Métrica de Cayley-Klein

La distancia métrica entre dos puntos dentro del absoluto es el logaritmo de la razón cruzada formada por estos dos puntos y las dos intersecciones de su línea con el absoluto.

En matemáticas, una métrica de Cayley-Klein es una métrica sobre el complemento de una cuádrica fija en un espacio proyectivo que se define utilizando una razón cruzada . La construcción se originó con el ensayo de Arthur Cayley "Sobre la teoría de la distancia" ^[1] donde llama a la cuádrica la absoluta . La construcción fue desarrollada con mayor detalle por Felix Klein en artículos en 1871 y 1873, y libros y artículos posteriores. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]} Las métricas de Cayley-Klein son una idea unificadora en geometría ya que el método se utiliza para proporcionar métricas en geometría hiperbólica , geometría elíptica y geometría euclidiana . El campo de la geometría no euclidiana se basa en gran medida en la base proporcionada por las métricas de Cayley-Klein.

Cimientos

El álgebra de lanzamientos de Karl von Staudt (1847) es un enfoque de la geometría que es independiente de la métrica . La idea era utilizar la relación de conjugados armónicos proyectivos y razones cruzadas como fundamentales para la medida en una línea. ^[10] Otra idea importante fue la fórmula de Laguerre de Edmond Laguerre (1853), quien demostró que el ángulo euclidiano entre dos líneas se puede expresar como el logaritmo de una razón cruzada. ^[11] Finalmente, Cayley (1859) formuló relaciones para expresar la distancia en términos de una métrica proyectiva y las relacionó con cuádricas o cónicas generales que sirven como el absoluto de la geometría. ^{[12] [13]} Klein (1871, 1873) eliminó los últimos restos de conceptos métricos del trabajo de von Staudt y los combinó con la teoría de Cayley, con el fin de basar la nueva métrica de Cayley en el logaritmo y la razón cruzada como un número generado por la disposición geométrica de cuatro puntos. ^[14] Este procedimiento es necesario para evitar una definición circular de la distancia si la razón cruzada es simplemente una razón doble de distancias definidas previamente. ^[15] En particular, demostró que las geometrías no euclidianas pueden basarse en la métrica de Cayley-Klein. ^[16]

La geometría de Cayley-Klein es el estudio del grupo de movimientos que dejan invariante la métrica de Cayley-Klein . Depende de la selección de una cuádrica o cónica que se convierta en el absoluto del espacio. Este grupo se obtiene como las colineaciones para las que el absoluto es estable . De hecho, la razón cruzada es invariante bajo cualquier colineación, y el absoluto estable permite la comparación métrica, que será la igualdad. Por ejemplo, el círculo unitario es el absoluto del modelo de disco de Poincaré y el modelo de Beltrami-Klein en geometría hiperbólica . De manera similar, la línea real es el absoluto del modelo de semiplano de Poincaré .

Horst y Rolf Struve resumieron el alcance de la geometría de Cayley-Klein en 2004: ^[17]

Hay tres absolutos en la línea proyectiva real, siete en el plano proyectivo real y 18 en el espacio proyectivo real. Todos los espacios proyectivos no euclidianos clásicos, como el hiperbólico, el elíptico, el galileano y el minkowskiano, y sus duales, pueden definirse de esta manera.

Los diagramas de Voronoi de Cayley-Klein son diagramas afines con bisectrices de hiperplano lineales. ^[18]

Relación cruzada y distancia

La métrica de Cayley-Klein se ilustra primero en la línea proyectiva real P( R ) y las coordenadas proyectivas . Por lo general, la geometría proyectiva no está asociada con la geometría métrica, pero un dispositivo con homografía y logaritmo natural establece la conexión. Comience con dos puntos p y q en P( R ). En la incrustación canónica son [ p :1] y [ q :1]. La función homográfica

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}-1&1\\p&-q\end{pmatrix}}=[p-z:z-q]}$

lleva p a cero y q a infinito. Además, el punto medio ( p + q )/2 tiende a [1:1]. El logaritmo natural lleva la imagen del intervalo [ p , q ] a la recta real, siendo el logaritmo de la imagen del punto medio 0.

Para la distancia entre dos puntos en el intervalo, la métrica de Cayley-Klein utiliza el logaritmo de la razón de los puntos. Como una razón se conserva cuando numerador y denominador son igualmente reproporcionados, también se conserva el logaritmo de dichas razones. Esta flexibilidad de razones permite el movimiento del punto cero para la distancia: Para moverlo a a , aplique la homografía anterior, digamos que obtenemos w . Luego forme esta homografía:

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}1&0\\0&w\end{pmatrix}}}$que lleva [ w ,1] a [1 : 1].

