James W. Cannon (nacido el 30 de enero de 1943) es un matemático estadounidense que trabaja en las áreas de topología de baja dimensión y teoría de grupos geométricos . Fue profesor Orson Pratt de Matemáticas en la Universidad Brigham Young .
James W. Cannon nació el 30 de enero de 1943 en Bellefonte , Pensilvania . [1] Cannon recibió un doctorado. en Matemáticas de la Universidad de Utah en 1969, bajo la dirección de C. Edmund Burgess.
Fue profesor en la Universidad de Wisconsin, Madison de 1977 a 1985. [1] En 1986, Cannon fue nombrado profesor Orson Pratt de Matemáticas en la Universidad Brigham Young . [2] Ocupó este cargo hasta su jubilación en septiembre de 2012. [3]
Cannon pronunció un discurso invitado por la AMS en la reunión de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas en Seattle en agosto de 1977, un discurso invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos en Helsinki en 1978 y pronunció las Conferencias Hedrick de la Asociación Matemática de América en 1982 en Toronto , Canadá. [1] [4]
Cannon fue elegido miembro del Consejo de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas en 2003 con un período de servicio del 1 de febrero de 2004 al 31 de enero de 2007. [2] [5] En 2012 se convirtió en miembro de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas . [6]
En 1993, Cannon pronunció la trigésima conferencia anual de profesores distinguidos Karl G. Maeser en la Universidad Brigham Young . [7]
James Cannon es un miembro devoto de la Iglesia de Jesucristo de los Santos de los Últimos Días . [8]
Los primeros trabajos de Cannon se referían a los aspectos topológicos de las superficies incrustadas en R 3 y a la comprensión de la diferencia entre superficies "dóciles" y "salvajes".
Su primer resultado famoso se produjo a finales de la década de 1970, cuando Cannon dio una solución completa a un antiguo problema de "doble suspensión" planteado por John Milnor . Cannon demostró que la doble suspensión de una esfera de homología es una esfera topológica. [9] [10] RD Edwards ya había demostrado esto en muchos casos.
Cannon, Bryant y Lacher utilizaron los resultados del artículo de Cannon [10] para demostrar (1979) [11] un caso importante de la llamada conjetura de caracterización de variedades topológicas. La conjetura dice que una variedad n generalizada , donde , que satisface la "propiedad del disco disjunto" es una variedad topológica. Cannon, Bryant y Lacher establecieron [11] que la conjetura se cumple bajo el supuesto de que sea una variedad excepto posiblemente en un conjunto de dimensiones . Más tarde, Frank Quinn [12] completó la prueba de que la conjetura de caracterización se cumple incluso si existe un solo punto múltiple. En general, la conjetura es falsa como lo demostraron John Bryant, Steven Ferry, Washington Mio y Shmuel Weinberger . [13]
En la década de 1980, el foco del trabajo de Cannon se desplazó hacia el estudio de las 3 variedades , la geometría hiperbólica y los grupos kleinianos y se le considera una de las figuras clave en el nacimiento de la teoría geométrica de grupos como un tema distinto a finales de la década de 1980 y principios de la de 1990. El artículo de Cannon de 1984 "La estructura combinatoria de grupos hiperbólicos discretos cocompactos" [14] fue uno de los precursores en el desarrollo de la teoría de los grupos hiperbólicos de palabras , una noción que se introdujo y desarrolló tres años más tarde en una monografía fundamental de 1987 de Mikhail Grómov . [15] El artículo de Cannon exploró aspectos combinatorios y algorítmicos de los gráficos de Cayley de grupos kleinianos y los relacionó con las características geométricas de las acciones de estos grupos en el espacio hiperbólico . En particular, Cannon demostró que los grupos kleinianos convexos-cocompactos admiten presentaciones finitas donde el algoritmo de Dehn resuelve el problema verbal . Más tarde resultó que esta última condición daba una caracterización equivalente de ser palabra hiperbólica y, además, la prueba original de Cannon esencialmente se realizó sin cambios para mostrar que el problema de palabras en grupos de palabras hiperbólicas se puede resolver mediante el algoritmo de Dehn. [16] El artículo de Cannon de 1984 [14] también introdujo una noción importante: un tipo de cono de un elemento de un grupo finitamente generado (aproximadamente, el conjunto de todas las extensiones geodésicas de un elemento). Cannon demostró que un grupo kleiniano convexo-cocompacto tiene sólo un número finito de tipos de conos (con respecto a un conjunto generador finito fijo de ese grupo) y mostró cómo utilizar este hecho para concluir que la serie de crecimiento del grupo es una función racional . Estos argumentos también resultaron generalizarse al contexto del grupo de palabras hiperbólicas . [15] Ahora, las pruebas estándar [17] del hecho de que el conjunto de palabras geodésicas en un grupo hiperbólico de palabras es un lenguaje regular también utilizan la finitud del número de tipos de conos.
