Teoría ergódica

Rama de las matemáticas que estudia los sistemas dinámicos.

La teoría ergódica es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades estadísticas de los sistemas dinámicos deterministas ; es el estudio de la ergodicidad . En este contexto, "propiedades estadísticas" se refiere a propiedades que se expresan a través del comportamiento de promedios temporales de varias funciones a lo largo de trayectorias de sistemas dinámicos. La noción de sistemas dinámicos deterministas supone que las ecuaciones que determinan la dinámica no contienen perturbaciones aleatorias , ruido , etc. Por tanto, las estadísticas que nos ocupan son propiedades de la dinámica.

La teoría ergódica, al igual que la teoría de la probabilidad , se basa en nociones generales de la teoría de la medida . Su desarrollo inicial estuvo motivado por problemas de física estadística .

Una preocupación central de la teoría ergódica es el comportamiento de un sistema dinámico cuando se le permite funcionar durante un largo tiempo. El primer resultado en esta dirección es el teorema de recurrencia de Poincaré , que afirma que casi todos los puntos en cualquier subconjunto del espacio de fases eventualmente vuelven a visitar el conjunto. Los sistemas para los cuales se cumple el teorema de recurrencia de Poincaré son sistemas conservadores ; por tanto, todos los sistemas ergódicos son conservadores.

Varios teoremas ergódicos proporcionan información más precisa que afirma que, bajo ciertas condiciones, el promedio temporal de una función a lo largo de las trayectorias existe casi en todas partes y está relacionado con el promedio espacial. Dos de los teoremas más importantes son los de Birkhoff (1931) y von Neumann que afirman la existencia de un promedio de tiempo a lo largo de cada trayectoria. Para la clase especial de sistemas ergódicos , este promedio de tiempo es el mismo para casi todos los puntos iniciales: estadísticamente hablando, el sistema que evoluciona durante mucho tiempo "olvida" su estado inicial. También se han estudiado ampliamente propiedades más fuertes, como la mezcla y la equidistribución .

El problema de la clasificación métrica de sistemas es otra parte importante de la teoría ergódica abstracta. Las diversas nociones de entropía para sistemas dinámicos desempeñan un papel destacado en la teoría ergódica y sus aplicaciones a los procesos estocásticos .

Los conceptos de ergodicidad y hipótesis ergódica son fundamentales para las aplicaciones de la teoría ergódica. La idea subyacente es que para ciertos sistemas el promedio temporal de sus propiedades es igual al promedio en todo el espacio. Las aplicaciones de la teoría ergódica a otras partes de las matemáticas suelen implicar el establecimiento de propiedades de ergodicidad para sistemas de tipo especial. En geometría , se han utilizado métodos de la teoría ergódica para estudiar el flujo geodésico en variedades de Riemann , comenzando con los resultados de Eberhard Hopf para superficies de Riemann de curvatura negativa. Las cadenas de Markov forman un contexto común para aplicaciones en teoría de probabilidad . La teoría ergódica tiene conexiones fructíferas con el análisis armónico , la teoría de Lie ( teoría de la representación , redes en grupos algebraicos ) y la teoría de números (teoría de las aproximaciones diofánticas , funciones L ).

Transformaciones ergódicas

La teoría ergódica a menudo se ocupa de las transformaciones ergódicas . La intuición detrás de tales transformaciones, que actúan sobre un conjunto determinado, es que realizan un trabajo minucioso "removiendo" los elementos de ese conjunto. Por ejemplo, si el conjunto es una cantidad de avena caliente en un tazón, y si se deja caer una cucharada de almíbar en el tazón, entonces las iteraciones de la inversa de una transformación ergódica de la avena no permitirán que el almíbar permanezca en una subregión local de la avena, pero distribuirá el almíbar uniformemente por todas partes. Al mismo tiempo, estas iteraciones no comprimirán ni dilatarán ninguna porción de la avena: preservan la medida que es la densidad.

