Markov cambiando multifractal

En econometría financiera (la aplicación de métodos estadísticos a datos económicos), el multifractal de conmutación de Markov (MSM) es un modelo de rendimiento de activos desarrollado por Laurent E. Calvet y Adlai J. Fisher que incorpora componentes de volatilidad estocástica de duraciones heterogéneas . ^{[1] [2]} MSM captura los valores atípicos , la persistencia de la volatilidad similar a la de una memoria de registro y la variación de potencia de los rendimientos financieros . En series de divisas y acciones, MSM se compara favorablemente con modelos de volatilidad estándar como GARCH(1,1) y FIGARCH tanto dentro como fuera de la muestra. Los profesionales de la industria financiera utilizan MSM para pronosticar la volatilidad , calcular el valor en riesgo y fijar precios de derivados .

especificación MSM

El modelo MSM se puede especificar tanto en tiempo discreto como en tiempo continuo.

Tiempo discreto

Denotemos el precio de un activo financiero y denotemos el rendimiento durante dos períodos consecutivos. En MSM, los rendimientos se especifican como ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle r_{t}=\ln(P_{t}/P_{t-1})}$

${\displaystyle r_{t}=\mu +{\bar {\sigma }}(M_{1,t}M_{2,t}...M_{{\bar {k}},t})^{1/2}\epsilon _{t},}$

donde y son constantes y { } son gaussianas estándar independientes. La volatilidad está impulsada por el vector de estado latente de Markov de primer orden: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \epsilon _{t}}$

${\displaystyle M_{t}=(M_{1,t}M_{2,t}\dots M_{{\bar {k}},t})\in R_{+}^{\bar {k}}.}$

Dado el estado de volatilidad , el multiplicador del siguiente período se extrae de una distribución fija M con probabilidad , y por lo demás se deja sin cambios. ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle M_{k,t+1}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}}$

Las probabilidades de transición están especificadas por

${\displaystyle \gamma _{k}=1-(1-\gamma _{1})^{(b^{k-1})}}$.

La secuencia es aproximadamente geométrica a baja frecuencia. La distribución marginal M tiene una media unitaria, tiene un apoyo positivo y es independiente de k . ${\displaystyle \gamma _{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}\approx \gamma _{1}b^{k-1}}$

MSM binomial

En aplicaciones empíricas, la distribución M suele ser una distribución discreta que puede tomar los valores o con igual probabilidad. El proceso de devolución luego se especifica mediante los parámetros . Tenga en cuenta que el número de parámetros es el mismo para todos . ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle 2-m_{0}}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle \theta =(m_{0},\mu ,{\bar {\sigma }},b,\gamma _{1})}$ ${\displaystyle {\bar {k}}>1}$

Tiempo continuo

MSM se define de manera similar en tiempo continuo. El proceso de fijación de precios sigue la difusión:

${\displaystyle {\frac {dP_{t}}{P_{t}}}=\mu dt+\sigma (M_{t})\,dW_{t},}$

donde , es un movimiento browniano estándar y y son constantes. Cada componente sigue la dinámica: ${\displaystyle \sigma (M_{t})={\bar {\sigma }}(M_{1,t}\dots M_{{\bar {k}},t})^{1/2}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$

Las intensidades varían geométricamente con k :

${\displaystyle \gamma _{k}=\gamma _{1}b^{k-1}.}$

Cuando el número de componentes llega al infinito, el MSM de tiempo continuo converge a una difusión multifractal, cuyos caminos de muestra toman un continuo de exponentes locales de Hölder en cualquier intervalo de tiempo finito. ${\displaystyle {\bar {k}}}$

Inferencia y probabilidad de forma cerrada

Cuando tiene una distribución discreta , el vector de estado de Markov toma un número finito de valores . Por ejemplo, existen posibles estados en el MSM binomial. La dinámica de Markov se caracteriza por la matriz de transición con componentes . Condicional al estado de volatilidad, el rendimiento tiene densidad gaussiana ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle m^{1},...,m^{d}\in R_{+}^{\bar {k}}}$ ${\displaystyle d=2^{\bar {k}}}$ ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq d}}$ ${\displaystyle a_{i,j}=P\left(M_{t+1}=m^{j}|M_{t}=m^{i}\right)}$ ${\displaystyle r_{t}}$

${\displaystyle f(r_{t}|M_{t}=m^{i})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}(m^{i})}}}\exp \left[-{\frac {(r_{t}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}(m^{i})}}\right].}$

Distribución condicional

Probabilidad de forma cerrada

La función logarítmica de verosimilitud tiene la siguiente expresión analítica:

${\displaystyle \ln L(r_{1},\dots ,r_{T};\theta )=\sum _{t=1}^{T}\ln[\omega (r_{t}).(\Pi _{t-1}A)].}$

La máxima verosimilitud proporciona estimaciones razonablemente precisas en muestras finitas. ^[2]

Otros métodos de estimación

Cuando tiene una distribución continua , la estimación puede realizarse mediante el método simulado de momentos, ^{[3] [4]} o probabilidad simulada mediante un filtro de partículas. ^[5] ${\displaystyle M}$

Previsión

Dado , la distribución condicional del vector de estado latente en la fecha viene dada por: ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{t}}$ ${\displaystyle t+n}$

${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{t,n}=\Pi _{t}A^{n}.\,}$

MSM a menudo proporciona mejores pronósticos de volatilidad que algunos de los mejores modelos tradicionales, tanto dentro como fuera de la muestra. Calvet y Fisher ^[2] reportan ganancias considerables en los pronósticos de volatilidad del tipo de cambio en horizontes de 10 a 50 días en comparación con GARCH(1,1), Markov-Switching GARCH, ^{[6] [7]} y GARCH fraccionalmente integrado. ^[8] Lux ^[4] obtiene resultados similares utilizando predicciones lineales.

