Cascada multiplicativa

Distribución fractal de puntos aleatorios

En matemáticas, una cascada multiplicativa ^{[1] [2]} es una distribución fractal / multifractal de puntos producida mediante un proceso aleatorio iterativo y multiplicativo .

Definición

Los gráficos anteriores son ejemplos de multifractales en cascada multiplicativa.

Para crear estas distribuciones hay que seguir algunos pasos. En primer lugar, debemos crear una red de celdas que será nuestro campo de densidad de probabilidad subyacente.

En segundo lugar, se sigue un proceso iterativo para crear múltiples niveles de la red: en cada iteración, las celdas se dividen en cuatro partes iguales (celdas). A cada nueva celda se le asigna una probabilidad aleatoria del conjunto sin reemplazo, donde . Este proceso continúa hasta el nivel N. Por ejemplo, al construir un modelo de este tipo hasta el nivel 8, producimos una matriz de celdas de 4 × ^{8 .} ${\displaystyle \lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace }$ ${\displaystyle p_{i}\in [0,1]}$

En tercer lugar, las celdas se rellenan de la siguiente manera: tomamos la probabilidad de que una celda esté ocupada como el producto del p _i de la propia celda y los de todos sus progenitores (hasta el nivel 1). Se utiliza un esquema de rechazo de Monte Carlo repetidamente hasta que se obtiene la población de celdas deseada, de la siguiente manera: se eligen aleatoriamente las coordenadas de las celdas x e y , y se asigna un número aleatorio entre 0 y 1; luego, la celda ( x , y ) se rellena dependiendo de si el número asignado es menor que (resultado: no rellenada) o mayor o igual que (resultado: rellenada) la probabilidad de ocupación de la celda.

Ejemplos

Tres cascadas multiplicativas.
Generadores (de izquierda a derecha): , , ${\displaystyle \lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace =\lbrace 1,1,1,0\rbrace }$ ${\displaystyle \lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace =\lbrace 1,0.75,0.75,0.5\rbrace }$ ${\displaystyle \lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace =\lbrace 1,0.5,0.5,0.25\rbrace }$

Para producir los gráficos anteriores, llenamos el campo de densidad de probabilidad con 5000 puntos en un espacio de 256 × 256.

Un ejemplo del campo de densidad de probabilidad:

Los fractales no son generalmente invariantes en escala y por lo tanto no pueden considerarse fractales estándar . Sin embargo, pueden considerarse multifractales . Las dimensiones de Rényi (generalizadas) pueden predecirse teóricamente. Se puede demostrar ^[3] que como , ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

${\displaystyle D_{q}={\frac {\log _{2}\left(f_{1}^{q}+f_{2}^{q}+f_{3}^{q}+f_{4}^{q}\right)}{1-q}},}$

donde N es el nivel de refinamiento de la red y,

${\displaystyle f_{i}={\frac {p_{i}}{\sum _{i}p_{i}}}.}$

Véase también

• Dimensión fractal
• Dimensión de Hausdorff
• Invariancia de escala

Referencias

1. Meakin, Paul (septiembre de 1987). "Agregación limitada por difusión en redes multifractales: un modelo para el desplazamiento fluido-fluido en medios porosos". Physical Review A . 36 (6): 2833–2837. doi :10.1103/PhysRevA.36.2833. PMID  9899187.
2. Cristano G. Sabiu, Luis Teodoro, Martin Hendry, arXiv:0803.3212v1 Resolviendo el universo con multifractales
3. Martínez et al. ApJ 357 50M "Paradigmas de agrupamiento y medidas multifractales" [1]