La definición formal es la siguiente:

Sea T  : X → X una transformación que conserva la medida en un espacio de medida ( X , Σ , μ ) , con μ ( X ) = 1 . Entonces T es ergódico si para cada E en Σ con μ( T ⁻¹ ( E ) Δ E ) = 0 (es decir, E es invariante ), μ ( E ) = 0 o μ ( E ) = 1 .

El operador Δ aquí es la diferencia simétrica de conjuntos, equivalente a la operación exclusiva o con respecto a la pertenencia a conjuntos. La condición de que la diferencia simétrica sea medida cero se llama ser esencialmente invariante .

Ejemplos

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fases (arriba). Los sistemas son partículas masivas en un pozo de potencial unidimensional (curva roja, figura inferior). El conjunto inicialmente compacto se arremolina con el tiempo y se "esparce" por el espacio de fases. Sin embargo, este no es un comportamiento ergódico ya que los sistemas no visitan bien el potencial izquierdo.

• Una rotación irracional del círculo R / Z , T : x → x + θ, donde θ es irracional , es ergódica. Esta transformación tiene propiedades aún más fuertes de ergodicidad , minimalidad y equidistribución únicas . Por el contrario, si θ = p / q es racional (en términos más bajos), entonces T es periódico, con período q y, por lo tanto, no puede ser ergódico: para cualquier intervalo I de longitud a , 0 < a < 1/ q , su órbita bajo T (es decir, la unión de I , T ( I ), ..., T ^{q −1} ( I ), que contiene la imagen de I bajo cualquier número de aplicaciones de T ) es un conjunto T -invariante mod 0 que es una unión de q intervalos de longitud a , por lo tanto tiene medida qa estrictamente entre 0 y 1.
• Sea G un grupo abeliano compacto , μ la medida de Haar normalizada y T un automorfismo de grupo de G. Sea G * el grupo dual de Pontryagin , que consta de los caracteres continuos de G , y T * sea el automorfismo adjunto correspondiente de G *. El automorfismo T es ergódico si y sólo si la igualdad ( T * ) ⁿ ( χ ) =  χ es posible sólo cuando n  = 0 o χ es el carácter trivial de G . En particular, si G es el toro de n dimensiones y el automorfismo T está representado por una matriz unimodular A , entonces T es ergódico si y sólo si ningún valor propio de A es raíz de la unidad .
• Un cambio de Bernoulli es ergódico. De manera más general, la ergodicidad de la transformación de desplazamiento asociada con una secuencia de variables aleatorias iid y algunos procesos estacionarios más generales se deriva de la ley cero-uno de Kolmogorov .
• La ergodicidad de un sistema dinámico continuo significa que sus trayectorias "se extienden alrededor" del espacio de fase . Un sistema con un espacio de fase compacto que tiene una primera integral no constante no puede ser ergódico. Esto se aplica, en particular, a los sistemas hamiltonianos con una primera integral I funcionalmente independiente de la función de Hamilton H y un conjunto de niveles compacto X = {( p , q ): H ( p , q ) = E} de energía constante. El teorema de Liouville implica la existencia de una medida invariante finita en X , pero la dinámica del sistema está restringida a los conjuntos de niveles de I en X , por lo que el sistema posee conjuntos invariantes de medida positiva pero inferior a la plena. Una propiedad de los sistemas dinámicos continuos que es opuesta a la ergodicidad es la integrabilidad completa .

