La birrefringencia es la propiedad óptica de un material que tiene un índice de refracción que depende de la polarización y la dirección de propagación de la luz . [1] Estos materiales ópticamente anisotrópicos se describen como birrefringentes o birrefractivos . La birrefringencia suele cuantificarse como la diferencia máxima entre los índices de refracción que presenta el material. Los cristales con estructuras cristalinas no cúbicas suelen ser birrefringentes, al igual que los plásticos sometidos a tensión mecánica .
La birrefringencia es responsable del fenómeno de doble refracción por el cual un rayo de luz, cuando incide sobre un material birrefringente, se divide por polarización en dos rayos que toman caminos ligeramente diferentes. Este efecto fue descrito por primera vez por el científico danés Rasmus Bartholin en 1669, quien lo observó [2] en cristales de espato islandés ( calcita ), que tienen una de las birrefringencias más fuertes. En el siglo XIX Augustin-Jean Fresnel describió el fenómeno en términos de polarización, entendiendo la luz como una onda con componentes de campo en polarización transversal (perpendicular a la dirección del vector de onda). [3] [4] La birrefringencia juega un papel importante en el logro de la coincidencia de fases para una serie de procesos ópticos no lineales .
A continuación se presenta una descripción matemática de la propagación de ondas en un medio birrefringente. A continuación se ofrece una explicación cualitativa del fenómeno.
El tipo más simple de birrefringencia se describe como uniaxial , lo que significa que hay una única dirección que gobierna la anisotropía óptica, mientras que todas las direcciones perpendiculares a ella (o en un ángulo determinado) son ópticamente equivalentes. Por tanto, girar el material alrededor de este eje no cambia su comportamiento óptico. Esta dirección especial se conoce como eje óptico del material. La luz que se propaga paralelamente al eje óptico (cuya polarización es siempre perpendicular al eje óptico) se rige por un índice de refracción n o (por "ordinario") independientemente de su polarización específica. Para rayos con cualquier otra dirección de propagación, existe una polarización lineal que es perpendicular al eje óptico, y un rayo con esa polarización se llama rayo ordinario y se rige por el mismo valor de índice de refracción n o . Para un rayo que se propaga en la misma dirección pero con una polarización perpendicular a la del rayo ordinario, la dirección de polarización será parcialmente en la dirección (paralela) al eje óptico, y este rayo extraordinario estará gobernado por una dirección diferente. -Índice de refracción dependiente . Debido a que el índice de refracción depende de la polarización cuando la luz no polarizada entra en un material birrefringente uniaxial, se divide en dos haces que viajan en diferentes direcciones, uno con la polarización del rayo ordinario y el otro con la polarización del rayo extraordinario. El rayo ordinario siempre experimentará un índice de refracción de no , mientras que el índice de refracción del rayo extraordinario estará entre no y n e , dependiendo de la dirección del rayo descrita por el elipsoide índice . La magnitud de la diferencia se cuantifica mediante la birrefringencia [5]
La propagación (así como el coeficiente de reflexión ) del rayo ordinario se describe simplemente con n o como si no hubiera birrefringencia involucrada. El extraordinario rayo, como su nombre indica, se propaga a diferencia de cualquier onda en un material óptico isotrópico. Su refracción (y reflexión) en una superficie se puede entender utilizando el índice de refracción efectivo (un valor entre n o y n e ). Su flujo de potencia (dado por el vector de Poynting ) no es exactamente en la dirección del vector de onda . Esto provoca un desplazamiento adicional en ese haz, incluso cuando se lanza con una incidencia normal, como se observa popularmente utilizando un cristal de calcita como se fotografía arriba. Al girar el cristal de calcita, una de las dos imágenes, la del rayo extraordinario, girará ligeramente alrededor de la del rayo ordinario, que permanece fijo. [ se necesita verificación ]
Cuando la luz se propaga a lo largo del eje óptico o de forma ortogonal al mismo, no se produce dicho desplazamiento lateral. En el primer caso, ambas polarizaciones son perpendiculares al eje óptico y ven el mismo índice de refracción efectivo, por lo que no hay ningún rayo extraordinario. En el segundo caso, el rayo extraordinario se propaga a una velocidad de fase diferente (correspondiente a n e ) pero aún tiene el flujo de energía en la dirección del vector de onda . Un cristal con su eje óptico en esta orientación, paralelo a la superficie óptica, puede usarse para crear una placa de ondas , en la que no hay distorsión de la imagen sino una modificación intencionada del estado de polarización de la onda incidente. Por ejemplo, una placa de un cuarto de onda se usa comúnmente para crear polarización circular a partir de una fuente polarizada linealmente.
