ecuaciones de fresnel

Ecuaciones de transmisión y reflexión de la luz.

Transmisión parcial y reflexión de un pulso que viaja desde un medio de bajo índice de refracción a uno alto.

En incidencia casi rasante , las interfaces de los medios aparecen como espejos, especialmente debido al reflejo de la polarización s , a pesar de ser malos reflectores en incidencia normal. Las gafas de sol polarizadas bloquean la polarización , reduciendo en gran medida el resplandor de las superficies horizontales.

Las ecuaciones de Fresnel (o coeficientes de Fresnel ) describen la reflexión y transmisión de la luz (o de la radiación electromagnética en general) cuando incide sobre una interfaz entre diferentes medios ópticos . Fueron deducidas por el ingeniero y físico francés Augustin-Jean Fresnel ( / f r eɪ ˈ n ɛ l / ) quien fue el primero en comprender que la luz es una onda transversal , cuando nadie se daba cuenta de que las ondas eran campos eléctricos y magnéticos. Por primera vez, la polarización pudo entenderse cuantitativamente, ya que las ecuaciones de Fresnel predijeron correctamente el diferente comportamiento de las ondas de polarización s y p que inciden sobre una interfaz material.

Descripción general

Cuando la luz incide en la interfaz entre un medio con índice de refracción n ₁ y un segundo medio con índice de refracción n ₂ , pueden ocurrir tanto la reflexión como la refracción de la luz. Las ecuaciones de Fresnel dan la relación entre el campo eléctrico de la onda reflejada y el campo eléctrico de la onda incidente, y la relación entre el campo eléctrico de la onda transmitida y el campo eléctrico de la onda incidente, para cada uno de los dos componentes de polarización. (Los campos magnéticos también se pueden relacionar utilizando coeficientes similares). Estas relaciones son generalmente complejas y describen no sólo las amplitudes relativas sino también los cambios de fase en la interfaz.

Las ecuaciones suponen que la interfaz entre los medios es plana y que los medios son homogéneos e isotrópicos . ^[1] Se supone que la luz incidente es una onda plana , lo cual es suficiente para resolver cualquier problema ya que cualquier campo de luz incidente se puede descomponer en ondas planas y polarizaciones.

Polarizaciones S y P

El plano de incidencia está definido por el vector de propagación de la radiación entrante y el vector normal de la superficie.

Hay dos conjuntos de coeficientes de Fresnel para dos componentes de polarización lineal diferentes de la onda incidente. Dado que cualquier estado de polarización puede resolverse en una combinación de dos polarizaciones lineales ortogonales, esto es suficiente para cualquier problema. Asimismo, la luz no polarizada (o "polarizada aleatoriamente") tiene la misma cantidad de potencia en cada una de las dos polarizaciones lineales.

La polarización s se refiere a la polarización del campo eléctrico de una onda normal al plano de incidencia (la dirección z en la derivación siguiente); entonces el campo magnético está en el plano de incidencia. La polarización p se refiere a la polarización del campo eléctrico en el plano de incidencia (el plano xy en la derivación siguiente); entonces el campo magnético es normal al plano de incidencia.

Aunque la reflexión y la transmisión dependen de la polarización, en incidencia normal ( θ = 0 ) no hay distinción entre ellos, por lo que todos los estados de polarización se rigen por un único conjunto de coeficientes de Fresnel (y a continuación se menciona otro caso especial en el que esto es cierto). ).

Configuración

Variables utilizadas en las ecuaciones de Fresnel

En el diagrama de la derecha, una onda plana incidente en la dirección del rayo IO golpea la interfaz entre dos medios de índices de refracción n ₁ y n ₂ en el punto O. Parte de la onda se refleja en la dirección O y parte se refracta en la dirección OT . Los ángulos que forman los rayos incidente, reflejado y refractado con la normal de la interfaz se dan como θ _i , θ _r y θ _t , respectivamente. La relación entre estos ángulos está dada por la ley de la reflexión :

$${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r} },}$$

la ley de Snell

$${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{\mathrm {i} }=n_{2}\sin \theta _{\mathrm {t} }.}$$

El comportamiento de la luz que incide en la interfaz se explica considerando los campos eléctricos y magnéticos que constituyen una onda electromagnética y las leyes del electromagnetismo , como se muestra a continuación. Se obtiene la relación de amplitudes del campo eléctrico (o campo magnético) de las ondas, pero en la práctica uno suele interesarse más por fórmulas que determinan los coeficientes de potencia , ya que la potencia (o irradiancia ) es lo que se puede medir directamente en frecuencias ópticas. La potencia de una onda es generalmente proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico (o magnético).

Coeficientes de reflexión y transmisión de potencia (intensidad)

Coeficientes de potencia: aire a vidrio.

Coeficientes de potencia: vidrio al aire (la reflexión interna total comienza desde 42°, lo que genera un coeficiente de reflexión 1)

A la fracción de la potencia incidente que se refleja desde la interfaz la llamamos reflectancia (o reflectividad , o coeficiente de reflexión de potencia ) R , y la fracción que se refracta en el segundo medio se llama transmitancia (o transmisividad , o coeficiente de transmisión de potencia ) T.​ Tenga en cuenta que esto es lo que se mediría justo a cada lado de una interfaz y no tiene en cuenta la atenuación de una onda en un medio absorbente después de la transmisión o reflexión. ^[2]

La reflectancia de la luz s-polarizada es

$${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},}$$

la luz polarizada p

$${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2},}$$

Z ₁Z ₂impedancias de onda

Suponemos que los medios no son magnéticos (es decir, μ ₁ = μ ₂ = μ 0 ), lo que suele ser una buena aproximación en frecuencias ópticas (y para medios transparentes en otras frecuencias). ^[3] Entonces las impedancias de las ondas están determinadas únicamente por los índices de refracción n ₁ y n ₂ :

$${\displaystyle Z_{i}={\frac {Z_{0}}{n_{i}}}\,,}$$

Z ₀impedancia del espacio librei = 1, 2

$${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}}\right|^{2}\!,}$$

$${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}\!.}$$

La segunda forma de cada ecuación se deriva de la primera eliminando θ _t usando la ley de Snell e identidades trigonométricas .