Teoremas ergódicos

Sea T : X → X una transformación que preserva la medida en un espacio de medida ( X , Σ, μ ) y supongamos que ƒ es una función μ -integrable, es decir, ƒ ∈ L ¹ ( μ ). Luego definimos los siguientes promedios :

Promedio de tiempo: se define como el promedio (si existe) sobre iteraciones de T a partir de algún punto inicial x :

${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).}$

Promedio espacial: Si μ ( X ) es finito y distinto de cero, podemos considerar el promedio espacial o de fase de ƒ:

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ (For a probability space, }}\mu (X)=1.)}$

En general, el promedio de tiempo y el promedio de espacio pueden ser diferentes. Pero si la transformación es ergódica y la medida es invariante, entonces el promedio temporal es igual al promedio espacial en casi todas partes . Este es el célebre teorema ergódico, en forma abstracta debido a George David Birkhoff . (En realidad, el artículo de Birkhoff no considera el caso general abstracto sino sólo el caso de sistemas dinámicos que surgen de ecuaciones diferenciales en una variedad suave). El teorema de la equidistribución es un caso especial del teorema ergódico, que trata específicamente de la distribución de probabilidades en la unidad intervalo.

Más precisamente, el teorema ergódico puntual o fuerte establece que el límite en la definición del promedio temporal de ƒ existe para casi todos los x y que la función límite (definida casi en todas partes) es integrable: ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,}$

Además, es T -invariante, es decir ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,}$

se cumple en casi todas partes, y si μ ( X ) es finita, entonces la normalización es la misma:

${\displaystyle \int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$

En particular, si T es ergódico, entonces debe ser una constante (casi en todas partes), por lo que se tiene que ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\bar {f}}={\hat {f}}\,}$

Casi en cualquier parte. Uniendo la primera a la última afirmación y suponiendo que μ ( X ) es finita y distinta de cero, se tiene que

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu }$

para casi todos los x , es decir, para todos los x excepto para un conjunto de medida cero.

Para una transformación ergódica, el promedio temporal es casi seguramente igual al promedio espacial.

Como ejemplo, supongamos que el espacio de medida ( X , Σ, μ ) modela las partículas de un gas como se indicó anteriormente, y sea ƒ( x ) la velocidad de la partícula en la posición x . Entonces, los teoremas ergódicos puntuales dicen que la velocidad promedio de todas las partículas en un momento dado es igual a la velocidad promedio de una partícula a lo largo del tiempo.

Una generalización del teorema de Birkhoff es el teorema ergódico subaditivo de Kingman .

Formulación probabilística: teorema de Birkhoff-Khinchin

Teorema de Birkhoff-Khinchin . Sea ƒ medible, E (|ƒ|) < ∞, y T sea un mapa que preserva la medida. Entonces con probabilidad 1 :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),}$

donde está la expectativa condicional dada la σ-álgebra de conjuntos invariantes de T. ${\displaystyle E(f|{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Corolario ( Teorema ergódico puntual ): En particular, si T también es ergódico, entonces es el álgebra σ trivial y, por lo tanto, con probabilidad 1: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).}$

Teorema ergódico medio

El teorema ergódico medio de Von Neumann se cumple en espacios de Hilbert. ^[1]

Sea U un operador unitario en un espacio de Hilbert H ; de manera más general, un operador lineal isométrico (es decir, un operador lineal no necesariamente sobreyectivo que satisface ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖ para todo x en H , o de manera equivalente, que satisface U * U = I, pero no necesariamente UU * = I). Sea P la proyección ortogonal sobre { ψ  ∈  H  |  Uψ  = ψ} = ker( I  −  U ).

Entonces, para cualquier x en H , tenemos:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,}$

donde el límite es con respecto a la norma en H . En otras palabras, la secuencia de promedios

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$

converge a P en la topología de operador fuerte .

De hecho, no es difícil ver que en este caso cualquiera admite una descomposición ortogonal en partes desde y respectivamente. La primera parte es invariante en todas las sumas parciales a medida que crece, mientras que para la última parte, de la serie telescópica se tendría: ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle \ker(I-U)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {ran} (I-U)}}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(I-U)=\lim _{N\to \infty }{1 \over N}(I-U^{N})=0}$

Este teorema se especializa en el caso en el que el espacio de Hilbert H consta de L ² funciones en un espacio de medida y U es un operador de la forma

${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)\,}$

donde T es un endomorfismo de X que preserva la medida , considerado en las aplicaciones como un paso de tiempo de un sistema dinámico discreto. ^[2] El teorema ergódico afirma entonces que el comportamiento promedio de una función ƒ en escalas de tiempo suficientemente grandes se aproxima mediante el componente ortogonal de ƒ, que es invariante en el tiempo.

