Heterocedasticidad condicional autorregresiva

Modelo de serie temporal

En econometría , el modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva ( ARCH ) es un modelo estadístico para datos de series de tiempo que describe la varianza del término de error actual o innovación en función de los tamaños reales de los términos de error de los períodos de tiempo anteriores; ^[1] a menudo la varianza está relacionada con los cuadrados de las innovaciones anteriores. El modelo ARCH es apropiado cuando la varianza del error en una serie temporal sigue un modelo autorregresivo (AR); Si se supone un modelo de media móvil autorregresiva (ARMA) para la varianza del error, el modelo es un modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada ( GARCH ). ^[2]

Los modelos ARCH se emplean comúnmente para modelar series temporales financieras que exhiben volatilidad variable en el tiempo y agrupaciones de volatilidad , es decir, períodos de oscilaciones intercalados con períodos de relativa calma. A veces se considera que los modelos de tipo ARCH pertenecen a la familia de los modelos de volatilidad estocástica , aunque esto es estrictamente incorrecto ya que en el momento t la volatilidad está completamente predeterminada (determinista) dados los valores anteriores. ^[3]

Especificación del modelo

Para modelar una serie de tiempo usando un proceso ARCH, denotemos los términos de error (residuos de retorno, con respecto a un proceso medio), es decir, los términos de la serie. Estos se dividen en una parte estocástica y una desviación estándar dependiente del tiempo que caracteriza el tamaño típico de los términos, de modo que ${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~}$

La variable aleatoria es un fuerte proceso de ruido blanco . La serie está modelada por ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}}$,

dónde y . ${\displaystyle ~\alpha _{0}>0~}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,~i>0}$

Un modelo ARCH( q ) se puede estimar utilizando mínimos cuadrados ordinarios . Engle (1982) propuso un método para probar si los residuos exhiben heterocedasticidad variable en el tiempo utilizando la prueba del multiplicador de Lagrange . Este procedimiento es el siguiente: ${\displaystyle \epsilon _{t}}$

1. Estime el modelo autorregresivo de mejor ajuste AR( q ) . ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}}$
2. Obtenga los cuadrados del error y haga una regresión sobre valores constantes y q rezagados: ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}^{2}}$

   ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}{\hat {\epsilon }}_{t-i}^{2}}$

   donde q es la longitud de los retrasos ARCH.

3. La hipótesis nula es que, en ausencia de componentes ARCH, tenemos para todos . La hipótesis alternativa es que, en presencia de componentes ARCH, al menos uno de los coeficientes estimados debe ser significativo. En una muestra de T residuos bajo la hipótesis nula de que no hay errores ARCH, el estadístico de prueba T'R² sigue una distribución con q grados de libertad, donde es el número de ecuaciones en el modelo que se ajusta a los residuos frente a los rezagos (es decir ). Si T'R² es mayor que el valor de la tabla Chi-cuadrado, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que hay un efecto ARCH en el modelo ARMA . Si T'R² es menor que el valor de la tabla Chi-cuadrado, no rechazamos la hipótesis nula. ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,q}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \chi ^{2}}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T'=T-q}$

GARCIA

Si se supone un modelo de media móvil autorregresiva (ARMA) para la varianza del error, el modelo es un modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada (GARCH). ^[2]

En ese caso, el modelo GARCH ( p , q ) (donde p es el orden de los términos GARCH y q es el orden de los términos ARCH ), siguiendo la notación del artículo original, viene dado por ${\displaystyle ~\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle ~\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle y_{t}=x'_{t}b+\epsilon _{t}}$

${\displaystyle \epsilon _{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2})}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}}$

Generalmente, cuando se prueba la heterocedasticidad en modelos econométricos, la mejor prueba es la prueba de White . Sin embargo, cuando se trata de datos de series temporales , esto significa probar los errores ARCH y GARCH.