El caso de los llamados cristales biaxiales es sustancialmente más complejo. [6] Estos se caracterizan por tres índices de refracción correspondientes a tres ejes principales del cristal. Para la mayoría de las direcciones de los rayos, ambas polarizaciones se clasificarían como rayos extraordinarios pero con diferentes índices de refracción efectivos. Al ser ondas extraordinarias, la dirección del flujo de energía no es idéntica a la dirección del vector de onda en ninguno de los casos.
Los dos índices de refracción se pueden determinar utilizando los elipsoides de índice para direcciones dadas de polarización. Tenga en cuenta que para cristales biaxiales el elipsoide índice no será un elipsoide de revolución (" esferoide ") sino que se describe mediante tres índices de refracción de principios desiguales n α , n β y n γ . Por tanto, no existe un eje alrededor del cual una rotación deje invariantes las propiedades ópticas (como ocurre con los cristales uniaxiales cuyo elipsoide índice es un esferoide).
Aunque no existe un eje de simetría, existen dos ejes ópticos o binormales que se definen como direcciones a lo largo de las cuales la luz puede propagarse sin birrefringencia, es decir, direcciones a lo largo de las cuales la longitud de onda es independiente de la polarización. [6] Por esta razón, los materiales birrefringentes con tres índices de refracción distintos se denominan biaxiales . Además, hay dos ejes distintos conocidos como ejes de rayos ópticos o biradiales a lo largo de los cuales la velocidad de grupo de la luz es independiente de la polarización.
Cuando un haz de luz arbitrario incide sobre la superficie de un material birrefringente con una incidencia no normal, el componente de polarización normal al eje óptico (rayo ordinario) y la otra polarización lineal (rayo extraordinario) se refractarán hacia trayectorias algo diferentes. La luz natural, la llamada luz no polarizada , se compone de cantidades iguales de energía en dos polarizaciones ortogonales cualesquiera. Incluso la luz polarizada linealmente tiene algo de energía en ambas polarizaciones, a menos que esté alineada a lo largo de uno de los dos ejes de birrefringencia. Según la ley de refracción de Snell , los dos ángulos de refracción están gobernados por el índice de refracción efectivo de cada una de estas dos polarizaciones. Esto se ve claramente, por ejemplo, en el prisma de Wollaston , que separa la luz entrante en dos polarizaciones lineales mediante prismas compuestos de un material birrefringente como la calcita .
Los diferentes ángulos de refracción para los dos componentes de polarización se muestran en la figura en la parte superior de esta página, con el eje óptico a lo largo de la superficie (y perpendicular al plano de incidencia ), de modo que el ángulo de refracción es diferente para los dos componentes de polarización. la polarización (el "rayo ordinario" en este caso, que tiene su vector eléctrico perpendicular al eje óptico) y la polarización s (el "rayo extraordinario" en este caso, cuyo campo eléctrico polarización incluye una componente en la dirección del eje óptico) . Además, se produce una forma distinta de doble refracción, incluso con incidencia normal, en los casos en que el eje óptico no está a lo largo de la superficie refractante (ni exactamente normal a ella); en este caso, la polarización dieléctrica del material birrefringente no está exactamente en la dirección del campo eléctrico de la onda del rayo extraordinario. La dirección del flujo de potencia (dada por el vector de Poynting ) para esta onda no homogénea forma un ángulo finito con respecto a la dirección del vector de onda, lo que resulta en una separación adicional entre estos haces. Entonces, incluso en el caso de incidencia normal, donde se calcularía el ángulo de refracción como cero (de acuerdo con la ley de Snell, independientemente del índice de refracción efectivo), la energía del rayo extraordinario se propaga en un ángulo. Si se sale del cristal por una cara paralela a la cara entrante, se restablecerá la dirección de ambos rayos, pero dejando un desplazamiento entre los dos haces. Esto se observa comúnmente usando un trozo de calcita cortado a lo largo de su división natural, colocado sobre un papel con escritura, como en las fotografías de arriba. Por el contrario, las placas onduladas tienen específicamente su eje óptico a lo largo de la superficie de la placa, de modo que con una incidencia (aproximadamente) normal no habrá cambio en la imagen de la luz de ninguna de las polarizaciones, simplemente un cambio de fase relativo entre las dos ondas de luz.