En otra forma del teorema ergódico medio, sea Ut _un grupo de operadores unitarios de un solo parámetro fuertemente continuo en H. Entonces el operador

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}\,dt}$

converge en la topología de operador fuerte como T → ∞. De hecho, este resultado también se extiende al caso de un semigrupo de operadores contractivos de un parámetro fuertemente continuo en un espacio reflexivo.

Observación: Se puede desarrollar cierta intuición para el teorema ergódico medio considerando el caso en el que los números complejos de longitud unitaria se consideran transformaciones unitarias en el plano complejo (mediante multiplicación por la izquierda). Si elegimos un único número complejo de longitud unitaria (que consideramos U ), es intuitivo que sus potencias llenarán el círculo. Dado que el círculo es simétrico alrededor de 0, tiene sentido que los promedios de las potencias de U converjan a 0. Además, 0 es el único punto fijo de U , por lo que la proyección sobre el espacio de puntos fijos debe ser el operador cero. (que concuerda con el límite que se acaba de describir).

Convergencia de las medias ergódicas en las normas L p

Sea ( X , Σ, μ ) como el anterior un espacio de probabilidad con una medida que preserva la transformación T , y sea 1 ≤ p ≤ ∞. La expectativa condicional con respecto a la sub-σ-álgebra Σ _T de los T -conjuntos invariantes es un proyector lineal E _T de la norma 1 del espacio de Banach L ^p ( X , Σ, μ ) sobre su subespacio cerrado L ^p ( X , Σ _T , μ ). Este último también puede caracterizarse como el espacio de todas las funciones L ^p invariantes T en X. Los medios ergódicos, como operadores lineales en L ^p ( X , Σ, μ ) también tienen norma de operador unitario; y, como simple consecuencia del teorema de Birkhoff-Khinchin, converge al proyector E _T en la topología de operador fuerte de L ^p si 1 ≤ p ≤ ∞, y en la topología de operador débil si p = ∞. Más es cierto si 1 < p ≤ ∞ entonces el teorema de convergencia ergódica dominada de Wiener-Yoshida-Kakutani establece que las medias ergódicas de ƒ ∈ L ^p están dominadas en L ^p ; sin embargo, si ƒ ∈ L ¹ , los medios ergódicos pueden no ser equidominados en L ^p . Finalmente, si se supone que ƒ está en la clase Zygmund, es decir |ƒ| log ⁺ (|ƒ|) es integrable, entonces las medias ergódicas están incluso dominadas en L ¹ .

tiempo de estancia

Sea ( X , Σ, μ ) un espacio de medida tal que μ ( X ) sea finito y distinto de cero. El tiempo pasado en un conjunto mensurable A se llama tiempo de estancia . Una consecuencia inmediata del teorema ergódico es que, en un sistema ergódico, la medida relativa de A es igual al tiempo medio de estancia :

${\displaystyle {\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)}$

para todo x excepto para un conjunto de medida cero, donde χ _A es la función indicadora de A.

Los tiempos de aparición de un conjunto mensurable A se definen como el conjunto k ₁ , k ₂ , k ₃ , ..., de tiempos k tales que T ^k ( x ) está en A , ordenados en orden creciente. Las diferencias entre tiempos de ocurrencia consecutivos R _i = k _i − k _{i −1} se denominan tiempos de recurrencia de A . Otra consecuencia del teorema ergódico es que el tiempo medio de recurrencia de A es inversamente proporcional a la medida de A , suponiendo ^{[ se necesita aclaración ]} que el punto inicial x está en A , de modo que k ₀ = 0.