La media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) es un modelo alternativo en una clase separada de modelos de suavizado exponencial. Como alternativa al modelado GARCH, tiene algunas propiedades atractivas, como una mayor ponderación de las observaciones más recientes, pero también desventajas, como un factor de decaimiento arbitrario que introduce subjetividad en la estimación.

GARCIA(pag,q) especificación del modelo

La longitud de retraso p de un proceso GARCH( p , q ) se establece en tres pasos:

1. Estimar el modelo AR( q ) que mejor se ajusta

   ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}}$.

2. Calcular y trazar las autocorrelaciones de por ${\displaystyle \epsilon ^{2}}$

   ${\displaystyle \rho ={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-1}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-1}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}}$

3. La desviación estándar asintótica, es decir, para muestras grandes, es . Los valores individuales mayores que esto indican errores GARCH. Para estimar el número total de rezagos, utilice la prueba de Ljung-Box hasta que el valor de estos sea menos de, digamos, 10% significativo. El estadístico Q de Ljung-Box sigue una distribución con n grados de libertad si los residuos al cuadrado no están correlacionados. Se recomienda considerar hasta T/4 valores de n . La hipótesis nula establece que no existen errores ARCH ni GARCH. Rechazar el valor nulo significa que tales errores existen en la varianza condicional . ${\displaystyle \rho (i)}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {T}}}$ ${\displaystyle \chi ^{2}}$ ${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}$

NGARCH

NAGARCA

GARCH(1,1) asimétrico no lineal ( NAGARCH ) es un modelo con la especificación: ^{[6] [7]}

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}}$,

donde y , lo que asegura la no negatividad y la estacionariedad del proceso de varianza. ${\displaystyle ~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0}$ ${\displaystyle ~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1}$

Para los rendimientos de las acciones, el parámetro generalmente se estima como positivo; en este caso, refleja un fenómeno comúnmente conocido como "efecto apalancamiento", lo que significa que los rendimientos negativos aumentan la volatilidad futura en una cantidad mayor que los rendimientos positivos de la misma magnitud. ^{[6] [7]} ${\displaystyle ~\theta }$

Este modelo no debe confundirse con el modelo NARCH, junto con la extensión NGARCH, introducida por Higgins y Bera en 1992. ^[8]

IGARCH

La heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada integrada (IGARCH) es una versión restringida del modelo GARCH, donde los parámetros persistentes suman uno e importa una raíz unitaria en el proceso GARCH. ^[9] La condición para esto es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1}$.

EGARCH

El modelo heterocedástico condicional autorregresivo generalizado exponencial (EGARCH) de Nelson y Cao (1991) es otra forma del modelo GARCH. Formalmente, un EGARCH(p,q):

${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}}$

donde , es la varianza condicional , , , y son coeficientes. puede ser una variable normal estándar o provenir de una distribución de error generalizada . La formulación de permite que el signo y la magnitud de tengan efectos separados sobre la volatilidad. Esto es particularmente útil en un contexto de fijación de precios de activos. ^{[10] [11]} ${\displaystyle g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))}$ ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle g(Z_{t})}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

Dado que puede ser negativo, no existen restricciones de signo para los parámetros. ${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}}$

GARCH-M

El modelo GARCH-en-media (GARCH-M) agrega un término de heterocedasticidad a la ecuación de la media. Tiene la especificación:

${\displaystyle y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}}$

El residual se define como: ${\displaystyle ~\epsilon _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}}$

QGARCH

El modelo Cuadrático GARCH (QGARCH) de Sentana (1995) se utiliza para modelar los efectos asimétricos de shocks positivos y negativos.