La composición de la primera y la segunda homografías toma a como 1, normalizando así un a arbitrario en el intervalo. Las homografías compuestas se denominan homografías de razón cruzada de p , q y a . Con frecuencia, la razón cruzada se introduce como una función de cuatro valores. Aquí, tres definen una homografía y el cuarto es el argumento de la homografía. La distancia de este cuarto punto a 0 es el logaritmo de la homografía evaluada.

En un espacio proyectivo que contiene P( R ), supongamos que se da una cónica K , con p y q en K . Una homografía en el espacio más grande puede tener a K como un conjunto invariante ya que permuta los puntos del espacio. Tal homografía induce uno en P( R ), y como p y q permanecen en K , la razón cruzada permanece invariante. Las homografías superiores proporcionan movimientos de la región limitada por K , con la distancia que preserva el movimiento, una isometría .

Aplicaciones de disco

Supongamos que se selecciona un círculo unitario para el absoluto. Puede estar en P ² ( R ) como

${\displaystyle \{[x:y:z]:x^{2}+y^{2}=z^{2}\}}$que corresponde a ${\displaystyle (x/z)^{2}+(y/z)^{2}=1.}$

Por otra parte, el círculo unitario en el plano complejo ordinario

${\displaystyle \{z:|z|^{2}=zz^{*}=1\}}$utiliza aritmética de números complejos

y se encuentra en la línea proyectiva compleja P( C ), algo diferente del plano proyectivo real P ² ( R ). La noción de distancia para P( R ) introducida en la sección anterior está disponible ya que P( R ) está incluido tanto en P ² ( R ) como en P( C ). Digamos que a y b son interiores al círculo en P ² ( R ). Entonces se encuentran en una línea que interseca el círculo en p y q . La distancia de a a b es el logaritmo del valor de la homografía, generada anteriormente por p , q y a , cuando se aplica a b . En este caso, las geodésicas en el disco son segmentos de línea.

Por otra parte, las geodésicas son arcos de círculos generalizados en el disco del plano complejo. Esta clase de curvas se permuta mediante transformaciones de Möbius , la fuente de los movimientos de este disco que dejan al círculo unitario como un conjunto invariante . Dados a y b en este disco, hay un único círculo generalizado que se encuentra con el círculo unitario en ángulos rectos, es decir, intersecándolo en p y q . Nuevamente, para la distancia de a a b primero se construye la homografía para p, q y a , luego se evalúa en b y finalmente se usa el logaritmo. Los dos modelos del plano hiperbólico obtenidos de esta manera son el modelo de Cayley-Klein y el modelo de disco de Poincaré .

Relatividad especial

En sus conferencias sobre la historia de las matemáticas de 1919/20, publicadas póstumamente en 1926, Klein escribió: ^[19]

El caso del mundo de cuatro dimensiones (o permanecer en tres dimensiones y utilizar coordenadas homogéneas ) ha ganado recientemente una importancia especial a través de la teoría de la relatividad de la física. ${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0}$

Es decir, los absolutos o en geometría hiperbólica (como se discutió anteriormente), corresponden a los intervalos o en el espacio-tiempo , y su transformación dejando al absoluto invariante puede relacionarse con las transformaciones de Lorentz . De manera similar, las ecuaciones del círculo unitario o esfera unitaria en geometría hiperbólica corresponden a velocidades físicas o en relatividad, las cuales están acotadas por la velocidad de la luz c , de modo que para cualquier velocidad física v , la razón v / c está confinada al interior de una esfera unitaria, y la superficie de la esfera forma el absoluto de Cayley para la geometría. ${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$ ${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$ ${\textstyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}$ ${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ ${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ ${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dz}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ 

Klein señaló detalles adicionales sobre la relación entre la métrica de Cayley-Klein para el espacio hiperbólico y el espacio de Minkowski de la relatividad especial en 1910 ^[20] , así como en la edición de 1928 de sus conferencias sobre geometría no euclidiana. ^[21]

Geometría CK afín

En 2008, Horst Martini y Margarita Spirova generalizaron el primero de los teoremas del círculo de Clifford y otras geometrías euclidianas utilizando geometría afín asociada con el absoluto de Cayley:

Si el absoluto contiene una línea, entonces se obtiene una subfamilia de geometrías afines de Cayley-Klein . Si el absoluto consiste en una línea f y un punto F en f , entonces tenemos la geometría isótropa . Un círculo isótropo es una cónica que toca f en F. ^[22]

Utilice coordenadas homogéneas ( x,y,z ). La línea f en el infinito es z = 0. Si F = (0,1,0), entonces una parábola con diámetro paralelo al eje y es un círculo isótropo.