${\displaystyle {\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\rightarrow {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(almost surely)}}}$

(Ver casi con seguridad .) Es decir, cuanto más pequeña es A , más tiempo se tarda en volver a ella.

Flujos ergódicos en colectores

La ergodicidad del flujo geodésico en superficies compactas de Riemann de curvatura negativa variable y en variedades compactas de curvatura negativa constante de cualquier dimensión fue demostrada por Eberhard Hopf en 1939, aunque antes se habían estudiado casos especiales: véase, por ejemplo, el billar de Hadamard (1898). y Billar Artin (1924). La relación entre flujos geodésicos en superficies de Riemann y subgrupos de un parámetro en SL(2, R ) fue descrita en 1952 por SV Fomin e IM Gelfand . El artículo sobre flujos de Anosov proporciona un ejemplo de flujos ergódicos en SL(2, R ) y en superficies de Riemann de curvatura negativa. Gran parte del desarrollo descrito allí se generaliza a variedades hiperbólicas, ya que pueden verse como cocientes del espacio hiperbólico por la acción de una red en el grupo de Lie semisimple SO(n,1) . La ergodicidad del flujo geodésico en espacios simétricos de Riemann fue demostrada por FI Mautner en 1957. En 1967, DV Anosov y Ya. G. Sinai demostró la ergodicidad del flujo geodésico en colectores compactos de curvatura seccional negativa variable . Calvin C. Moore dio un criterio simple para la ergodicidad de un flujo homogéneo en un espacio homogéneo de un grupo de Lie semisimple en 1966. Muchos de los teoremas y resultados de esta área de estudio son típicos de la teoría de la rigidez .

En la década de 1930, GA Hedlund demostró que el flujo del horociclo en una superficie hiperbólica compacta es mínimo y ergódico. Hillel Furstenberg estableció la ergodicidad única del flujo en 1972. Los teoremas de Ratner proporcionan una importante generalización de la ergodicidad para flujos unipotentes en espacios homogéneos de la forma Γ \  G , donde G es un grupo de Lie y Γ es una red en  G .

En los últimos 20 años, ha habido muchos trabajos tratando de encontrar un teorema de clasificación de medidas similar a los teoremas de Ratner pero para acciones diagonalizables, motivados por conjeturas de Furstenberg y Margulis . Elon Lindenstrauss demostró un resultado parcial importante (resolver esas conjeturas con un supuesto adicional de entropía positiva) , y recibió la medalla Fields en 2010 por este resultado.

Ver también

• Teoría del caos
• Hipótesis ergódica
• proceso ergódico
• principio de kruskal
• efecto Lindy
• El tiempo de Lyapunov : el límite de tiempo para la previsibilidad del sistema
• Teorema ergódico máximo
• Teorema del isomorfismo de Ornstein
• Mecánica estadística
• Dinámica simbólica

Referencias

1. Caña, Michael; Simon, Barry (1980), Análisis funcional , Métodos de la física matemática moderna, vol. 1 (edición revisada), Academic Press, ISBN 0-12-585050-6
2. (Walters 1982)

