Matriz de densidad

Matriz que describe un sistema cuántico en estado puro o mixto

En mecánica cuántica , una matriz de densidad (u operador de densidad ) es una matriz que describe un conjunto ^[1] de sistemas físicos como estados cuánticos (incluso si el conjunto contiene solo un sistema). Permite el cálculo de las probabilidades de los resultados de cualquier medición realizada sobre los sistemas del conjunto utilizando la regla de Born . Es una generalización de los vectores de estado o funciones de onda más habituales : mientras que estos solo pueden representar estados puros , las matrices de densidad también pueden representar conjuntos mixtos (a veces llamados ambiguamente estados mixtos ). Los conjuntos mixtos surgen en mecánica cuántica en dos situaciones diferentes:

1. cuando la preparación de los sistemas conduce a numerosos estados puros en el conjunto, y por lo tanto hay que lidiar con las estadísticas de posibles preparaciones, y
2. cuando se desea describir un sistema físico que está entrelazado con otro, sin describir su estado combinado; este caso es típico de un sistema que interactúa con algún entorno (por ejemplo, decoherencia ). En este caso, la matriz de densidad de un sistema entrelazado difiere de la de un conjunto de estados puros que, combinados, darían los mismos resultados estadísticos tras la medición.

Por lo tanto, las matrices de densidad son herramientas cruciales en áreas de la mecánica cuántica que tratan conjuntos mixtos, como la mecánica estadística cuántica , los sistemas cuánticos abiertos y la información cuántica .

Definición y motivación

La matriz de densidad es una representación de un operador lineal llamado operador de densidad . La matriz de densidad se obtiene a partir del operador de densidad mediante la elección de una base ortonormal en el espacio subyacente. ^[2] En la práctica, los términos matriz de densidad y operador de densidad suelen usarse indistintamente.

Elija una base con estados , en un espacio de Hilbert bidimensional , entonces el operador de densidad está representado por la matriz donde los elementos diagonales son números reales que suman uno (también llamados poblaciones de los dos estados , ). Los elementos fuera de la diagonal son conjugados complejos entre sí (también llamados coherencias); están restringidos en magnitud por el requisito de que sea un operador semidefinido positivo , vea a continuación. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ $${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle (\rho _{ij})}$

Un operador de densidad es un operador semidefinido positivo , autoadjunto de traza uno que actúa sobre el espacio de Hilbert del sistema. ^{[3] [4] [5]} Esta definición puede motivarse considerando una situación en la que cada estado puro se prepara con probabilidad , describiendo un conjunto de estados puros. La probabilidad de obtener un resultado de medición proyectiva cuando se utilizan proyectores está dada por ^{[6] : 99} que hace que el operador de densidad , definido como una representación conveniente para el estado de este conjunto. Es fácil comprobar que este operador es semidefinido positivo, autoadjunto y tiene traza uno. A la inversa, se deduce del teorema espectral que cada operador con estas propiedades puede escribirse como para algunos estados y coeficientes que no son negativos y suman uno. ^{[7] [6] : 102} Sin embargo, esta representación no será única, como lo demuestra el teorema de Schrödinger–HJW . ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ $${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right],}$$ $${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$ ${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$ ${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$

Otra motivación para la definición de operadores de densidad proviene de considerar mediciones locales en estados entrelazados. Sea un estado entrelazado puro en el espacio de Hilbert compuesto . La probabilidad de obtener un resultado de medición al medir proyectores solo en el espacio de Hilbert está dada por ^{[6] : 107} donde denota la traza parcial sobre el espacio de Hilbert . Esto hace que el operador sea una herramienta conveniente para calcular las probabilidades de estas mediciones locales. Se conoce como la matriz de densidad reducida de en el subsistema 1. Es fácil verificar que este operador tiene todas las propiedades de un operador de densidad. Por el contrario, el teorema de Schrödinger–HJW implica que todos los operadores de densidad pueden escribirse como para algún estado . ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ $${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ $${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$ ${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$