Como consecuencia de la conservación de la energía , se puede encontrar la potencia transmitida (o más correctamente, la irradiancia : potencia por unidad de área) simplemente como la porción de la potencia incidente que no se refleja:  ^[4]

$${\displaystyle T_{\mathrm {s} }=1-R_{\mathrm {s} }}$$

$${\displaystyle T_{\mathrm {p} }=1-R_{\mathrm {p} }}$$

Tenga en cuenta que todas esas intensidades se miden en términos de la irradiancia de una onda en la dirección normal a la interfaz; esto es también lo que se mide en experimentos típicos. Ese número podría obtenerse a partir de las irradiancias en la dirección de una onda incidente o reflejada (dada por la magnitud del vector de Poynting de una onda ) multiplicada por cos  θ para una onda en un ángulo θ con respecto a la dirección normal (o equivalentemente, tomando el producto escalar del vector de Poynting con el vector unitario normal a la interfaz). Esta complicación puede ignorarse en el caso del coeficiente de reflexión, ya que cos  θ _i = cos  θ _r  , de modo que la relación entre la irradiancia reflejada y la incidente en la dirección de la onda es la misma que en la dirección normal a la interfaz.

Aunque estas relaciones describen la física básica, en muchas aplicaciones prácticas nos ocupamos de la "luz natural" que puede describirse como no polarizada. Eso significa que hay una cantidad igual de potencia en las polarizaciones s y p , de modo que la reflectividad efectiva del material es solo el promedio de las dos reflectividades:

$${\displaystyle R_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{2}}\left(R_{\mathrm {s} }+R_{\mathrm {p} }\right).}$$

Para aplicaciones de baja precisión que involucran luz no polarizada, como gráficos por computadora , en lugar de calcular rigurosamente el coeficiente de reflexión efectivo para cada ángulo, a menudo se usa la aproximación de Schlick .

Casos especiales

Incidencia normal

Para el caso de incidencia normal , θ _i = θ _t = 0 , y no hay distinción entre polarización s y p. Así, la reflectancia se simplifica a

$${\displaystyle R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\,.}$$

Para el vidrio común ( n ₂ ≈ 1,5 ) rodeado de aire ( n ₁ = 1 ), se puede observar que la reflectancia de potencia en incidencia normal es aproximadamente del 4%, o del 8% que representa ambos lados de un panel de vidrio.

El ángulo de Brewster

En una interfaz dieléctrica de n ₁ a n ₂ , hay un ángulo de incidencia particular en el que R _p llega a cero y una onda incidente polarizada p se refracta puramente, por lo que toda la luz reflejada está polarizada s. Este ángulo se conoce como ángulo de Brewster y mide alrededor de 56° para n ₁ = 1 y n ₂ = 1,5 (vidrio típico).

Reflexión interna total

Cuando la luz que viaja en un medio más denso incide en la superficie de un medio menos denso (es decir, n ₁ > n ₂ ), más allá de un ángulo de incidencia particular conocido como ángulo crítico , toda la luz se refleja y R _s = R _p = 1 . Este fenómeno, conocido como reflexión interna total , ocurre en ángulos de incidencia para los cuales la ley de Snell predice que el seno del ángulo de refracción excedería la unidad (mientras que en realidad sen  θ ≤ 1 para todos los θ reales ). Para vidrio con n = 1,5 rodeado de aire, el ángulo crítico es de aproximadamente 42°.

Incidencia de 45°

La reflexión con una incidencia de 45° se utiliza muy comúnmente para realizar giros de 90°. Para el caso de la luz que atraviesa desde un medio menos denso a uno más denso con una incidencia de 45° ( θ = 45° ), se deduce algebraicamente de las ecuaciones anteriores que R _p es igual al cuadrado de R _s :

$${\displaystyle R_{\text{p}}=R_{\text{s}}^{2}}$$

Esto se puede utilizar para verificar la coherencia de las mediciones de R _s y R _p o para derivar una de ellas cuando se conoce la otra. Esta relación sólo es válida para el caso simple de una interfaz de un solo plano entre dos materiales homogéneos, no para películas sobre sustratos, donde se requiere un análisis más complejo.

Se pueden utilizar mediciones de R _s y R _{p a 45° para estimar la reflectividad en incidencia normal.} ^{[ cita necesaria ]} El "promedio de promedios" obtenido calculando primero el promedio aritmético y geométrico de R _s y R _p , y luego promediando estos dos promedios nuevamente aritméticamente, da un valor para R ₀ con un error de menos de alrededor del 3% para los materiales ópticos más comunes. ^{[ cita necesaria ]} Esto es útil porque las mediciones con incidencia normal pueden ser difíciles de lograr en una configuración experimental, ya que el haz entrante y el detector se obstruirán entre sí. Sin embargo, dado que la dependencia de R _s y R _p del ángulo de incidencia para ángulos inferiores a 10° es muy pequeña, una medición a aproximadamente 5° será normalmente una buena aproximación para la incidencia normal, permitiendo al mismo tiempo una separación de las corrientes entrante y saliente. haz reflejado.

Coeficientes complejos de reflexión y transmisión de amplitud.

Las ecuaciones anteriores que relacionan potencias (que podrían medirse con un fotómetro, por ejemplo) se derivan de las ecuaciones de Fresnel que resuelven el problema físico en términos de amplitudes complejas del campo electromagnético , es decir, considerando cambios de fase además de sus amplitudes . Esas ecuaciones subyacentes proporcionan ratios de valores generalmente complejos de esos campos de ME y pueden adoptar varias formas diferentes, dependiendo del formalismo utilizado. Los coeficientes de amplitud complejos para la reflexión y la transmisión generalmente se representan con r y t minúsculas (mientras que los coeficientes de potencia están en mayúscula). Como antes, asumimos que la permeabilidad magnética µ de ambos medios es igual a la permeabilidad del espacio libre µ ₀ , como ocurre esencialmente con todos los dieléctricos en frecuencias ópticas.

Coeficientes de amplitud: aire a vidrio.

Coeficientes de amplitud: vidrio al aire.