Gran parte del trabajo relacionado con la polarización precedió a la comprensión de la luz como una onda electromagnética transversal , y esto ha afectado parte de la terminología en uso. Los materiales isotrópicos tienen simetría en todas las direcciones y el índice de refracción es el mismo para cualquier dirección de polarización. Un material anisotrópico se llama "birrefringente" porque generalmente refracta un solo rayo entrante en dos direcciones, que ahora entendemos corresponden a las dos polarizaciones diferentes. Esto es cierto tanto para un material uniaxial como para un biaxial.
En un material uniaxial, un rayo se comporta de acuerdo con la ley normal de refracción (correspondiente al índice de refracción ordinario), por lo que un rayo entrante con incidencia normal permanece normal a la superficie refractiva. Como se explicó anteriormente, la otra polarización puede desviarse de la incidencia normal, lo que no puede describirse mediante la ley de refracción. Esto llegó a ser conocido como el rayo extraordinario . Los términos "ordinario" y "extraordinario" todavía se aplican a los componentes de polarización perpendiculares y no perpendiculares al eje óptico respectivamente, incluso en los casos en los que no se trata de doble refracción.
Un material se denomina uniaxial cuando tiene una única dirección de simetría en su comportamiento óptico, que denominamos eje óptico. También resulta ser el eje de simetría del elipsoide índice (un esferoide en este caso). El elipsoide índice aún podría describirse según los índices de refracción, n α , n β y n γ , a lo largo de tres ejes de coordenadas; en este caso dos son iguales. Entonces, si n α = n β correspondiente a los ejes x e y , entonces el índice extraordinario es n γ correspondiente al eje z , que también se denomina eje óptico en este caso.
Los materiales en los que los tres índices de refracción son diferentes se denominan biaxiales y el origen de este término es más complicado y con frecuencia se malinterpreta. En un cristal uniaxial, diferentes componentes de polarización de un haz viajarán a diferentes velocidades de fase, excepto los rayos en la dirección de lo que llamamos eje óptico. Así, el eje óptico tiene la propiedad particular de que los rayos en esa dirección no presentan birrefringencia, experimentando todas las polarizaciones en dicho haz el mismo índice de refracción. Es muy diferente cuando los tres índices de refracción principales son todos diferentes; entonces, un rayo entrante en cualquiera de esas direcciones principales seguirá encontrando dos índices de refracción diferentes. Pero resulta que hay dos direcciones especiales (en ángulo con los 3 ejes) donde los índices de refracción para diferentes polarizaciones son nuevamente iguales. Por esta razón, estos cristales fueron designados como biaxiales , refiriéndose los dos "ejes" en este caso a direcciones de rayos en las que la propagación no experimenta birrefringencia.
En un material birrefringente, una onda consta de dos componentes de polarización que generalmente se rigen por diferentes índices de refracción efectivos. El llamado rayo lento es el componente para el cual el material tiene mayor índice de refracción efectivo (velocidad de fase más lenta), mientras que el rayo rápido es el que tiene un índice de refracción efectivo menor. Cuando un haz incide sobre dicho material desde el aire (o cualquier material con un índice de refracción más bajo), el rayo lento se refracta más hacia la normal que el rayo rápido. En la figura de ejemplo en la parte superior de esta página, se puede ver que el rayo refractado con polarización s (con su vibración eléctrica a lo largo de la dirección del eje óptico, llamado así rayo extraordinario [7] ) es el rayo lento en un escenario dado.