Aplicaciones

Múltiples activos y valor en riesgo

Las extensiones de MSM a múltiples activos proporcionan estimaciones confiables del valor en riesgo de una cartera de valores. ^[5]

Precio de activos

En economía financiera, MSM se ha utilizado para analizar las implicaciones de fijación de precios del riesgo multifrecuencia. Los modelos han tenido cierto éxito a la hora de explicar el exceso de volatilidad de los rendimientos de las acciones en comparación con los fundamentos y la asimetría negativa de los rendimientos de las acciones. También se han utilizado para generar difusiones de salto multifractales. ^[9]

Enfoques relacionados

MSM es un modelo de volatilidad estocástica ^{[10] [11]} con muchas frecuencias arbitrarias. HSH se basa en la conveniencia de los modelos de cambio de régimen, que fueron propuestos en economía y finanzas por James D. Hamilton . ^{[12] [13]} MSM está estrechamente relacionado con el modelo multifractal de rentabilidad de activos. ^[14] MSM mejora la construcción combinatoria del MMAR al aleatorizar los tiempos de llegada, garantizando un proceso estrictamente estacionario. MSM proporciona una formulación pura de cambio de régimen de medidas multifractales, en la que Benoit Mandelbrot fue pionero . ^{[15] [16] [17]}

Ver también

• movimiento browniano
• Rogemar Mamon
• cadena de markov
• Modelo multifractal de rentabilidad de activos.
• Multifractal
• Volatilidad estocástica

Referencias

1. Calvet, L.; Pescador, A. (2001). "Previsión de la volatilidad multifractal" (PDF) . Revista de Econometría . 105 : 27–58. doi :10.1016/S0304-4076(01)00069-0. S2CID  119394176.
2. Calvet, LE (2004). "Cómo pronosticar la volatilidad a largo plazo: cambio de régimen y estimación de procesos multifractales". Revista de Econometría Financiera . 2 : 49–83. CiteSeerX 10.1.1.536.8334 . doi :10.1093/jjfinec/nbh003. 
3. Calvet, Laurent; Fisher, Adlai (julio de 2003). "Cambio de régimen y estimación de procesos multifractales". Documento de Trabajo NBER N° 9839 . doi : 10.3386/w9839 .
4. Lux, T. (2008). "El modelo multifractal de rentabilidad de activos con cambio de Markov". Revista de estadísticas económicas y empresariales . 26 (2): 194–210. doi :10.1198/073500107000000403. S2CID  55648360.
5. Calvet, LE; Pescador, AJ; Thompson, SB (2006). "Comovimiento de la volatilidad: un enfoque multifrecuencia". Revista de Econometría . 131 (1–2): 179–215. CiteSeerX 10.1.1.331.152 . doi :10.1016/j.jeconom.2005.01.008. 
6. Gris, SF (1996). "Modelado de la distribución condicional de tipos de interés como un proceso de cambio de régimen". Revista de economía financiera . 42 : 27–77. doi :10.1016/0304-405X(96)00875-6.
7. Klaassen, F. (2002). "Mejora de los pronósticos de volatilidad de GARCH con GARCH de cambio de régimen" (PDF) . Economía empírica . 27 (2): 363–394. doi :10.1007/s001810100100. S2CID  29571612.
8. Bollerslev, T.; Ole Mikkelsen, H. (1996). "Modelado y fijación de precios de memoria larga en la volatilidad del mercado de valores". Revista de Econometría . 73 : 151–184. doi :10.1016/0304-4076(95)01736-4.
9. Calvet, Laurent E.; Pescador, Adlai J. (2008). Teoría, previsión y fijación de precios de la volatilidad multifractal . Burlington, MA: Prensa académica. ISBN 9780080559964.
10. Taylor, Stephen J (2008). Modelado de series de tiempo financieras (2ª ed.). Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 9789812770844.
11. Wiggins, JB (1987). "Valores de opciones bajo volatilidad estocástica: teoría y estimaciones empíricas" (PDF) . Revista de economía financiera . 19 (2): 351–372. doi :10.1016/0304-405X(87)90009-2.
12. Hamilton, JD (1989). "Un nuevo enfoque para el análisis económico de series temporales no estacionarias y el ciclo económico". Econométrica . 57 (2): 357–384. CiteSeerX 10.1.1.397.3582 . doi :10.2307/1912559. JSTOR  1912559. 
13. Hamilton, James (2008). "Modelos de cambio de régimen". Diccionario de economía New Palgrave (2ª ed.). Palgrave Macmillan Ltd. ISBN 9780333786765.
14. Mandelbrot, Benoit; Pescador, Adlai; Calvet, Laurent (septiembre de 1997). "Un modelo multifractal de rentabilidad de activos". Documento de debate de la Fundación Cowles No. 1164 . SSRN  78588.
15. Mandelbrot, BB (2006). "Turbulencia intermitente en cascadas autosimilares: divergencia de momentos elevados y dimensión de la portadora". Revista de mecánica de fluidos . 62 (2): 331–358. doi :10.1017/S0022112074000711. S2CID  222375985.
16. Mandelbrot, Benoit B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza (Ed. actualizada y aumentada). Nueva York: Freeman. ISBN 9780716711865.
17. Mandelbrot, Benoit B.; JM Berger; et al. (1999). Multifractales y ruido 1/f: autoafinidad salvaje en la física (1963-1976) (Ed. Repr.). Nueva York, Nueva York [ua]: Springer. ISBN 9780387985398.

enlaces externos

• Series temporales financieras, multifractales y modelos ocultos de Markov