En las siguientes ecuaciones y gráficos, adoptamos las siguientes convenciones. Para la polarización s , el coeficiente de reflexión r se define como la relación entre la amplitud del campo eléctrico complejo de la onda reflejada y la de la onda incidente, mientras que para la polarización p r es la relación entre las amplitudes del campo magnético complejo de la onda (o equivalentemente, el negativo de la relación de sus amplitudes de campo eléctrico). El coeficiente de transmisión t es la relación entre la amplitud del campo eléctrico complejo de la onda transmitida y la de la onda incidente, para cualquier polarización. Los coeficientes r y t son generalmente diferentes entre las polarizaciones s y p , e incluso en incidencia normal (¡donde las designaciones s y p ni siquiera se aplican!) el signo de r se invierte dependiendo de si la onda se considera s o p polarizado, un artefacto de la convención de signos adoptada (ver gráfico para una interfaz aire-vidrio con una incidencia de 0°).

Las ecuaciones consideran una onda plana incidente en una interfaz plana en ángulo de incidencia , una onda reflejada en ángulo y una onda transmitida en ángulo . En el caso de una interfaz con un material absorbente (donde n es complejo) o de una reflexión interna total, el ángulo de transmisión generalmente no se evalúa como un número real. En ese caso, sin embargo, se pueden obtener resultados significativos utilizando formulaciones de estas relaciones en las que se evitan las funciones trigonométricas y los ángulos geométricos; las ondas no homogéneas lanzadas al segundo medio no pueden describirse utilizando un único ángulo de propagación. ${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {r} }=\theta _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {t} }}$

Usando esta convención, ^{[5] [6]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}}$$

Se puede ver que t _s = r _s + 1 ^[7] ynorte ₂/n ₁t _pags = r _pags + 1 . Se pueden escribir ecuaciones muy similares que se apliquen a la relación de los campos magnéticos de las ondas, pero la comparación de los campos eléctricos es más convencional.

Debido a que las ondas reflejadas e incidentes se propagan en el mismo medio y forman el mismo ángulo con la normal a la superficie, el coeficiente de reflexión de potencia R es simplemente la magnitud al cuadrado de r :  ^[8]

$${\displaystyle R=|r|^{2}.}$$

Por otro lado, el cálculo del coeficiente de transmisión de potencia T es menos sencillo, ya que la luz viaja en diferentes direcciones en los dos medios. Es más, las impedancias de las ondas en los dos medios difieren; La potencia ( irradiancia ) viene dada por el cuadrado de la amplitud del campo eléctrico dividido por la impedancia característica del medio (o por el cuadrado del campo magnético multiplicado por la impedancia característica). Esto da como resultado: ^[9]

$${\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}|t|^{2}}$$

tnorte ₂/n ₁cos( θ )en la direcciónT = 1

En el caso de reflexión interna total donde la transmisión de potencia T es cero, t describe sin embargo el campo eléctrico (incluida su fase) justo más allá de la interfaz. Este es un campo evanescente que no se propaga como una onda (por lo tanto T = 0 ) pero tiene valores distintos de cero muy cerca de la interfaz. El desplazamiento de fase de la onda reflejada en la reflexión interna total se puede obtener de manera similar a partir de los ángulos de fase de r _p y r _s (cuyas magnitudes son la unidad en este caso). Estos cambios de fase son diferentes para las ondas s y p , que es el principio bien conocido mediante el cual se utiliza la reflexión interna total para efectuar transformaciones de polarización .

Formas alternativas

En la fórmula anterior para r _s ‍, si ponemos (ley de Snell) y multiplicamos el numerador y denominador por ${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$1/n ₁ sin θ _t ‍ ,  obtenemos  ^{[10] [11]}

$${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Si hacemos lo mismo con la fórmula para r _p ‍ , se demuestra fácilmente que el resultado es equivalente a  ^{[12] [13]}

$${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Estas fórmulas  ^{[14] [15] [16]} se conocen respectivamente como ley del seno de Fresnel y ley de la tangente de Fresnel . ^[17] Aunque en incidencia normal estas expresiones se reducen a 0/0, se puede ver que producen los resultados correctos en el límite como ‍ θ _i → 0 .

Múltiples superficies

Cuando la luz produce múltiples reflejos entre dos o más superficies paralelas, los múltiples haces de luz generalmente interfieren entre sí, lo que da como resultado amplitudes netas de transmisión y reflexión que dependen de la longitud de onda de la luz. La interferencia, sin embargo, se ve sólo cuando las superficies están a distancias comparables o menores que la longitud de coherencia de la luz , que para la luz blanca ordinaria es de unos pocos micrómetros; puede ser mucho mayor para la luz de un láser .

Un ejemplo de interferencia entre reflejos son los colores iridiscentes que se ven en una pompa de jabón o en finas películas de aceite sobre el agua. Las aplicaciones incluyen interferómetros Fabry-Pérot , revestimientos antirreflectantes y filtros ópticos . Un análisis cuantitativo de estos efectos se basa en las ecuaciones de Fresnel, pero con cálculos adicionales para tener en cuenta la interferencia.

El método de matriz de transferencia o el método recursivo de Rouard  ^[18] se pueden utilizar para resolver problemas de múltiples superficies.

Historia

En 1808, Étienne-Louis Malus descubrió que cuando un rayo de luz se reflejaba en una superficie no metálica en el ángulo apropiado, se comportaba como uno de los dos rayos que emergen de un cristal de calcita doblemente refractivo . ^[19] Más tarde acuñó el término polarización para describir este comportamiento. En 1815, David Brewster determinó experimentalmente la dependencia del ángulo de polarización del índice de refracción . ^[20] Pero la razón de esa dependencia era un misterio tan profundo que a finales de 1817, Thomas Young se sintió impulsado a escribir:

[L]a gran dificultad de todas, que es asignar una razón suficiente para la reflexión o no reflexión de un rayo polarizado, probablemente persistirá durante mucho tiempo, para mortificar la vanidad de una filosofía ambiciosa, completamente irresuelta por teoría alguna. ^[21]

En 1821, sin embargo, Augustin-Jean Fresnel obtuvo resultados equivalentes a sus leyes del seno y la tangente (arriba), modelando ondas de luz como ondas elásticas transversales con vibraciones perpendiculares a lo que anteriormente se había llamado plano de polarización . Fresnel confirmó rápidamente mediante experimentos que las ecuaciones predecían correctamente la dirección de polarización del haz reflejado cuando el haz incidente estaba polarizado a 45° con respecto al plano de incidencia, para la luz que incide desde el aire sobre el vidrio o el agua; en particular, las ecuaciones dieron la polarización correcta en el ángulo de Brewster. ^[22] La confirmación experimental se informó en una "posdata" del trabajo en el que Fresnel reveló por primera vez su teoría de que las ondas de luz, incluidas las ondas "no polarizadas", eran puramente transversales. ^[23]