Estados puros y mixtos

Un estado cuántico puro es un estado que no puede escribirse como una mezcla probabilística o combinación convexa de otros estados cuánticos. ^[5] Existen varias caracterizaciones equivalentes de estados puros en el lenguaje de los operadores de densidad. ^{[8] : 73} Un operador de densidad representa un estado puro si y solo si:

• se puede escribir como un producto externo de un vector de estado consigo mismo, es decir, ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• Se trata de una proyección , en particular de rango uno.
• Es idempotente , es decir $${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• Tiene pureza una, es decir, $${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

Es importante destacar la diferencia entre una mezcla probabilística (es decir, un conjunto) de estados cuánticos y la superposición de dos estados. Si se prepara un conjunto para que la mitad de sus sistemas estén en estado y la otra mitad en estado , se puede describir mediante la matriz de densidad: ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

donde y se suponen ortogonales y de dimensión 2, por simplicidad. Por otra parte, una superposición cuántica de estos dos estados con amplitudes de probabilidad iguales da como resultado el estado puro con matriz de densidad ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

A diferencia de la mezcla probabilística, esta superposición puede mostrar interferencia cuántica . ^{[6] : 81}

En la representación de un cúbit mediante la esfera de Bloch , cada punto de la esfera unitaria representa un estado puro. Todas las demás matrices de densidad corresponden a puntos en el interior.

Geométricamente, el conjunto de operadores de densidad es un conjunto convexo y los estados puros son los puntos extremos de ese conjunto. El caso más simple es el de un espacio de Hilbert bidimensional, conocido como qubit . Un estado mixto arbitrario para un qubit se puede escribir como una combinación lineal de las matrices de Pauli , que junto con la matriz identidad proporcionan una base para las matrices autoadjuntas : ^{[9] : 126} ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

donde los números reales son las coordenadas de un punto dentro de la bola unitaria y ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Los puntos con representan estados puros, mientras que los estados mixtos se representan mediante puntos en el interior. Esto se conoce como la imagen de esfera de Bloch del espacio de estados de cúbits. ${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$

Ejemplo: polarización de la luz

La bombilla incandescente  (1) emite fotones polarizados completamente aleatorios  (2) con una matriz de densidad de estados mixtos:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}}$.

Después de pasar por el polarizador de plano vertical  (3), los fotones restantes están todos polarizados verticalmente  (4) y tienen una matriz de densidad de estado puro:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}$.

Un ejemplo de estados puros y mixtos es la polarización de la luz . Un fotón individual puede describirse como que tiene polarización circular derecha o izquierda , descrita por los estados cuánticos ortogonales y o una superposición de los dos: puede estar en cualquier estado (con ), correspondiente a polarización lineal , circular o elíptica . Consideremos ahora un fotón polarizado verticalmente, descrito por el estado . Si lo pasamos a través de un polarizador circular que permite solo luz polarizada, o solo luz polarizada, la mitad de los fotones se absorben en ambos casos. Esto puede hacer que parezca que la mitad de los fotones están en estado y la otra mitad en estado , pero esto no es correcto: si pasamos a través de un polarizador lineal no hay absorción alguna, pero si pasamos por cualquiera de los estados o la mitad de los fotones se absorben. ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

La luz no polarizada (como la luz de una bombilla incandescente ) no se puede describir como ningún estado de la forma (polarización lineal, circular o elíptica). A diferencia de la luz polarizada, pasa a través de un polarizador con una pérdida de intensidad del 50%, cualquiera sea la orientación del polarizador; y no se puede polarizar pasándola a través de cualquier placa de onda . Sin embargo, la luz no polarizada se puede describir como un conjunto estadístico, por ejemplo, como cada fotón que tiene polarización o polarización con probabilidad 1/2. El mismo comportamiento ocurriría si cada fotón tuviera polarización vertical o polarización horizontal con probabilidad 1/2. Estos dos conjuntos son completamente indistinguibles experimentalmente y, por lo tanto, se consideran el mismo estado mixto. Para este ejemplo de luz no polarizada, el operador de densidad es igual a ^{[8] : 75} ${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Existen también otras formas de generar luz no polarizada: una posibilidad es introducir incertidumbre en la preparación del fotón, por ejemplo, haciéndolo pasar a través de un cristal birrefringente con una superficie rugosa, de modo que partes ligeramente diferentes del haz de luz adquieran polarizaciones diferentes. Otra posibilidad es utilizar estados entrelazados: una desintegración radiactiva puede emitir dos fotones que viajan en direcciones opuestas, en el estado cuántico . El estado conjunto de los dos fotones juntos es puro, pero la matriz de densidad para cada fotón individualmente, hallada tomando la traza parcial de la matriz de densidad conjunta, está completamente mezclada. ^{[6] : 106} ${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$