Usando una losa delgada de ese material con incidencia normal, se implementaría una placa ondulada . En este caso, esencialmente no hay separación espacial entre las polarizaciones, la fase de la onda en la polarización paralela (el rayo lento) se retrasará con respecto a la polarización perpendicular. Por tanto, estas direcciones se conocen como eje lento y eje rápido de la placa de ondas.
La birrefringencia uniaxial se clasifica como positiva cuando el índice de refracción extraordinario n e es mayor que el índice ordinario n o . La birrefringencia negativa significa que Δ n = n e − n o es menor que cero. [8] En otras palabras, la polarización de la onda rápida (o lenta) es perpendicular al eje óptico cuando la birrefringencia del cristal es positiva (o negativa, respectivamente). En el caso de cristales biaxiales, los tres ejes principales tienen índices de refracción diferentes, por lo que esta designación no se aplica. Pero para cualquier dirección definida del rayo también se pueden designar las polarizaciones rápida y lenta del rayo.
Si bien la fuente más conocida de birrefringencia es la entrada de luz en un cristal anisotrópico, puede dar como resultado materiales ópticamente isotrópicos de varias maneras:
Los materiales birrefringentes mejor caracterizados son los cristales . Debido a sus estructuras cristalinas específicas , sus índices de refracción están bien definidos. Dependiendo de la simetría de una estructura cristalina (según lo determinado por uno de los 32 posibles grupos de puntos cristalográficos ), los cristales de ese grupo pueden verse obligados a ser isotrópicos (no birrefringentes), a tener simetría uniaxial o ninguna de las dos, en cuyo caso se trata de una cristal biaxial. Las estructuras cristalinas que permiten la birrefringencia uniaxial y biaxial se indican en las dos tablas siguientes, que enumeran los dos o tres índices de refracción principales (a una longitud de onda de 590 nm) de algunos cristales más conocidos. [9]
Además de la birrefringencia inducida mientras están bajo tensión, muchos plásticos obtienen birrefringencia permanente durante la fabricación debido a tensiones que quedan "congeladas" debido a las fuerzas mecánicas presentes cuando el plástico se moldea o extruye. [10] Por ejemplo, el celofán ordinario es birrefringente. Los polarizadores se utilizan habitualmente para detectar tensión, ya sea aplicada o congelada, en plásticos como el poliestireno y el policarbonato .
La fibra de algodón es birrefringente debido a los altos niveles de material celulósico en la pared celular secundaria de la fibra que está alineada direccionalmente con las fibras de algodón.
La microscopía de luz polarizada se usa comúnmente en tejidos biológicos, ya que muchos materiales biológicos son birrefringentes lineal o circularmente. El colágeno, que se encuentra en cartílagos, tendones, huesos, córneas y varias otras áreas del cuerpo, es birrefringente y comúnmente se estudia con microscopía de luz polarizada. [11] Algunas proteínas también son birrefringentes y exhiben birrefringencia de forma. [12]
Las inevitables imperfecciones de fabricación en la fibra óptica conducen a la birrefringencia, que es una de las causas del ensanchamiento del pulso en las comunicaciones de fibra óptica . Estas imperfecciones pueden ser geométricas (falta de simetría circular) o debidas a tensiones laterales desiguales aplicadas a la fibra óptica. La birrefringencia se introduce intencionadamente (por ejemplo, haciendo que la sección transversal sea elíptica) para producir fibras ópticas que mantengan la polarización . La birrefringencia se puede inducir (¡o corregir!) en las fibras ópticas doblándolas, lo que provoca anisotropía en la forma y tensión dado el eje alrededor del cual se dobla y el radio de curvatura.
Además de la anisotropía en la polarizabilidad eléctrica que hemos estado comentando, la anisotropía en la permeabilidad magnética podría ser una fuente de birrefringencia. En frecuencias ópticas, no existe una polarizabilidad magnética mensurable ( μ = μ 0 ) de los materiales naturales, por lo que esta no es una fuente real de birrefringencia.