Los detalles de la derivación de Fresnel, incluidas las formas modernas de la ley del seno y la ley de la tangente, se dieron más tarde, en una memoria leída en la Academia Francesa de Ciencias en enero de 1823. ^[24] Esa derivación combinaba la conservación de la energía con la continuidad de la vibración tangencial . en la interfaz, pero no permitió ninguna condición en el componente normal de vibración. ^[25] La primera derivación de los principios electromagnéticos fue dada por Hendrik Lorentz en 1875. ^[26]

En las mismas memorias de enero de 1823, _[ ^24] Fresnel encontró que para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, sus fórmulas para los coeficientes de reflexión ( _rs y rp ) daban valores complejos con magnitudes unitarias. Al observar que la magnitud, como de costumbre, representaba la relación de las amplitudes máximas, supuso que el argumento representaba el cambio de fase y verificó la hipótesis experimentalmente. ^[27] La ​​verificación involucrada

• calcular el ángulo de incidencia que introduciría una diferencia de fase total de 90° entre las componentes s y p, para varios números de reflexiones internas totales en ese ángulo (generalmente había dos soluciones),
• someter la luz a ese número de reflexiones internas totales en ese ángulo de incidencia, con una polarización lineal inicial a 45° con respecto al plano de incidencia, y
• comprobando que la polarización final era circular . ^[28]

Así, finalmente tuvo una teoría cuantitativa para lo que ahora llamamos rombo de Fresnel , un dispositivo que había estado utilizando en experimentos, de una forma u otra, desde 1817 (ver Rombo de Fresnel §  Historia ).

El éxito del coeficiente de reflexión complejo inspiró a James MacCullagh y Augustin-Louis Cauchy , a partir de 1836, a analizar la reflexión de los metales mediante el uso de las ecuaciones de Fresnel con un índice de refracción complejo . ^[29]

Cuatro semanas antes de presentar su teoría completa de la reflexión interna total y el rombo, Fresnel presentó una memoria  ^[30] en la que introdujo los términos necesarios polarización lineal , polarización circular y polarización elíptica , ^[31] y en la que explicó la rotación óptica. como una especie de birrefringencia : la luz polarizada linealmente se puede descomponer en dos componentes polarizados circularmente que giran en direcciones opuestas, y si se propagan a diferentes velocidades, la diferencia de fase entre ellos (de ahí la orientación de su resultante polarizada linealmente) variará continuamente con la distancia. ^[32]

Así, la interpretación de Fresnel de los valores complejos de sus coeficientes de reflexión marcó la confluencia de varias corrientes de su investigación y, posiblemente, la culminación esencial de su reconstrucción de la óptica física sobre la hipótesis de la onda transversal (ver Augustin-Jean Fresnel ).

Derivación

Aquí derivamos sistemáticamente las relaciones anteriores a partir de premisas electromagnéticas.

Parámetros de materiales

Para calcular coeficientes de Fresnel significativos, debemos suponer que el medio es (aproximadamente) lineal y homogéneo . Si el medio también es isotrópico , los cuatro vectores de campo ‍ E ,  B ,  D ,  H están relacionados por 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,\end{aligned}}}$$

ϵμpermitividad (eléctrica) y permeabilidadϵ ₀μ ₀relativa (o constante dieléctricaϵ _rel = ϵ / ϵ ₀relativa μ _rel = μ / μ ₀

En óptica es común suponer que el medio no es magnético, de modo que μ _rel = 1 . Para materiales ferromagnéticos en frecuencias de radio/microondas, se deben tener en cuenta valores mayores de μ _{rel .} Pero, para medios ópticamente transparentes y para todos los demás materiales en frecuencias ópticas (excepto posibles metamateriales ), μ _rel está muy cerca de 1; es decir, μ ≈ μ ₀ .

En óptica, normalmente se conoce el índice de refracción n del medio, que es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío ( c ) y la velocidad de la luz en el medio. En el análisis de la reflexión y transmisión parcial, también nos interesa la impedancia de la onda electromagnética Z , que es la relación entre la amplitud de E y la amplitud de H. Por lo tanto, es deseable expresar n y Z en términos de ϵ y μ , y de ahí relacionar Z con n . Sin embargo, la última relación mencionada hará conveniente derivar los coeficientes de reflexión en términos de la admitancia de la onda Y , que es el recíproco de la impedancia de la onda Z.

En el caso de ondas sinusoidales planas uniformes , la impedancia o admitancia de la onda se conoce como impedancia o admitancia intrínseca del medio. Este es el caso para el cual se deben derivar los coeficientes de Fresnel.

Ondas planas electromagnéticas.

En una onda electromagnética sinusoidal plana uniforme , el campo eléctrico E tiene la forma

donde E _k es el vector de amplitud complejo (constante), i es la unidad imaginaria , k es el vector de onda (cuya magnitud k es el número de onda angular ), r es el vector de posición , ω es la frecuencia angular , t es el tiempo y se entiende que la parte real de la expresión es el campo físico. ^{[Nota 1]}   El valor de la expresión no cambia si la posición r varía en una dirección normal a k ; por tanto k es normal a los frentes de onda .

Para avanzar la fase en el ángulo ϕ , reemplazamos ωt por ωt + ϕ  (es decir, reemplazamos − ωt por − ωt − ϕ ), con el resultado de que el campo (complejo) se multiplica por e ^−iϕ . Entonces un avance de fase equivale a la multiplicación por una constante compleja con un argumento negativo . Esto se vuelve más obvio cuando el campo ( 1 ) se factoriza como ‍ E _k e ^{i k ⋅ r} e ^−iωt , donde el último factor contiene la dependencia del tiempo. Ese factor también implica que la diferenciación con respecto al tiempo corresponde a la multiplicación por −iω . ^{[Nota 2]}  

Si ℓ es el componente de r en la dirección de k  , el campo ( 1 ) se puede escribir ‍ E _k e ^{i ( kℓ − ωt )} . Si el argumento de e ^{i (⋯)} debe ser constante,  ℓ  debe aumentar a la velocidad ‍ conocida como velocidad de fase ( v _p ) . Esto a su vez es igual a ‍. Resolviendo para k da  ${\displaystyle \omega /k\,,\,}$  ${\displaystyle c/n}$

Como es habitual, eliminamos el factor dependiente del tiempo e ^{− iωt} , que se entiende que multiplica cada cantidad de campo compleja. El campo eléctrico para una onda sinusoidal plana uniforme estará representado por el fasor dependiente de la ubicación.