Conjuntos equivalentes y purificaciones

Un operador de densidad dado no determina de forma única qué conjunto de estados puros le da origen; en general, hay infinitos conjuntos diferentes que generan la misma matriz de densidad. ^[10] Estos no se pueden distinguir mediante ninguna medición. ^[11] Los conjuntos equivalentes se pueden caracterizar completamente: sea un conjunto. Entonces, para cualquier matriz compleja tal que (una isometría parcial ), el conjunto definido por ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$ ${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

dará lugar al mismo operador de densidad, y todos los conjuntos equivalentes son de esta forma.

Un hecho estrechamente relacionado es que un operador de densidad dado tiene infinitas purificaciones diferentes , que son estados puros que generan el operador de densidad cuando se toma una traza parcial. Sea

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

sea ​​el operador de densidad generado por el conjunto , con estados no necesariamente ortogonales. Entonces para todas las isometrías parciales tenemos que ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

es una purificación de , donde es una base ortogonal, y además todas las purificaciones de son de esta forma. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |a_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$

Medición

Sea un observable del sistema y supongamos que el conjunto está en un estado mixto tal que cada uno de los estados puros ocurre con probabilidad . Entonces el operador de densidad correspondiente es igual a ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

El valor esperado de la medición se puede calcular extendiendo el caso de estados puros:

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

donde denota traza . Por lo tanto, la expresión familiar para estados puros se reemplaza por ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

para estados mixtos. ^{[8] : 73}

Además, si tiene resolución espectral ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

donde es el operador de proyección en el espacio propio correspondiente al valor propio , el operador de densidad posterior a la medición se da por ^{[12] [13]} ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

cuando se obtiene el resultado i . En el caso en que no se conoce el resultado de la medición, el conjunto se describe mediante

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

Si se supone que las probabilidades de los resultados de las mediciones son funciones lineales de los proyectores , entonces deben estar dadas por la traza del proyector con un operador de densidad. El teorema de Gleason muestra que en los espacios de Hilbert de dimensión 3 o mayor, el supuesto de linealidad puede reemplazarse por un supuesto de no contextualidad . ^[14] Esta restricción en la dimensión puede eliminarse asumiendo la no contextualidad también para los POVM , ^{[15] [16]} pero esto ha sido criticado por no estar motivado físicamente. ^[17] ${\displaystyle P_{i}}$

Entropía

La entropía de von Neumann de una mezcla se puede expresar en términos de los valores propios de o en términos de la traza y el logaritmo del operador de densidad . Como es un operador semidefinido positivo, tiene una descomposición espectral tal que , donde son vectores ortonormales, , y . Entonces la entropía de un sistema cuántico con matriz de densidad es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$ ${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

Esta definición implica que la entropía de von Neumann de cualquier estado puro es cero. ^{[18] : 217} Si son estados que tienen soporte en subespacios ortogonales, entonces la entropía de von Neumann de una combinación convexa de estos estados, ${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

viene dada por las entropías de von Neumann de los estados y la entropía de Shannon de la distribución de probabilidad : ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

Cuando los estados no tienen soportes ortogonales, la suma en el lado derecho es estrictamente mayor que la entropía de von Neumann de la combinación convexa . ^{[6] : 518} ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

Dado un operador de densidad y una medida proyectiva como en la sección anterior, el estado definido por la combinación convexa ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

que puede interpretarse como el estado producido al realizar la medición pero no registrar qué resultado se produjo, ^{[9] : 159} tiene una entropía de von Neumann mayor que la de , excepto si . Sin embargo, es posible que el producido por una medición generalizada , o POVM , tenga una entropía de von Neumann menor que . ^{[6] : 514} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =\rho '}$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle \rho }$