Sea P = (1,0,0) y Q = (0,1,0) en el plano absoluto, por lo que f es como se indica anteriormente. Se considera que una hipérbola rectangular en el plano ( x,y ) pasa por P y Q en la línea del infinito. Estas curvas son los círculos pseudoeuclidianos.

El tratamiento de Martini y Spirova utiliza números duales para la geometría isótropa y números complejos divididos para la geometría pseudoeuclidiana. Estos números complejos generalizados se asocian con sus geometrías como lo hacen los números complejos ordinarios con la geometría euclidiana.

Historia

Cayley

Recientemente surgió en una conversación la cuestión de si una disertación de dos líneas podría merecer y obtener una beca. ... La definición proyectiva de longitud de Cayley es un caso claro si podemos interpretar "dos líneas" con una latitud razonable. ... Con Cayley la importancia de la idea es obvia a primera vista.

Littlewood (1986, págs. 39-40)

Arthur Cayley (1859) definió el "absoluto" en el que basó su métrica proyectiva como una ecuación general de una superficie de segundo grado en términos de coordenadas homogéneas : ^[1]

La distancia entre dos puntos viene dada por

En dos dimensiones

Con la distancia

De los cuales discutió el caso especial con la distancia ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

$${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}}$$

También aludió al caso (esfera unitaria). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Pequeño

Felix Klein (1871) reformuló las expresiones de Cayley de la siguiente manera: escribió la absoluta (a la que llamó sección cónica fundamental) en términos de coordenadas homogéneas: ^[23]

y al formar los absolutos y para dos elementos, definió la distancia métrica entre ellos en términos de la razón cruzada: ${\displaystyle \Omega _{xx}}$ ${\displaystyle \Omega _{yy}}$

$${\displaystyle c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \arccos {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$$

En el plano, se mantienen las mismas relaciones para las distancias métricas, excepto que y ahora están relacionadas con tres coordenadas cada una. Como sección cónica fundamental, discutió el caso especial , que se relaciona con la geometría hiperbólica cuando es real, y con la geometría elíptica cuando es imaginaria. ^[24] Las transformaciones que dejan invariante esta forma representan movimientos en el respectivo espacio no euclidiano. Alternativamente, utilizó la ecuación del círculo en la forma , que se relaciona con la geometría hiperbólica cuando es positiva (modelo de Beltrami-Klein) o con la geometría elíptica cuando es negativa. ^[25] En el espacio, discutió las superficies fundamentales de segundo grado, según las cuales las imaginarias se refieren a la geometría elíptica, las reales y rectilíneas corresponden a un hiperboloide de una hoja sin relación con una de las tres geometrías principales, mientras que las reales y no rectilíneas se refieren al espacio hiperbólico. ${\displaystyle \Omega _{xx}}$ ${\displaystyle \Omega _{yy}}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0}$ ${\displaystyle \Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

En su artículo de 1873 señaló la relación entre la métrica de Cayley y los grupos de transformación. ^[26] En particular, las ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales, correspondientes a superficies de segundo grado, se pueden transformar en una suma de cuadrados, de la cual la diferencia entre el número de signos positivos y negativos permanece igual (esto ahora se llama ley de inercia de Sylvester ). Si el signo de todos los cuadrados es el mismo, la superficie es imaginaria con curvatura positiva. Si un signo difiere de los demás, la superficie se convierte en un elipsoide o hiperboloide de dos hojas con curvatura negativa.