Para campos de esa forma, la ley de Faraday y la ley de Maxwell-Ampère se reducen respectivamente a  ^[33]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

Poniendo B = μ H y D = ϵ E ‍ , ‍ como arriba, podemos eliminar B y D para obtener ecuaciones solo en E y H :         

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

ϵμk  , E  , H   tríada ortogonal diestra2

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}}$$

HEHE.

Al dividir (o multiplicar) las mismas dos ecuaciones se obtiene H = YE ‍, donde    

Ésta es la admitancia intrínseca .

De ( 4 ) obtenemos la velocidad de fase ‍. Para un vacío, esto se reduce a ‍. Dividiendo el segundo resultado por el primero se obtiene ${\displaystyle c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}}$  ${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$ 

$${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,.}$$

no magnético(5impedancia.‍ conocidoimpedancia del espacio libreParano magnético , esto se convierte en ) ${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}}$ ${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ ${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$ ${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$  ${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$

Vectores de onda

Vectores de onda incidente, reflejada y transmitida ( k _i ‍ , k _r ‍ y k _t  ), para la incidencia desde un medio con índice de refracción n ₁ a un medio con índice de refracción n ₂ . Las flechas rojas son perpendiculares a los vectores de onda.

En coordenadas cartesianas ( x ,  y , ‍ z ) , deje que la región ‍ y < 0 ‍ tenga un índice de refracción n ₁ , admitancia intrínseca Y ₁ , etc., y deje que la región ‍ y > 0 ‍ tenga un índice de refracción n ₂ , intrínseco admitancia Y ₂ , etc. Entonces el plano xz es la interfaz y el eje y es normal a la interfaz (ver diagrama). Sean i y j (en negrita ) los vectores unitarios en las direcciones x e y , respectivamente. Sea el plano de incidencia el plano xy (el plano de la página), con el ángulo de incidencia θ _i medido desde j hacia i . Sea el ángulo de refracción, medido en el mismo sentido, θ _t , donde el subíndice t significa transmitido (reservando r para reflejado ).        

En ausencia de desplazamientos Doppler , ω no cambia durante la reflexión o la refracción. Por tanto, según ( 2 ), la magnitud del vector de onda es proporcional al índice de refracción.

Entonces, para un ω dado , si redefinimos k como la magnitud del vector de onda en el medio de referencia (para el cual n  = ‍ 1 ), entonces el vector de onda tiene magnitud n ₁ k en el primer medio (región ‍ y < 0 ‍ en el diagrama) y magnitud n ₂ k en el segundo medio. De las magnitudes y la geometría, encontramos que los vectores de onda son

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}}$$

Los productos escalares3

Por eso:

Los componentes​

Para la polarización s , el campo E es paralelo al eje z y, por lo tanto, puede describirse por su componente en la dirección z  . Sean r _s y t _s  los coeficientes de reflexión y transmisión , respectivamente. Entonces, si se considera que el campo E incidente tiene una amplitud unitaria, la forma fasorial ( 3 ) de su componente z es

y los campos reflejados y transmitidos, de la misma forma, son

Según la convención de signos utilizada en este artículo, un coeficiente de transmisión o reflexión positiva es aquel que preserva la dirección del campo transversal , es decir (en este contexto) el campo normal al plano de incidencia. Para la polarización s , eso significa el campo E. Si los campos E incidente, reflejado y transmitido (en las ecuaciones anteriores) están en la dirección z ("fuera de la página"), entonces los campos H respectivos están en las direcciones de las flechas rojas, ya que k  , E  , H forma una tríada ortogonal diestra. _{Por lo tanto ,} los campos H pueden describirse por sus componentes en las direcciones de esas flechas, _{denotadas por} Hi  , Hr ‍, Ht . Entonces, dado que H = YE ‍ ,           

En la interfaz, según las condiciones habituales de interfaz para campos electromagnéticos , las componentes tangenciales de los campos E y H deben ser continuas; eso es,

Cuando sustituimos de las ecuaciones ( 8 ) a ( 10 ) y luego de ( 7 ), los factores exponenciales se cancelan, de modo que las condiciones de la interfaz se reducen a las ecuaciones simultáneas.

que se resuelven fácilmente para r _s y t _s ‍ , dando como resultado

y

En incidencia normal ‍ ( θ _i = θ _t = 0) , indicada por un subíndice adicional 0, estos resultados se convierten en  

y

En incidencia de pastoreo ‍ ( θ _i → 90°) , tenemos cos θ _i → 0 ‍ , por lo tanto r _s → −1 y t _s → 0 .             

Los componentes p

Para la polarización p , los campos E incidente, reflejado y transmitido son paralelos a las flechas rojas y, por lo tanto, pueden describirse por sus componentes en las direcciones de esas flechas. Sean esos componentes E _i  , E _r ‍ , E _t (redefiniendo los símbolos para el nuevo contexto). Sean r _p y t _p los coeficientes de reflexión y transmisión . Entonces, si se considera que el campo E incidente tiene una amplitud unitaria, tenemos     

Si los campos E están en las direcciones de las flechas rojas, entonces, para que k  , E  , H formen una tríada ortogonal derecha, los respectivos campos H deben estar en la dirección −z  ("dentro de la página") y por lo tanto pueden ser descritos por sus componentes en esa dirección. Esto es consistente con la convención de signos adoptada, es decir, que un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es aquel que preserva la dirección del campo transversal ( el campo H en el caso de la polarización p ) . La concordancia del otro campo con las flechas rojas revela una definición alternativa de la convención de signos: que un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es aquel para el cual el vector de campo en el plano de incidencia apunta hacia el mismo medio antes y después de la reflexión o transmisión. ^[34]     

Entonces, para los campos H incidente, reflejado y transmitido , sean los componentes respectivos en _la  dirección −z Hi  , H _r ‍, H _t . Entonces, dado que H = YE ‍ ,         

En la interfaz, las componentes tangenciales de los campos E y H deben ser continuas; eso es,

Cuando sustituimos de las ecuaciones ( 17 ) y ( 18 ) y luego de ( 7 ), los factores exponenciales nuevamente se cancelan, de modo que las condiciones de la interfaz se reducen a

Resolviendo para r _p y t _p ‍ , encontramos

y

En incidencia normal ‍ ( θ _i = θ _t = 0) indicada por un subíndice adicional 0, estos resultados se convierten en  

y

En incidencia de pastoreo ( θ _i  → 90°) , nuevamente tenemos cos θ _i → 0 ‍, por lo tanto r _p → −1 y t _p → 0 .       