La birrefringencia y otros efectos ópticos basados en la polarización (como la rotación óptica y el dicroísmo lineal o circular ) se pueden observar midiendo cualquier cambio en la polarización de la luz que pasa a través del material. Estas mediciones se conocen como polarimetría . Para visualizar la birrefringencia se utilizan microscopios de luz polarizada, que contienen dos polarizadores que están a 90° entre sí a cada lado de la muestra, ya que la luz que no ha sido afectada por la birrefringencia permanece en una polarización que es totalmente rechazada por el segundo polarizador. ("analizador"). La adición de placas de cuarto de onda permite el examen utilizando luz polarizada circularmente. La determinación del cambio en el estado de polarización utilizando un aparato de este tipo es la base de la elipsometría , mediante la cual se pueden medir las propiedades ópticas de las superficies especulares mediante la reflexión.
Se han realizado mediciones de birrefringencia con sistemas de fase modulada para examinar el comportamiento del flujo transitorio de los fluidos. [14] [15] La birrefringencia de las bicapas lipídicas se puede medir mediante interferometría de doble polarización . Esto proporciona una medida del grado de orden dentro de estas capas fluidas y de cómo este orden se altera cuando la capa interactúa con otras biomoléculas.
Para la medición 3D de la birrefringencia se puede utilizar una técnica basada en la tomografía holográfica [1].
La birrefringencia se utiliza en muchos dispositivos ópticos. Las pantallas de cristal líquido , el tipo más común de pantalla plana , hacen que sus píxeles se vuelvan más claros o más oscuros mediante la rotación de la polarización (birrefringencia circular) de la luz polarizada linealmente vista a través de una lámina polarizadora en la superficie de la pantalla. De manera similar, los moduladores de luz modulan la intensidad de la luz mediante birrefringencia inducida eléctricamente de luz polarizada seguida de un polarizador. El filtro Lyot es un filtro espectral de banda estrecha especializado que emplea la dependencia de la longitud de onda de la birrefringencia. Las placas de ondas son láminas birrefringentes delgadas que se utilizan ampliamente en ciertos equipos ópticos para modificar el estado de polarización de la luz que las atraviesa.
Para fabricar polarizadores con alta transmitancia se utilizan cristales birrefringentes en dispositivos como el prisma Glan-Thompson , el prisma Glan-Taylor y otras variantes. [16] También se pueden utilizar láminas de polímero birrefringente en capas para este propósito. [17]
La birrefringencia también juega un papel importante en la generación de segundos armónicos y otros componentes ópticos no lineales , ya que los cristales utilizados para este fin son casi siempre birrefringentes. Al ajustar el ángulo de incidencia, se puede ajustar el índice de refracción efectivo del rayo extraordinario para lograr la coincidencia de fases , que es necesaria para el funcionamiento eficiente de estos dispositivos.
La birrefringencia se utiliza en el diagnóstico médico. Un poderoso accesorio que se utiliza con los microscopios ópticos es un par de filtros polarizadores cruzados . La luz de la fuente se polariza en la dirección x después de pasar por el primer polarizador, pero encima de la muestra hay un polarizador (el llamado analizador ) orientado en la dirección y . Por lo tanto, el analizador no aceptará ninguna luz de la fuente y el campo aparecerá oscuro. Las áreas de la muestra que poseen birrefringencia generalmente acoplarán parte de la luz polarizada x en la polarización y ; Estas áreas aparecerán brillantes sobre el fondo oscuro. Las modificaciones a este principio básico pueden diferenciar entre birrefringencia positiva y negativa.
Por ejemplo, la aspiración con aguja de líquido de una articulación gotosa revelará cristales de urato monosódico birrefringentes negativamente . Los cristales de pirofosfato de calcio , por el contrario, muestran una birrefringencia positiva débil. [19] Los cristales de urato aparecen amarillos y los cristales de pirofosfato de calcio aparecen azules cuando sus ejes largos se alinean paralelos al de un filtro compensador rojo, [20] o se agrega un cristal de birrefringencia conocida a la muestra para comparar.
