  19535282.
30. Ebrahimkhanlou, Álvaro; Farhidzadeh, Alireza; Salamone, Salvatore (1 de enero de 2016). "Análisis multifractal de patrones de fisuras en muros de corte de hormigón armado". Vigilancia de la salud estructural . 15 (1): 81–92. doi : 10.1177/1475921715624502 . ISSN  1475-9217. S2CID  111619405.
31. Treviño, J.; Liew, SF; No, H.; Cao, H.; Dal Negro, L. (2012). "Estructura geométrica, espectros multifractales y modos ópticos localizados de espirales de Vogel aperiódicas". Óptica Express . 20 (3): 3015–33. Código Bib : 2012OExpr..20.3015T. doi : 10.1364/OE.20.003015 . PMID  22330539.
32. Saravia, Leonardo A. (1 de agosto de 2015). "Un nuevo método para analizar la abundancia de especies en el espacio utilizando dimensiones generalizadas". Métodos en Ecología y Evolución . 6 (11): 1298-1310. Código Bib : 2015MEcEv...6.1298S. doi : 10.1111/2041-210X.12417 . ISSN  2041-210X.
33. Saravia, Leonardo A. (1 de enero de 2014). "mfSBA: Análisis multifractal de patrones espaciales en comunidades ecológicas". F1000Investigación . 3 : 14. doi : 10.12688/f1000research.3-14.v2 . PMC 4197745 . PMID  25324962. 

Otras lecturas

• Falconer, Kenneth J. (2014). "17. Medidas multifractales". Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas (3. ed., 1. ed. publicada). Chichester: Wiley. ISBN 978-1-119-94239-9.
• Barabási, A.-L.; Stanley, HE, eds. (1995), "Superficies multiafines", Conceptos fractales en el crecimiento de superficies , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 262–268, doi :10.1017/CBO9780511599798.026, ISBN 978-0-521-48318-6, recuperado el 5 de junio de 2024
• G, Evertsz CJ; Mandelbrot, Benoît B. (1992). «Medidas multifractales» (PDF) . Caos y fractales Nuevas fronteras de la ciencia : 922–953. Archivado desde el original (PDF) el 13 de julio de 2023.
• Mandelbrot, Benoît B. (1997). Fractales y escalamiento en finanzas: discontinuidad, concentración, riesgo . Seleccione un. Nueva York, NY Berlín Heidelberg: Springer. ISBN 978-0-387-98363-9.
• Harte, David (26 de junio de 2001). Multifractales. Chapman y Hall/CRC. doi :10.1201/9781420036008. ISBN 978-0-429-12366-5.
• Stanley HE, Meakin P. (1988). «Fenómenos multifractales en física y química» (Reseña) . Naturaleza . 335 (6189): 405–9. Código Bib :1988Natur.335..405S. doi :10.1038/335405a0. S2CID  4318433.
• Arneodo, Alain; Auditoría, Benjamín; Kestener, Pierre; Roux, Stéphane (2008). "Análisis multifractal basado en wavelets". Scholarpedia . 3 (3): 4103. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.4103A. doi : 10.4249/scholarpedia.4103 . ISSN  1941-6016.

enlaces externos

• Veneziano, Daniele; Essiam, Albert K. (1 de junio de 2003). "Flujo a través de medios porosos con conductividad hidráulica multifractal". Investigación de recursos hídricos . 39 (6): 1166. Código bibliográfico : 2003WRR....39.1166V. doi : 10.1029/2001WR001018 . ISSN  1944-7973.
• Películas de visualizaciones de multifractales.