Comparando ( 23 ) y ( 24 ) con ( 15 ) y ( 16 ), vemos que en incidencia normal , bajo la convención de signos adoptada, los coeficientes de transmisión para las dos polarizaciones son iguales, mientras que los coeficientes de reflexión tienen magnitudes iguales pero signos opuestos. . Si bien este choque de signos es una desventaja de la convención, la ventaja consiguiente es que los signos coinciden en la incidencia de pastoreo .

Relaciones de potencia (reflectividad y transmisividad)

El vector de Poynting para una onda es un vector cuya componente en cualquier dirección es la irradiancia (potencia por unidad de área) de esa onda sobre una superficie perpendicular a esa dirección. Para una onda sinusoidal plana, el vector de Poynting es 1/2‍ Re { E  × H ^∗ }  , donde E y H se deben únicamente a la onda en cuestión, y el asterisco denota conjugación compleja. Dentro de un dieléctrico sin pérdidas (el caso habitual), E y H están en fase y forman ángulos rectos entre sí y con el vector de onda k  ; entonces, para la polarización s, usando las componentes z y xy de E y H respectivamente (o para la polarización p, usando las componentes xy y -z de E y H ), la irradiancia en la dirección de k viene dada simplemente por EH /2  , ‍ que es ‍ E ² / 2Z en un medio de impedancia intrínseca Z  = 1/ Y . Para calcular la irradiancia en la dirección normal a la interfaz, como requeriremos en la definición del coeficiente de transmisión de potencia, podríamos usar sólo el componente x (en lugar del componente xy completo ) de H o E o, de manera equivalente, simplemente multiplicar EH /2 por el factor geométrico propio, obteniendo ( E ² / 2Z )  cos  θ .  

De las ecuaciones ( 13 ) y ( 21 ), tomando magnitudes al cuadrado, encontramos que la reflectividad (relación entre la potencia reflejada y la potencia incidente) es

para la polarización s, y

para la polarización p. Tenga en cuenta que al comparar las potencias de dos de estas ondas en el mismo medio y con el mismo  cos θ , la impedancia y los factores geométricos mencionados anteriormente son idénticos y se cancelan. Pero al calcular la transmisión de potencia (a continuación), se deben tener en cuenta estos factores. 

La forma más sencilla de obtener el coeficiente de transmisión de potencia ( transmisividad , la relación entre la potencia transmitida y la potencia incidente en la dirección normal a la interfaz , es decir, la dirección y ) es utilizar R  +  T  = 1 ‍ ( conservación de energía). De esta manera encontramos

para la polarización s, y

para la polarización p.

En el caso de una interfaz entre dos medios sin pérdidas (para la cual ϵ ​​y μ son reales y positivos), se pueden obtener estos resultados directamente usando las magnitudes al cuadrado de los coeficientes de transmisión de amplitud que encontramos anteriormente en las ecuaciones ( 14 ) y ( 22 ). . Pero, para una amplitud dada (como se señaló anteriormente), la componente del vector de Poynting en la dirección y es proporcional al factor geométrico cos  θ ‍ e inversamente proporcional a la impedancia de onda Z. Aplicando estas correcciones a cada onda, obtenemos dos ratios multiplicando el cuadrado del coeficiente de transmisión de amplitud:

para la polarización s, y

para la polarización p. Las dos últimas ecuaciones se aplican sólo a dieléctricos sin pérdidas, y sólo en ángulos de incidencia menores que el ángulo crítico (más allá del cual, por supuesto, T  = 0  ).

Para luz no polarizada:

$${\displaystyle T={1 \over 2}(T_{s}+T_{p})}$$

$${\displaystyle R={1 \over 2}(R_{s}+R_{p})}$$

${\displaystyle R+T=1}$

Índices de refracción iguales

De las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ), vemos que dos medios diferentes tendrán el mismo índice de refracción, pero diferentes admitancias, si la relación de sus permeabilidades es la inversa de la relación de sus permitividades. En esa situación inusual tenemos θ _t = θ _i ‍ ( es decir, el rayo transmitido no está desviado), de modo que los cosenos en las ecuaciones ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) y ( 25 ) a ( 28 ) se cancelan y todas las relaciones de reflexión y transmisión se vuelven independientes del ángulo de incidencia; en otras palabras, las proporciones de incidencia normal se vuelven aplicables a todos los ángulos de incidencia. ^[35] Cuando se extiende a la reflexión o dispersión esférica, esto da como resultado el efecto Kerker para la dispersión de Mie .   

Medios no magnéticos

Dado que las ecuaciones de Fresnel se desarrollaron para óptica, normalmente se dan para materiales no magnéticos. Dividiendo ( 4 ) por ( 5 )) se obtiene

$${\displaystyle Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,.}$$

permeabilidad al vacío μ ₀μ

$${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,;}$$

13162126cμ ₀^{[5] [6]}

Para el caso de incidencia normal estos se reducen a:

Los coeficientes de reflexión de potencia se convierten en:

Las transmisiones de potencia se pueden encontrar entonces a partir de T  = 1 −  R.

El ángulo de Brewster

Para permeabilidades iguales (por ejemplo, medios no magnéticos), si θ _i y θ _t son complementarios , podemos sustituir ‍ sin θ _t ‍ por ‍ cos θ _i ‍ y ‍ sin θ _i ‍ por ‍ cos θ _t ‍ , entonces que el numerador en la ecuación ( 31 ) se convierte en ‍ n ₂ ‍ sin θ _t − n ₁ ‍ sin θ _i ‍ , que es cero (según la ley de Snell). Por tanto, r _p = 0 y sólo se refleja la componente polarizada s. Esto es lo que sucede en el ángulo Brewster . Sustituyendo ‍ cos θ _i ‍ por ‍ sin θ _t ‍ en la ley de Snell, obtenemos fácilmente                    

para el ángulo de Brewster.