La birrefringencia del tejido dentro de un muslo humano vivo se midió mediante tomografía de coherencia óptica sensible a la polarización a 1310 nm y una fibra monomodo en una aguja. La birrefringencia del músculo esquelético fue Δn = 1,79 × 10 −3 ± 0,18×10 −3 , adiposa Δn = 0,07 × 10 −3 ± 0,50 × 10 −3 , aponeurosis superficial Δn = 5,08 × 10 −3 ± 0,73 × 10 −3 e intersticial tejido Δn = 0,65 × 10 −3 ±0,39 × 10 −3 . [21] Estas mediciones pueden ser importantes para el desarrollo de un método menos invasivo para diagnosticar la distrofia muscular de Duchenne .
La birrefringencia se puede observar en placas amiloides como las que se encuentran en el cerebro de los pacientes con Alzheimer cuando se tiñen con un tinte como el rojo Congo. Las proteínas modificadas, como las cadenas ligeras de inmunoglobulinas , se acumulan de forma anormal entre las células y forman fibrillas. Múltiples pliegues de estas fibras se alinean y adoptan una conformación de lámina plegada beta . El tinte rojo Congo se intercala entre los pliegues y, cuando se observa bajo luz polarizada, provoca birrefringencia.
En oftalmología , la detección binocular de birrefringencia retiniana de las fibras de Henle (axones fotorreceptores que van radialmente hacia afuera desde la fóvea) proporciona una detección confiable del estrabismo y posiblemente también de la ambliopía anisometrópica . [22] En sujetos sanos, el retardo máximo inducido por la capa de fibras de Henle es de aproximadamente 22 grados a 840 nm. [23] Además, la polarimetría láser de barrido utiliza la birrefringencia de la capa de fibras del nervio óptico para cuantificar indirectamente su espesor, lo que es útil en la evaluación y seguimiento del glaucoma . Las mediciones de tomografía de coherencia óptica sensible a la polarización obtenidas de sujetos humanos sanos han demostrado un cambio en la birrefringencia de la capa de fibras nerviosas de la retina en función de su ubicación alrededor de la cabeza del nervio óptico. [24] La misma tecnología se aplicó recientemente en la retina humana viva para cuantificar las propiedades de polarización de las paredes de los vasos cerca del nervio óptico. [25] Mientras que las paredes de los vasos retinianos se vuelven más gruesas y menos birrefringentes en pacientes que sufren de hipertensión, [26] insinuando una disminución en la condición de la pared de los vasos, las paredes de los vasos de los pacientes diabéticos no experimentan un cambio en el grosor, pero sí ven un aumento. en birrefringencia, [27] presumiblemente debido a fibrosis o inflamación.
Las características de birrefringencia en las cabezas de los espermatozoides permiten la selección de espermatozoides para la inyección intracitoplasmática de espermatozoides . [28] Asimismo, las imágenes de zona utilizan la birrefringencia en los ovocitos para seleccionar los que tienen mayores posibilidades de embarazo exitoso. [29] La birrefringencia de partículas obtenidas con biopsia de nódulos pulmonares indica silicosis .
Los dermatólogos utilizan dermatoscopios para observar las lesiones de la piel. Los dermatoscopios utilizan luz polarizada, lo que permite al usuario ver estructuras cristalinas correspondientes al colágeno dérmico de la piel. Estas estructuras pueden aparecer como líneas blancas brillantes o en forma de roseta y sólo son visibles bajo dermatoscopia polarizada .
Los sólidos isotrópicos no presentan birrefringencia. Cuando están bajo estrés mecánico , se produce birrefringencia. La tensión se puede aplicar externamente o se "congela" después de que un artículo de plástico birrefringente se enfríe después de fabricarlo mediante moldeo por inyección . Cuando una muestra de este tipo se coloca entre dos polarizadores cruzados, se pueden observar patrones de color, porque la polarización de un rayo de luz gira después de pasar a través de un material birrefringente y la cantidad de rotación depende de la longitud de onda. El método experimental llamado fotoelasticidad utilizado para analizar la distribución de tensiones en sólidos se basa en el mismo principio. Se han realizado investigaciones recientes sobre el uso de birrefringencia inducida por tensión en una placa de vidrio para generar un vórtice óptico y haces de Poincaré completos (haces ópticos que tienen todos los estados de polarización posibles en una sección transversal). [30]
La birrefringencia se observa en materiales elásticos anisotrópicos . En estos materiales, las dos polarizaciones se dividen según sus índices de refracción efectivos, que también son sensibles a las tensiones.