La ecuación de von Neumann para la evolución del tiempo

Así como la ecuación de Schrödinger describe cómo evolucionan los estados puros en el tiempo, la ecuación de von Neumann (también conocida como ecuación de Liouville–von Neumann ) describe cómo evoluciona un operador de densidad en el tiempo. La ecuación de von Neumann dicta que ^{[19] [20] [21]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}=[H,\rho ]~,}$

donde los paréntesis indican un conmutador .

Esta ecuación sólo se cumple cuando se toma el operador de densidad en la imagen de Schrödinger , aunque a primera vista esta ecuación parece emular la ecuación de movimiento de Heisenberg en la imagen de Heisenberg , con una diferencia de signo crucial:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} A^{(\mathrm {H} )}}{\operatorname {d} t}}=-\left[H,A^{(\mathrm {H} )}\right]~,}$

donde es algún operador de imagen de Heisenberg ; pero en esta imagen la matriz de densidad no depende del tiempo , y el signo relativo asegura que la derivada temporal del valor esperado resulte igual que en la imagen de Schrödinger . ^[5] ${\displaystyle A^{(\mathrm {H} )}(t)}$ ${\displaystyle \langle A\rangle }$

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la ecuación de von Neumann se puede resolver fácilmente para obtener

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

Para un hamiltoniano más general, si es el propagador de la función de onda en algún intervalo, entonces la evolución temporal de la matriz de densidad en ese mismo intervalo está dada por ${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

Funciones de Wigner y analogías clásicas

El operador de matriz de densidad también puede realizarse en el espacio de fases . Según el mapa de Wigner , la matriz de densidad se transforma en la función de Wigner equivalente ,

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

La ecuación para la evolución temporal de la función de Wigner, conocida como ecuación de Moyal , es entonces la transformada de Wigner de la ecuación de von Neumann anterior,

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

donde es el hamiltoniano, y es el corchete de Moyal , la transformada del conmutador cuántico . ${\displaystyle H(x,p)}$ ${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$

La ecuación de evolución de la función de Wigner es entonces análoga a la de su límite clásico, la ecuación de Liouville de la física clásica . En el límite de una constante de Planck que se desvanece , se reduce a la función de densidad de probabilidad clásica de Liouville en el espacio de fases . ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle W(x,p,t)}$

Ejemplos de aplicaciones

Las matrices de densidad son una herramienta básica de la mecánica cuántica y aparecen, al menos ocasionalmente, en casi cualquier tipo de cálculo mecánico cuántico. Algunos ejemplos específicos en los que las matrices de densidad son especialmente útiles y comunes son los siguientes:

• La mecánica estadística utiliza matrices de densidad, principalmente para expresar la idea de que un sistema se prepara a una temperatura distinta de cero. La construcción de una matriz de densidad utilizando un conjunto canónico da un resultado de la forma , donde es la temperatura inversa y es el hamiltoniano del sistema. La condición de normalización de que la traza de sea igual a 1 define la función de partición como . Si el número de partículas involucradas en el sistema no es en sí mismo seguro, entonces se puede aplicar un conjunto gran canónico , donde los estados sumados para formar la matriz de densidad se extraen de un espacio de Fock . ^{[22] : 174} ${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$
• La teoría de la decoherencia cuántica generalmente implica sistemas cuánticos no aislados que desarrollan entrelazamiento con otros sistemas, incluidos aparatos de medición. Las matrices de densidad hacen que sea mucho más fácil describir el proceso y calcular sus consecuencias. La decoherencia cuántica explica por qué un sistema que interactúa con un entorno pasa de ser un estado puro, que exhibe superposiciones, a un estado mixto, una combinación incoherente de alternativas clásicas. Esta transición es fundamentalmente reversible, ya que el estado combinado de sistema y entorno sigue siendo puro, pero a todos los efectos prácticos es irreversible, ya que el entorno es un sistema cuántico muy grande y complejo, y no es factible revertir su interacción. La decoherencia es, por lo tanto, muy importante para explicar el límite clásico de la mecánica cuántica, pero no puede explicar el colapso de la función de onda, ya que todas las alternativas clásicas siguen presentes en el estado mixto, y el colapso de la función de onda selecciona solo una de ellas. ^[23]
• De manera similar, en computación cuántica , teoría de la información cuántica , sistemas cuánticos abiertos y otros campos donde la preparación de estados es ruidosa y puede ocurrir decoherencia, se utilizan frecuentemente matrices de densidad. El ruido se modela a menudo a través de un canal despolarizante o un canal de amortiguación de amplitud . La tomografía cuántica es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de datos que representan los resultados de mediciones cuánticas, se calcula una matriz de densidad consistente con esos resultados de medición. ^{[24] [25]}
• Al analizar un sistema con muchos electrones, como un átomo o una molécula , una primera aproximación imperfecta pero útil es tratar los electrones como no correlacionados o como si cada uno tuviera una función de onda de partícula individual independiente. Este es el punto de partida habitual al construir el determinante de Slater en el método de Hartree-Fock . Si hay electrones que llenan las funciones de onda de partícula individual , entonces el conjunto de electrones puede caracterizarse mediante una matriz de densidad . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

Formulación C*-algebraica de estados

En la actualidad se acepta generalmente que la descripción de la mecánica cuántica en la que todos los operadores autoadjuntos representan observables es insostenible. ^{[26] [27]} Por esta razón, los observables se identifican con elementos de un C*-álgebra abstracta A (es decir, una sin una representación distinguida como un álgebra de operadores) y los estados son funcionales lineales positivos en A . Sin embargo, al utilizar la construcción GNS , podemos recuperar espacios de Hilbert que realizan A como un subálgebra de operadores.

Geométricamente, un estado puro en una C*-álgebra A es un estado que es un punto extremo del conjunto de todos los estados en A . Por propiedades de la construcción GNS estos estados corresponden a representaciones irreducibles de A .

Los estados del C*-álgebra de los operadores compactos K ( H ) corresponden exactamente a los operadores de densidad, y por lo tanto los estados puros de K ( H ) son exactamente los estados puros en el sentido de la mecánica cuántica.

Se puede observar que la formulación C*-algebraica incluye tanto sistemas clásicos como cuánticos. Cuando el sistema es clásico, el álgebra de observables se convierte en un álgebra C* abeliana. En ese caso, los estados se convierten en medidas de probabilidad.

Historia

El formalismo de los operadores y matrices de densidad fue introducido en 1927 por John von Neumann ^[28] e independientemente, pero de manera menos sistemática, por Lev Landau ^[29] y más tarde en 1946 por Felix Bloch . ^[30] Von Neumann introdujo la matriz de densidad para desarrollar tanto la mecánica estadística cuántica como una teoría de mediciones cuánticas. El nombre de matriz de densidad en sí se relaciona con su correspondencia clásica con una medida de probabilidad del espacio de fases (distribución de probabilidad de posición y momento) en la mecánica estadística clásica , que fue introducida por Wigner en 1932. ^[3]

Por el contrario, la motivación que inspiró a Landau fue la imposibilidad de describir un subsistema de un sistema cuántico compuesto mediante un vector de estados. ^[29]

Véase también

• Transición electrónica atómica
• Teoría del funcional de la densidad
• Relaciones entre Green y Kubo
• Función de Green (teoría de muchos cuerpos)
• Ecuación de Lindblad
• Distribución de cuasi-probabilidad de Wigner

Notas y referencias

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2. Ballentine, Leslie (2009). "Matriz de densidad". Compendio de física cuántica . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pág. 166. doi :10.1007/978-3-540-70626-7_51. ISBN 978-3-540-70622-9.
3. Fano, U. (1957). "Descripción de estados en mecánica cuántica mediante técnicas de matrices de densidad y operadores". Reseñas de física moderna . 29 (1): 74–93. Bibcode :1957RvMP...29...74F. doi :10.1103/RevModPhys.29.74.
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