Permitividades iguales

Aunque no se encuentra en la práctica, las ecuaciones también pueden aplicarse al caso de dos medios con una permitividad común pero diferentes índices de refracción debido a diferentes permeabilidades. De las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ), si ϵ se fija en lugar de μ , entonces Y se vuelve inversamente proporcional a n , con el resultado de que los subíndices 1 y 2 en las ecuaciones ( 29 ) a ( 38 ) se intercambian (debido a la paso adicional de multiplicar el numerador y el denominador por n ₁ n ₂ ). Por lo tanto, en ( 29 ) y ( 31 ), las expresiones para r _s y r _p en términos de índices de refracción se intercambiarán, de modo que el ángulo de Brewster ( 39 ) dará r _s = 0 en lugar de r _p = 0 ‍, y cualquier haz reflejado en ese ángulo estará polarizado p en lugar de polarizado s. ^[36] De manera similar, la ley del seno de Fresnel se aplicará a la polarización p en lugar de a la polarización s, y su ley tangente a la polarización s en lugar de a la polarización p.     

Este cambio de polarizaciones tiene un análogo en la antigua teoría mecánica de las ondas de luz (ver § Historia , arriba). Se podrían predecir coeficientes de reflexión que coincidieran con la observación suponiendo (como Fresnel) que diferentes índices de refracción se debían a diferentes densidades y que las vibraciones eran normales a lo que entonces se llamaba plano de polarización , o suponiendo (como MacCullagh y Neumann ) que diferentes índices de refracción se debían a diferentes elasticidades y que las vibraciones eran paralelas a ese plano. ^[37] Así, la condición de permitividades iguales y permeabilidades desiguales, aunque no es realista, tiene cierto interés histórico.

Ver también

• cálculo de jones
• Mezcla de polarización
• Material de coincidencia de índices
• Cantidades de campo y potencia.
• Rombo de Fresnel , aparato de Fresnel para producir luz polarizada circularmente
• Pérdida de reflexión
• Reflexión especular
• La aproximación de Schlick
• La ventana de Snell
• reflectividad de rayos X
• Plano de incidencia
• Reflexiones de señales en líneas conductoras.

Notas

1. Los físicos suelen utilizar la forma anterior ( 1 ). Los ingenieros eléctricos suelen preferir la forma  E _k  e ^{j ( ωt − k⋅r )} ; es decir, no sólo utilizan j en lugar de i para la unidad imaginaria, sino que también cambian el signo del exponente, con el resultado de que toda la expresión es reemplazada por su conjugado complejo , dejando la parte real sin cambios [Cf. (por ejemplo) Collin, 1966, pág. 41, ecuación. ‍ ( 2.81)]. La forma de los ingenieros eléctricos y las fórmulas derivadas de ellas se pueden convertir a la convención de los físicos sustituyendo −i por j .
2. En la convención de ingeniería eléctrica, el factor dependiente del tiempo es e ^{‍ jωt} , de modo que un avance de fase corresponde a la multiplicación por una constante compleja con un argumento positivo , y la diferenciación con respecto al tiempo corresponde a la multiplicación por + jω . Este artículo, sin embargo, utiliza la convención de física, cuyo factor dependiente del tiempo es e ^{− iωt} . Aunque la unidad imaginaria no aparece explícitamente en los resultados aquí presentados, el factor dependiente del tiempo afecta la interpretación de cualquier resultado que resulte complejo.