Referencias históricas

• Birkhoff, George David (1931), "Demostración del teorema ergódico", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. Estados Unidos , vol. 17, núm. 12, págs. 656–660, Bibcode : 1931PNAS...17..656B, doi : 10.1073/pnas.17.12.656 , PMC  1076138 , PMID  16577406.
• Birkhoff, George David (1942), "¿Qué es el teorema ergódico?", Amer. Matemáticas. Mensual , vol. 49, núm. 4, págs. 222–226, doi :10.2307/2303229, JSTOR  2303229.
• von Neumann, John (1932), "Prueba de la hipótesis cuasi ergódica", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. Estados Unidos , vol. 18, núm. 1, págs. 70–82, Bibcode : 1932PNAS...18...70N, doi : 10.1073/pnas.18.1.70 , PMC  1076162 , PMID  16577432.
• von Neumann, John (1932), "Aplicaciones físicas de la hipótesis ergódica", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. Estados Unidos , vol. 18, núm. 3, págs. 263–266, Bibcode : 1932PNAS...18..263N, doi : 10.1073/pnas.18.3.263 , JSTOR  86260, PMC  1076204 , PMID  16587674.
• Hopf, Eberhard (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativo Krümmung", Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akád. Wiss. , vol. 91, págs. 261–304.
• Fomin, Sergei V .; Gelfand, IM (1952), "Flujos geodésicos en variedades de curvatura negativa constante", Uspekhi Mat. Nauk , vol. 7, núm. 1, págs. 118-137.
• Mautner, FI (1957), "Flujos geodésicos en espacios simétricos de Riemann", Ann. Matemáticas. , vol. 65, núm. 3, págs. 416–431, doi :10.2307/1970054, JSTOR  1970054.
• Moore, CC (1966), "Ergodicidad de flujos en espacios homogéneos", Amer. J. Matemáticas. , vol. 88, núm. 1, págs. 154–178, doi :10.2307/2373052, JSTOR  2373052.

Referencias modernas

• DV Anosov (2001) [1994], "Teoría ergódica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Este artículo incorpora material del teorema ergódico de PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Vladimir Igorevich Arnol'd y André Avez, Problemas ergódicos de la mecánica clásica . Nueva York: WA Benjamín. 1968.
• Leo Breiman, Probabilidad . Edición original publicada por Addison – Wesley, 1968; reimpreso por la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 1992. ISBN 0-89871-296-3 . (Ver Capítulo 6.) 
• Walters, Peter (1982), Introducción a la teoría ergódica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 79, Springer-Verlag , ISBN 0-387-95152-0, Zbl  0475.28009
• Bedford, Tim; Keane, Michael; Serie, Caroline, eds. (1991), Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos , Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X (Un estudio de temas de teoría ergódica; con ejercicios).
• Karl Petersen. Teoría ergódica (Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. 1990.
• Françoise Pène, Propiedades estocásticas de los sistemas dinámicos , Cours spécialisés de la SMF, Volumen 30, 2022
• Joseph M. Rosenblatt y Máté Weirdl, Teoremas ergódicos puntuales mediante análisis armónico , (1993) que aparecen en Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Actas de la Conferencia de Alejandría de 1993 , (1995) Karl E. Petersen e Ibrahim A. Salama, eds. . , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0 . (Un estudio extenso de las propiedades ergódicas de las generalizaciones del teorema de equidistribución de mapas de desplazamiento en el intervalo unitario . Se centra en los métodos desarrollados por Bourgain). 
• AN Shiryaev , Probabilidad , 2ª ed., Springer 1996, sec. V.3. ISBN 0-387-94549-0 . 
• Zund, Joseph D. (2002), " George David Birkhoff y John von Neumann: una cuestión de prioridad y los teoremas ergódicos, 1931-1932 ", Historia Mathematica , 29 (2): 138-156, doi : 10.1006/hmat. 2001.2338 (Una discusión detallada sobre la prioridad del descubrimiento y publicación de los teoremas ergódicos por Birkhoff y von Neumann, basada en una carta de este último a su amigo Howard Percy Robertson.)
• Andrzej Lasota, Michael C. Mackey, Caos, fractales y ruido: aspectos estocásticos de la dinámica . Segunda edición, Springer, 1994.
• Manfred Einsiedler y Thomas Ward , Teoría ergódica con miras a la Teoría de Números. Saltador, 2011.
• Jane Hawkins , Dinámica ergódica: de la teoría básica a las aplicaciones , Springer, 2021. ISBN 978-3-030-59242-4 

enlaces externos

• Teoría ergódica (16 de junio de 2015) Notas de Cosma Rohilla Shalizi
• El teorema ergódico pasa la prueba de Physics World