En el ejemplo de un modelo GARCH(1,1), el proceso residual es ${\displaystyle ~\sigma _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$

donde esta iid y ${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}}$

GJR-GARCH

Similar a QGARCH, el modelo Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) de Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) también modela la asimetría en el proceso ARCH. La sugerencia es modelar dónde está iid y ${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$ ${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}}$

donde si y si . ${\displaystyle I_{t-1}=0}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\geq 0}$ ${\displaystyle I_{t-1}=1}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}<0}$

modelo TGARCH

El modelo Threshold GARCH (TGARCH) de Zakoian (1994) es similar al GJR GARCH. La especificación se basa en la desviación estándar condicional en lugar de la varianza condicional :

${\displaystyle ~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}}$

donde si y si . Asimismo, si y si . ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=0}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=0}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$

fGARCH

El modelo fGARCH de Hentschel , ^[12] también conocido como Family GARCH , es un modelo ómnibus que anida una variedad de otros modelos GARCH simétricos y asimétricos populares, incluidos APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH, etc.

COGAR

En 2004, Claudia Klüppelberg , Alexander Lindner y Ross Maller propusieron una generalización en tiempo continuo del proceso GARCH(1,1) en tiempo discreto. La idea es comenzar con las ecuaciones del modelo GARCH(1,1).

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},}$

y luego reemplazar el proceso de ruido blanco fuerte por los incrementos infinitesimales de un proceso de Lévy , y el proceso de ruido al cuadrado por los incrementos , donde ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}$ ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle z_{t}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,}$

es la parte puramente discontinua del proceso de variación cuadrática de . El resultado es el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas : ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },}$

donde los parámetros positivos , y están determinados por , y . Ahora, dada alguna condición inicial , el sistema anterior tiene una solución única en el camino que luego se denomina modelo GARCH de tiempo continuo ( COGARCH ). ^[13] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}$ ${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}$

ZD-GARCH

A diferencia del modelo GARCH, el modelo Zero-Drift GARCH (ZD-GARCH) de Li, Zhang, Zhu y Ling (2018) ^[14] permite el término de deriva en el modelo GARCH de primer orden. El modelo ZD-GARCH es modelar , donde es iid, y ${\displaystyle ~\omega =0}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$ ${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.}$

El modelo ZD-GARCH no requiere y, por lo tanto, anida el modelo de promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA) en " RiskMetrics ". Desde el término de deriva , el modelo ZD-GARCH siempre es no estacionario y sus métodos de inferencia estadística son bastante diferentes de los del modelo GARCH clásico. Con base en los datos históricos, los parámetros se pueden estimar mediante el método QMLE generalizado . ${\displaystyle ~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1}$ ${\displaystyle ~\omega =0}$ ${\displaystyle ~\alpha _{1}}$ ${\displaystyle ~\beta _{1}}$

GARCH espacial

Los procesos espaciales GARCH de Otto, Schmid y Garthoff (2018) ^[15] se consideran el equivalente espacial de los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada temporal (GARCH). A diferencia del modelo ARCH temporal, en el que la distribución se conoce dada la información completa establecida para los períodos anteriores, la distribución no es sencilla en el entorno espacial y espaciotemporal debido a la interdependencia entre ubicaciones espaciales vecinas. El modelo espacial está dado por y ${\displaystyle ~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})}$

${\displaystyle ~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},}$

donde denota la -ésima ubicación espacial y se refiere a la -ésima entrada de una matriz de peso espacial y para . La matriz de peso espacial define qué ubicaciones se consideran adyacentes. ${\displaystyle ~s_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ~w_{iv}}$ ${\displaystyle iv}$ ${\displaystyle w_{ii}=0}$ ${\displaystyle ~i=1,...,n}$

GARCH impulsado por procesos gaussianos

En otro sentido, la comunidad de aprendizaje automático ha propuesto el uso de modelos de regresión de procesos gaussianos para obtener un esquema GARCH. ^[16] Esto da como resultado un esquema de modelado no paramétrico, que permite: (i) robustez avanzada al sobreajuste, ya que el modelo margina sus parámetros para realizar la inferencia, bajo una lógica de inferencia bayesiana; y (ii) capturar dependencias altamente no lineales sin aumentar la complejidad del modelo. ^{[ cita necesaria ]}