Referencias

1. Nacido y lobo, 1970, pág. 38.
2. Hecht, 1987, pág. 100.
3. Perforadores, Ronald G.; Hoffman, Craig; Drggers, Ronald (2011). Enciclopedia de Ingeniería Óptica . doi :10.1081/E-EOE. ISBN 978-0-8247-0940-2.
4. Hecht, 1987, pág. 102.
5. Apuntes de conferencias de Bo Sernelius, sitio principal Archivado el 22 de febrero de 2012 en Wayback Machine , véase especialmente la Conferencia 12.
6. Nacido y lobo, 1970, pág. 40, ecuaciones.  (20), (21).
7. Hecht, 2002, pág. 116, ecuaciones.  (4.49), (4.50).
8. Hecht, 2002, pág. 120, ecuación. (4.56).
9. Hecht, 2002, pág. 120, ecuación. (4.57).
10. Fresnel, 1866, pág. 773.
11. Hecht, 2002, pág. 115, ecuación. (4.42).
12. Fresnel, 1866, pág. 757.
13. Hecht, 2002, pág. 115, ecuación. (4.43).
14. E. Verdet, en Fresnel, 1866, pág. 789n.
15. Nacido y lobo, 1970, pág. 40, ecuaciones. (21a).
16. Jenkins y White, 1976, pág. 524, ecuaciones. (25a).
17. Whittaker, 1910, pág. 134; Darrigol, 2012, pág. ‍ 213 .
18. Cielos, OS (1955). Propiedades ópticas de películas delgadas . Prensa académica.cap. 4.
19. Darrigol, 2012, págs.  191-2.
20. D. Brewster, "Sobre las leyes que regulan la polarización de la luz por reflexión de cuerpos transparentes", Philosophical Transactions of the Royal Society , vol.  105, págs.  125–59, leído el 16 de marzo de 1815.
21. T. Young, "Chromatics" (escrito de septiembre a octubre de 1817 ), Suplemento de las ediciones cuarta, quinta y sexta de la Encyclopædia Britannica , vol.  3 (primera mitad, publicado en febrero de 1818), págs.  141–63, frase final.
22. Buchwald, 1989, págs.  390–91; Fresnel, 1866, págs.  646–8.
23. A. Fresnel, "Note sur le calcul des teintes que la polarization développe dans les lames cristallisées" et seq., Annales de Chimie et de Physique , vol.  17, págs.  102–11 (mayo de 1821), 167–96 (junio de 1821), 312–15 ("Posdata", julio de 1821); reimpreso en Fresnel, 1866, págs.  609–48; traducido como "Sobre el cálculo de los tintes que desarrolla la polarización en placas cristalinas, y  posdata", Zenodo :  4058004 / doi :10.5281/zenodo.4058004, 2021.
24. A. Fresnel, "Mémoire sur la loi desmodificaciones que la réflexion imprime à la lumière polarisée" ("Memoria sobre la ley de las modificaciones que la reflexión imprime en la luz polarizada"), leída el 7 de enero de 1823; reimpreso en Fresnel, 1866, págs.  767–99 (texto completo, publicado en 1831), págs.  753–62 (extracto, publicado en 1823). Véanse especialmente las páginas  773 (ley del seno), 757 (ley de la tangente), 760–61 y 792–6 (ángulos de reflexión interna total para diferencias de fase dadas).
25. Buchwald, 1989, págs.  391–3; Whittaker, 1910, págs.  133–5.
26. Buchwald, 1989, pág. 392.
27. Lloyd, 1834, págs.  369–70; Buchwald, 1989, págs.  393–4,  453; Fresnel, 1866, págs.  781–96.
28. Fresnel, 1866, págs.  760–61,  792–6; Whewell, 1857, pág. 359.
29. Whittaker, 1910, págs.  177–9.
30. A. Fresnel, "Mémoire sur la double réfraction que les rayons lumineux éprouvent en traversant les aiguilles de cristal de roche suivant les Directions parallèles à l'axe" ("Memoria sobre la doble refracción que sufren los rayos de luz al atravesar las agujas de cuarzo en direcciones paralelas al eje"), leído el 9 de diciembre de 1822; impreso en Fresnel, 1866, págs.  731–51 (texto completo), págs.  719–29 ( extrait , publicado por primera vez en Bulletin de la Société philomathique de 1822, págs. 191–8).
31. Buchwald, 1989, págs.  230–31; Fresnel, 1866, pág. 744.
32. Buchwald, 1989, pág. 442; Fresnel, 1866, págs.  737–9,  749. Cf. Whewell, 1857, págs.  356–8; Jenkins y White, 1976, págs.  589–90.
33. Compárese con MV Berry y MR Jeffrey, "Difracción cónica: el punto diabólico de Hamilton en el corazón de la óptica cristalina", en E. Wolf (ed.), Progress in Optics , vol.  50, Ámsterdam: Elsevier, 2007, págs.  13–50, doi :10.1016/S0079-6638(07)50002-8, en pág. 18, ecuación. ‍ ( 2.2).
34. Esto concuerda con Born & Wolf, 1970, p. 38, figura 1.10.
35. Giles, CL; Salvaje, WJ (1982). "Reflexión y transmisión de Fresnel en un límite plano desde medios de índices de refracción iguales". Letras de Física Aplicada . 40 (3): 210–212. Código Bib : 1982ApPhL..40..210G. doi : 10.1063/1.93043. S2CID  118838757.
36. Los ángulos de Brewster más generales, para los cuales los ángulos de incidencia y refracción no son necesariamente complementarios, se analizan en CL Giles y WJ Wild, "Brewster Angles for Magnetic Media", International Journal of Infrarrojo y Ondas Milimétricas , vol.  6, núm. ‍ 3 (marzo de 1985), págs.  187–97.
37. Whittaker, 1910, págs. 133, 148–9; Darrigol, 2012, págs. 212, 229–31.

Fuentes

• M. Born y E. Wolf, 1970, Principios de óptica , 4ª ed., Oxford: Pergamon Press.
• JZ Buchwald, 1989, El surgimiento de la teoría ondulatoria de la luz: teoría y experimento ópticos a principios del siglo XIX , University of Chicago Press, ISBN 0-226-07886-8 . 
• RE Collin, 1966, Fundamentos para la ingeniería de microondas , Tokio: McGraw-Hill.
• O. Darrigol, 2012, Una historia de la óptica: desde la antigüedad griega hasta el siglo XIX , Oxford, ISBN 978-0-19-964437-7 . 
• A. Fresnel, 1866 (ed.  H. de Senarmont, E. Verdet y L. Fresnel), Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , París: Imprimerie Impériale (3 vols., 1866-1870), vol. 1 (1866).
• E. Hecht, 1987, Óptica , 2.ª ed., Addison Wesley, ISBN 0-201-11609-X . 
• E. Hecht, 2002, Óptica , 4ª ed., Addison Wesley, ISBN 0-321-18878-0 . 
• FA Jenkins y HE White, 1976, Fundamentos de la óptica , 4.ª ed., Nueva York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 . 
• H. Lloyd, 1834, "Informe sobre el progreso y el estado actual de la óptica física", Informe de la Cuarta Reunión de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia (celebrada en Edimburgo en 1834), Londres: J. Murray, 1835, págs.  295–413 .
• W. Whewell, 1857, Historia de las ciencias inductivas: desde principios hasta la actualidad , 3.ª ed., Londres: JW Parker & Son, vol. 2.
• ET Whittaker , 1910, Una historia de las teorías del éter y la electricidad: desde la era de Descartes hasta finales del siglo XIX , Londres: Longmans, Green, & Co.

Otras lecturas

• Woan, G. (2010). El manual de fórmulas físicas de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2.
• Griffiths, David J. (2017). "Capítulo 9.3: Ondas electromagnéticas en la materia". Introducción a la electrodinámica (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-108-42041-9.
• Banda, YB (2010). Luz y Materia: Electromagnetismo, Óptica, Espectroscopia y Láseres . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-89931-0.
• Kenyon, IR (2008). The Light Fantastic - Introducción a la óptica clásica y cuántica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-856646-5.
• Enciclopedia de física (segunda edición) , RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Enciclopedia de física de McGraw Hill (segunda edición) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 

enlaces externos

• Ecuaciones de Fresnel – Wolfram.
• calculadora de ecuaciones de fresnel
• FreeSnell: el software gratuito calcula las propiedades ópticas de materiales multicapa.
• Thinfilm: interfaz web para calcular propiedades ópticas de películas delgadas y materiales multicapa (coeficientes de reflexión y transmisión, parámetros elipsométricos Psi y Delta).
• Interfaz web sencilla para calcular intensidades y ángulos de reflexión y refracción de interfaz única.
• Reflexión y transmitancia para dos dieléctricos ^{[ enlace muerto permanente ]} – Página web interactiva de Mathematica que muestra las relaciones entre índice de refracción y reflexión.
• Una derivación autónoma de primeros principios de las probabilidades de transmisión y reflexión de una multicapa con índices de refracción complejos.