El estudio de la birrefringencia en ondas de corte que viajan a través de la Tierra sólida (el núcleo líquido de la Tierra no soporta ondas de corte) es muy utilizado en sismología . [ cita necesaria ]
La birrefringencia se utiliza ampliamente en mineralogía para identificar rocas, minerales y piedras preciosas. [ cita necesaria ]
En un medio isotrópico (incluido el espacio libre), el llamado desplazamiento eléctrico ( D ) es simplemente proporcional al campo eléctrico ( E ) según D = ɛ E donde la permitividad del material ε es solo un escalar (e igual a n 2 ε 0 donde n es el índice de refracción ). En un material anisotrópico que exhibe birrefringencia, la relación entre D y E ahora debe describirse usando una ecuación tensorial :
donde ε es ahora un tensor de permitividad de 3 × 3. Asumimos linealidad y ausencia de permeabilidad magnética en el medio: μ = μ 0 . El campo eléctrico de una onda plana de frecuencia angular ω se puede escribir en la forma general:
donde r es el vector de posición, t es el tiempo y E 0 es un vector que describe el campo eléctrico en r = 0 , t = 0 . Entonces encontraremos los posibles vectores de onda k . Combinando las ecuaciones de Maxwell para ∇ × E y ∇ × H , podemos eliminar H =1/µ 0B para obtener:
Sin cargos gratuitos, la ecuación de Maxwell para la divergencia de D desaparece:
Podemos aplicar la identidad vectorial ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A al lado izquierdo de la ecuación. 3a , y utilice la dependencia espacial en la que cada diferenciación en x (por ejemplo) da como resultado la multiplicación por ik x para encontrar:
El lado derecho de la ecuación. 3a se puede expresar en términos de E mediante la aplicación del tensor de permitividad ε y observando que la diferenciación en el tiempo da como resultado la multiplicación por − iω , eq. 3a entonces se convierte en:
Aplicando la regla de diferenciación a la ecuación. 3b encontramos:
Ec. 4b indica que D es ortogonal a la dirección del vector de onda k , aunque eso ya no es cierto en general para E como sería el caso en un medio isotrópico. Ec. 4b no será necesario para los pasos posteriores en la siguiente derivación.
Encontrar los valores permitidos de k para un ω dado es más fácil usando coordenadas cartesianas con los ejes x , y y z elegidos en las direcciones de los ejes de simetría del cristal (o simplemente eligiendo z en la dirección del eje óptico de un cristal uniaxial), dando como resultado una matriz diagonal para el tensor de permitividad ε :
donde los valores de las diagonales son cuadrados de los índices de refracción de las polarizaciones a lo largo de los tres ejes principales x , y y z . Con ε en esta forma, y sustituyendo en la velocidad de la luz c usando c 2 =1/μ 0 ε 0, la componente x de la ecuación vectorial eq. 4a se convierte
donde E x , E y , E z son los componentes de E (en cualquier posición dada en el espacio y el tiempo) y k x , k y , k z son los componentes de k . Reordenando, podemos escribir (y de manera similar para los componentes y y z de la ecuación 4a )
Este es un conjunto de ecuaciones lineales en E x , E y , E z , por lo que puede tener una solución no trivial (es decir, otra distinta de E = 0 ) siempre que el siguiente determinante sea cero:
Evaluando el determinante de la ec. 6 , y reordenando los términos según las potencias de , los términos constantes se cancelan. Después de eliminar el factor común de los términos restantes, obtenemos
En el caso de un material uniaxial, al elegir el eje óptico en la dirección z de modo que n x = n y = n o y n z = n e , esta expresión se puede factorizar en
Estableciendo cualquiera de los factores en la ecuación. 8 a cero definirá una superficie elipsoidal [nota 1] en el espacio de vectores de onda k que están permitidos para un ω dado . El primer factor que es cero define una esfera; ésta es la solución para los llamados rayos ordinarios, en los que el índice de refracción efectivo es exactamente n o independientemente de la dirección de k . El segundo define un esferoide simétrico con respecto al eje z . Esta solución corresponde a los llamados rayos extraordinarios en los que el índice de refracción efectivo está entre n o y n e , dependiendo de la dirección de k . Por lo tanto, para cualquier dirección de propagación arbitraria (que no sea la dirección del eje óptico), se permiten dos vectores de onda k distintos correspondientes a las polarizaciones de los rayos ordinarios y extraordinarios.