Referencias

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3. Brooks, Chris (2014). Introducción a la econometría para las finanzas (3ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 461.ISBN​ 9781107661455.
4. Lanne, Markku; Saikkonen, Pentti (julio de 2005). "Modelos GARCH no lineales para volatilidad altamente persistente" (PDF) . La revista de econometría . 8 (2): 251–276. doi :10.1111/j.1368-423X.2005.00163.x. JSTOR  23113641. S2CID  15252964.
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7. Posedel, Petra (2006). "Análisis del tipo de cambio y fijación de precios de las opciones en moneda extranjera en el mercado croata: el modelo Ngarch como alternativa al modelo Black Scholes" (PDF) . Teoría y práctica financiera . 30 (4): 347–368. Se presta especial atención al modelo por el parámetro de asimetría [theta (θ)] que describe la correlación entre rendimientos y varianza. ⁶  ... ⁶ En el caso del análisis de los rendimientos de las acciones, el valor positivo de θ refleja el efecto de apalancamiento empíricamente conocido que indica que un movimiento a la baja en el precio de una acción provoca un mayor aumento en la varianza que un mismo valor. movimiento a la baja en el precio de una acción, lo que significa que los rendimientos y la varianza están correlacionados negativamente
   
8. Higgins, ML; Bera, Alaska (1992). "Una clase de modelos de arco no lineales". Revista económica internacional . 33 (1): 137-158. doi :10.2307/2526988. JSTOR  2526988.
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10. San Pedro, Eilleen F. (1998). "Estimación de modelos EGARCH-M: ciencia o arte". La Revista Trimestral de Economía y Finanzas . 38 (2): 167–180. doi :10.1016/S1062-9769(99)80110-0.
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12. Hentschel, Ludger (1995). "Todo en la familia Nesting modelos GARCH simétricos y asimétricos". Revista de economía financiera . 39 (1): 71–104. CiteSeerX 10.1.1.557.8941 . doi :10.1016/0304-405X(94)00821-H. 
13. Klüppelberg, C .; Lindner, A.; Maller, R. (2004). "Un proceso GARCH en tiempo continuo impulsado por un proceso de Lévy: estacionariedad y comportamiento de segundo orden". Revista de probabilidad aplicada . 41 (3): 601–622. doi : 10.1239/jap/1091543413. hdl : 10419/31047 . S2CID  17943198.
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Otras lecturas

• Bollerslev, Tim; Russell, Jeffrey; Watson, Mark (mayo de 2010). "Capítulo 8: Glosario de ARCH (GARCH)" (PDF) . Econometría de volatilidad y series temporales: ensayos en honor a Robert Engle (1ª ed.). Oxford: prensa de la Universidad de Oxford. págs. 137-163. ISBN 9780199549498.
• Enders, W. (2004). "Modelado de volatilidad". Series temporales de econometría aplicada (Segunda ed.). John-Wiley e hijos. págs. 108-155. ISBN 978-0-471-45173-0.
• Engle, Robert F. (1982). "Heteroscedasticidad condicional autorregresiva con estimaciones de varianza de la inflación del Reino Unido". Econométrica . 50 (4): 987–1008. doi :10.2307/1912773. JSTOR  1912773. S2CID  18673159. (el artículo que despertó el interés general en los modelos ARCH)
• Engle, Robert F. (1995). ARCO: lecturas seleccionadas . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-877432-7.
• Engle, Robert F. (2001). "GARCH 101: El uso de modelos ARCH/GARCH en econometría aplicada". Revista de perspectivas económicas . 15 (4): 157–168. doi :10.1257/jep.15.4.157. JSTOR  2696523. (una introducción breve y legible)
• Gujarati, DN (2003). Econometría Básica . págs. 856–862.
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• Nelson, DB (1991). "Heterocedasticidad condicional en la rentabilidad de los activos: un nuevo enfoque". Econométrica . 59 (2): 347–370. doi :10.2307/2938260. JSTOR  2938260.