En el primer volumen de sus conferencias sobre geometría no euclidiana en el semestre de invierno de 1889/90 (publicado en 1892/1893), analizó el plano no euclidiano, utilizando estas expresiones para el absoluto: ^[27] y analizó su invariancia con respecto a las colineaciones y las transformaciones de Möbius que representan movimientos en espacios no euclidianos. $${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&{\text{(elliptic)}}\\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&{\text{(hyperbolic)}}\end{matrix}}}$$

En el segundo volumen que contiene las conferencias del semestre de verano de 1890 (también publicado en 1892/1893), Klein analizó el espacio no euclidiano con la métrica de Cayley ^[28] y demostró que las variantes de esta forma cuadrática cuaternaria pueden llevarse a una de las siguientes cinco formas mediante transformaciones lineales reales ^[29]. $${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{4}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}}$$

La forma fue utilizada por Klein como el absoluto de Cayley de la geometría elíptica, ^[30] mientras que relacionó la geometría hiperbólica con la ecuación de la esfera unitaria . ^[31] Finalmente discutió su invariancia con respecto a las colineaciones y las transformaciones de Möbius que representan movimientos en espacios no euclidianos. ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0}$ ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

Robert Fricke y Klein resumieron todo esto en la introducción al primer volumen de conferencias sobre funciones automorfas en 1897, en el que utilizaron como absoluto en geometría plana, y también para el espacio hiperbólico. ^[32] Las conferencias de Klein sobre geometría no euclidiana fueron republicadas póstumamente como un volumen y editadas significativamente por Walther Rosemann en 1928. ^[9] A'Campo y Papadopoulos (2014) dieron un análisis histórico del trabajo de Klein sobre geometría no euclidiana. ^[16] ${\displaystyle e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}$ ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$ ${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1}$

Véase también

• Métrica de Hilbert

Citas

1. Cayley (1859), pág. 82, §§209–229
2. Klein (1871)
3. Klein (1873)
4. Klein (1893a)
5. Klein (1893b)
6. Fricke y Klein (1897)
7. Klein (1910)
8. Klein (1926)
9. Klein (1928)
10. Klein (1928), pág. 163
11. Klein (1928), pág. 138
12. Klein (1928), pág. 303
13. Pierpont (1930), pág. 67 y siguientes
14. Klein (1928), págs. 163, 304
15. Russell (1898), pág. 32
16. A'Campo y Papadopoulos (2014)
17. Struve y Struve (2004), pág. 157
18. Nielsen (2016)
19. Klein (1926), pág. 138
20. Klein (1910)
21. Klein (1928), capítulo XI, §5
22. Martini y Spirova (2008)
23. Klein (1871), pág. 587
24. Klein (1871), pág. 601
25. Klein (1871), pág. 618
26. Klein (1873), §7
27. Klein (1893a), págs. 64, 94, 109, 138
28. Klein (1893b), pág. 61
29. Klein (1893b), pág. 64
30. Klein (1893b), págs. 76 y siguientes, 108 y siguientes
31. Klein (1893b), págs. 82 y siguientes, 142 y siguientes
32. Fricke y Klein (1897), págs. 1–60, Introducción

Referencias

Histórico

• von Staudt, K. (1847). Geometrie der Lage. Núremberg: Núremberg F. Korn.
• Laguerre, E. (1853). "Nota sobre la teoría de los vestíbulos". Nuevos anales de matemáticas . 12 : 57–66.
• Cayley, A. (1859). "Una sexta memoria sobre la cuántica". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 149 : 61–90. doi : 10.1098/rstl.1859.0004 .
• Klein, F. (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Annalen Matemáticas . 4 (4): 573–625. doi :10.1007/BF02100583. S2CID  119465069.
• Klein, F. (1873). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Annalen Matemáticas . 6 (2): 112-145. doi :10.1007/BF01443189. S2CID  123810749.
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• Klein, F. (1893b). Schilling, P. (ed.). Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890. Göttingen.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(segunda impresión, primera impresión en 1892)

Fuentes secundarias

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• Fricke, R.; Klein, F. (1897). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen – Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Leipzig: Teubner.
• Russell, Bertrand (1898), Un ensayo sobre los fundamentos de la geometríareeditado en 1956 por Dover Publications, Inc.
• Alfred North Whitehead (1898) Álgebra universal, Libro VI Capítulo 1: Teoría de la distancia, págs. 347-70, especialmente Sección 199 Teoría de la distancia de Cayley.
• Hausdorff, F. (1899). "Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie". Leipziger Matemáticas-Física. Berichte . 51 : 161–214. hdl :2027/hvd.32044092889328.
• Duncan Sommerville (1910/11) "Métricas de Cayley-Klein en el espacio n -dimensional", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo 28:25–41.
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Lectura adicional

• Drösler, Jan (1979), "Fundamentos del escalamiento métrico multidimensional en geometrías de Cayley-Klein", British Journal of Mathematical and Statistical Psychology , 32 (2): 185–211