En matemáticas, el teorema ergódico subaditivo de Kingman es uno de varios teoremas ergódicos . Puede verse como una generalización del teorema ergódico de Birkhoff . [1]
Intuitivamente, el teorema ergódico subaditivo es una especie de versión de variable aleatoria del lema de Fekete (de ahí el nombre ergódico). [2] Como resultado, puede reformularse en el lenguaje de la probabilidad, por ejemplo, utilizando una secuencia de variables aleatorias y valores esperados . El teorema lleva el nombre de John Kingman .
Enunciado del teorema
Sea una transformación que preserva la medida en el espacio de probabilidad y sea una secuencia de funciones tales que (relación de subaditividad). Entonces
para -ae x , donde g ( x ) es T -invariante.
En particular, si T es ergódico , entonces g ( x ) es una constante.
Declaración equivalente
Dada una familia de variables aleatorias reales , con , tales que son subaditivas en el sentido de que Entonces existe una variable aleatoria tal que , es invariante con respecto a , y como.
Son equivalentes por configuración
- con ;
- con .
Prueba
Prueba debida a ( J. Michael Steele , 1989). [3]
Subaditividad por partición
Arreglar algunos . Por subaditividad, para cualquier
Podemos imaginar esto como comenzar con el conjunto y luego quitarle su cola de longitud.
Repitiendo esta construcción hasta que se acabe todo el conjunto, tenemos una correspondencia biunívoca entre los límites superiores de y las particiones de .
En concreto, sea una partición de , entonces tenemos
Construyendogramo
Sea , entonces es -invariante.
Por subaditividad,
Tomando el límite, tenemos Podemos visualizarlo como una subida de colinas en el gráfico de . Si en realidad provoca una cantidad no trivial de subida de colinas, entonces obtendríamos una contracción espacial y, por lo tanto, no conserva la medida. Por lo tanto, ae
Sea entonces y como ambos lados tienen la misma medida, al apretar, son iguales ae.
Es decir, , ae.
Ahora aplique esto para todos los racionales .
Reduciendo al caso degₙ ≤ 0
Por subaditividad, utilizando la partición de en singletons. Ahora, construya la secuencia que satisface para todos los .
Por el caso especial, converge ae a una función -invariante.
Según el teorema ergódico puntual de Birkhoff, la media móvil converge ae a una función invariante. Por lo tanto, su suma también lo hace.
Limitando el truncamiento
Fijemos arbitrariamente y construyamos la función truncada, aún invariante: Con esto, basta con probar un límite superior de ae ya que nos permitiría tomar el límite , luego el límite , dándonos ae
Y al comprimir, tenemos ae convergente a . Defina dos familias de conjuntos, una que se encoge hasta el conjunto vacío y otra que crece hasta el conjunto completo. Para cada "longitud" , defina Dado que , la familia se encoge hasta el conjunto vacío.
Arreglar . Arreglar . Arreglar . El orden de estos calificadores es de vital importancia, porque los eliminaremos uno por uno en orden inverso.
Para demostrar el límite superior de ae, debemos usar la subaditividad, lo que significa que debemos construir una partición del conjunto . Lo hacemos de manera inductiva:
Tome el más pequeño que no esté ya en una partición.
Si , entonces para algunos . Tome uno de ellos : la elección no importa.
Si , entonces eliminamos . Llamamos a estas particiones “tipo 1”. De lo contrario, eliminamos . Llamamos a estas particiones “tipo 2”.
De lo contrario, cortamos . Llamamos a estas particiones “tipo 3”.
Ahora convierta esta partición en una desigualdad: donde son las cabezas de las particiones y son las longitudes.
Como todos , podemos eliminar los otros tipos de particiones: Por construcción, cada , por lo tanto Ahora sería tentador continuar con , pero desafortunadamente , por lo que la dirección es exactamente la opuesta. Debemos acotar inferiormente la suma .
El número de elementos de tipo 3 es igual a Si un número es de tipo 2, entonces debe estar dentro de los últimos elementos de . Por lo tanto, el número de elementos de tipo 2 es como máximo . Juntos, tenemos el límite inferior :
Despegando el primer clasificatorio
Quitar el calificador tomando el límite.
Por el teorema ergódico puntual de Birkhoff, existe un límite puntual ae que satisface En el límite, encontramos que para ae ,
Despegando el segundo clasificatorio
Quitar el calificador tomando el límite.
Como tenemos y como , podemos aplicar el mismo argumento utilizado para demostrar la desigualdad de Markov , para obtener
para ae .
En detalle, el argumento es el siguiente: dado que , y , sabemos que para cualquier , todo lo suficientemente grande satisface en todas partes excepto en un conjunto de tamaño . Por lo tanto, con probabilidad . Ahora tomemos ambos .
Aplicaciones
Tomando como base se recupera el teorema ergódico puntual de Birkhoff.
Tomando todas las funciones constantes, recuperamos el lema subaditivo de Fekete.
El teorema ergódico subaditivo de Kingman se puede utilizar para demostrar afirmaciones sobre los exponentes de Lyapunov . También tiene aplicaciones en percolaciones y en la subsecuencia creciente más larga . [4]
Subsecuencia creciente más larga
Para estudiar la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria , la generamos de manera equivalente. Una permutación aleatoria en se genera de manera equivalente muestreando uniformemente puntos en un cuadrado y luego encontramos la subsecuencia creciente más larga de esa.
Ahora, defina el proceso puntual de Poisson con densidad 1 en , y defina las variables aleatorias como la longitud de la subsecuencia creciente más larga en el cuadrado . Defina la transformación que preserva la medida desplazando el plano en , y luego cortando las partes que se han caído de .
El proceso es subaditivo, es decir, . Para ver esto, observe que el lado derecho construye una subsucesión creciente primero en el cuadrado , luego en el cuadrado y finalmente los concatena. Esto produce una subsucesión creciente en , pero no necesariamente la más larga.
Además, es ergódico, por lo que, según el teorema de Kingman, converge a una constante casi con seguridad. Como en el límite hay puntos en el cuadrado, converge a una constante casi con seguridad.
Referencias
- ^ S. Lalley, notas de clase sobre el teorema ergódico subaditivo de Kingman, http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/Graz/Kingman.pdf
- ^ Chen. "Teoremas ergódicos subaditivos" (PDF) . Universidad de Nueva York.
- ^ Steele, J. Michael (1989). "Teorema ergódico subaditivo de Kingman" (PDF) . Annales de l'IHP Probabilités et statistiques . 25 (1): 93–98. ISSN 1778-7017.
- ^ Pitman, Lección 12: Teoría ergódica subaditiva, http://www.stat.berkeley.edu/~pitman/s205s03/lecture12.pdf