Para un material biaxial se puede describir una condición similar pero más complicada en las dos ondas; [31] el lugar geométrico de k vectores permitidos (la superficie del vector de onda ) es una superficie de dos láminas de cuarto grado, de modo que en una dirección dada generalmente hay dos k vectores permitidos (y sus opuestos). [32] Por inspección se puede ver que la ecuación. 6 generalmente se cumple para dos valores positivos de ω . O, para una frecuencia óptica específica ω y dirección normal a los frentes de ondak/| k |, se satisface para dos números de onda (o constantes de propagación) | k | (y por tanto índices de refracción efectivos) correspondientes a la propagación de dos polarizaciones lineales en esa dirección.
Cuando esas dos constantes de propagación son iguales, entonces el índice de refracción efectivo es independiente de la polarización y, en consecuencia, una onda que viaja en esa dirección particular no encuentra birrefringencia. Para un cristal uniaxial, este es el eje óptico, la dirección ± z según la construcción anterior. Pero cuando los tres índices de refracción (o permitividades), n x , n y y n z son distintos, se puede demostrar que existen exactamente dos de esas direcciones, donde se tocan las dos láminas de la superficie del vector de onda; [32] estas direcciones no son nada obvias y no se encuentran a lo largo de ninguno de los tres ejes principales ( x , y , z según la convención anterior). Históricamente, eso explica el uso del término "biaxial" para tales cristales, ya que la existencia de exactamente dos direcciones especiales (consideradas "ejes") se descubrió mucho antes de que se entendieran físicamente la polarización y la birrefringencia. Estas dos direcciones especiales no suelen ser de particular interés; Los cristales biaxiales se especifican más bien por sus tres índices de refracción correspondientes a los tres ejes de simetría.
Un estado general de polarización lanzado al medio siempre se puede descomponer en dos ondas, una en cada una de esas dos polarizaciones, que luego se propagarán con diferentes números de onda | k | . Aplicar la fase diferente de propagación a esas dos ondas a lo largo de una distancia de propagación específica dará como resultado un estado de polarización neta generalmente diferente en ese punto; Éste es , por ejemplo, el principio de la placa ondulada . Con una placa de ondas, no hay desplazamiento espacial entre los dos rayos ya que sus k vectores todavía están en la misma dirección. Esto es cierto cuando cada una de las dos polarizaciones es normal al eje óptico (el rayo ordinario) o paralela a él (el rayo extraordinario).
En el caso más general, hay una diferencia no sólo en la magnitud sino también en la dirección de los dos rayos. Por ejemplo, la fotografía a través de un cristal de calcita (parte superior de la página) muestra una imagen desplazada en las dos polarizaciones; esto se debe a que el eje óptico no es paralelo ni normal a la superficie del cristal. E incluso cuando el eje óptico sea paralelo a la superficie, esto ocurrirá en el caso de ondas lanzadas con una incidencia anormal (como se muestra en la figura explicativa). En estos casos, los dos k vectores se pueden encontrar resolviendo la ecuación. 6 está restringido por la condición de contorno que requiere que los componentes de los vectores k de las dos ondas transmitidas y el vector k de la onda incidente, proyectados sobre la superficie de la interfaz, deben ser todos idénticos. Para un cristal uniaxial se encontrará que no hay un desplazamiento espacial para el rayo ordinario (de ahí su nombre) que se refractará como si el material fuera no birrefringente con un índice igual al de los dos ejes que no son el eje óptico. . Para un cristal biaxial, ningún rayo se considera "ordinario" ni generalmente se refractaría según un índice de refracción igual a uno de los ejes principales.