El trabajo de Cannon también introdujo una noción importante de casi convexidad para los gráficos de Cayley de grupos finitamente generados , [18] una noción que condujo a importantes estudios y generalizaciones adicionales. [19] [20] [21]
Un influyente artículo de Cannon y William Thurston "Curvas de Peano invariantes del grupo", [22] que circuló por primera vez en forma preimpresa a mediados de la década de 1980, [23] introdujo la noción de lo que ahora se llama mapa de Cannon-Thurston . Consideraron el caso de una variedad hiperbólica cerrada de 3 M que se fibra sobre el círculo siendo la fibra una superficie hiperbólica cerrada S. En este caso la cobertura universal de S , que se identifica con el plano hiperbólico , admite una incrustación en la cobertura universal de M , que es el 3-espacio hiperbólico . Cannon y Thurston demostraron que esta incrustación se extiende a un mapa sobreyectivo equivalente a π 1 ( S ) continuo (ahora llamado mapa de Cannon-Thurston ) desde el límite ideal del plano hiperbólico (el círculo) hasta el límite ideal del plano hiperbólico 3- espacio (las 2 esferas ). Aunque el artículo de Cannon y Thurston finalmente no se publicó hasta 2007, entretanto ha generado considerables investigaciones adicionales y una serie de generalizaciones significativas (tanto en el contexto de los grupos kleinianos como de los grupos hiperbólicos de palabras), incluido el trabajo de Mahan . Mitra , [24] [25] Erica Klarreich, [26] Brian Bowditch [27] y otros.
Cannon fue uno de los coautores del libro de 1992 Procesamiento de textos en grupos [17] que introdujo, formalizó y desarrolló la teoría de los grupos automáticos . La teoría de grupos automáticos aportó nuevas ideas computacionales desde la informática a la teoría de grupos geométricos y jugó un papel importante en el desarrollo del tema en la década de 1990.
Un artículo de Cannon de 1994 demostró el " teorema combinatorio de mapeo de Riemann " [28] que fue motivado por el clásico teorema de mapeo de Riemann en análisis complejos . El objetivo era comprender cuándo una acción de un grupo por homeomorfismos en una 2-esfera es (hasta una conjugación topológica) una acción en la esfera de Riemann estándar por transformaciones de Möbius . El "teorema de mapeo combinatorio de Riemann" de Cannon dio un conjunto de condiciones suficientes cuando una secuencia de subdivisiones combinatorias cada vez más finas de una superficie topológica determina, en el sentido apropiado y después de pasar al límite, una estructura conforme real en esa superficie. Este artículo de Cannon condujo a una conjetura importante, formulada explícitamente por primera vez por Cannon y Swenson en 1998 [29] (pero también sugerida de forma implícita en la Sección 8 del artículo de Cannon de 1994) y ahora conocida como la conjetura de Cannon , con respecto a la caracterización de grupos hiperbólicos de palabras. con las 2 esferas como límite. La conjetura (Conjetura 5.1 en [29] ) establece que si el límite ideal de un grupo hiperbólico de palabras G es homeomorfo a la 2-esfera , entonces G admite una acción isométrica cocompacta adecuadamente discontinua en el espacio 3 hiperbólico (de modo que G es esencialmente un grupo kleiniano tridimensional ). En términos analíticos, la conjetura de Cannon equivale a decir que si el límite ideal de un grupo hiperbólico de palabras G es homeomorfo con respecto a la 2 esferas, entonces este límite, con la métrica visual proveniente del gráfico de Cayley de G , es cuasisimétrico con respecto al estándar 2. -esfera.
El artículo de 1998 de Cannon y Swenson [29] dio un enfoque inicial a esta conjetura al demostrar que la conjetura se cumple bajo el supuesto adicional de que la familia de "discos" estándar en el límite del grupo satisface una propiedad combinatoria "conforme". El resultado principal del artículo de Cannon de 1994 [28] jugó un papel clave en la prueba. Este enfoque de la conjetura de Cannon y los problemas relacionados se impulsó más adelante en el trabajo conjunto de Cannon, Floyd y Parry. [30] [31] [32]
La conjetura de Cannon motivó gran parte del trabajo posterior de otros matemáticos y en un grado sustancial informó la interacción posterior entre la teoría de grupos geométricos y la teoría del análisis de espacios métricos. [33] [34] [35] [36] [37] [38] La conjetura de Cannon fue motivada (ver [29] ) por la conjetura de geometrización de Thurston y al tratar de comprender por qué en la dimensión tres la curvatura negativa variable puede promoverse a una curvatura negativa constante. curvatura. Aunque Perelman resolvió recientemente la conjetura de la geometrización , la conjetura de Cannon sigue estando abierta y se considera uno de los problemas abiertos clave y destacados en la teoría de grupos geométricos y la topología geométrica .
Las ideas de geometría conforme combinatoria que subyacen a la prueba de Cannon del "teorema de mapeo combinatorio de Riemann", [28] fueron aplicadas por Cannon, Floyd y Parry (2000) al estudio de patrones de crecimiento a gran escala de organismos biológicos. [39] Cannon, Floyd y Parry produjeron un modelo de crecimiento matemático que demostró que algunos sistemas determinados por reglas de subdivisión finitas simples pueden dar como resultado objetos (en su ejemplo, el tronco de un árbol) cuya forma a gran escala oscila violentamente con el tiempo a pesar de que el Las leyes de subdivisión siguen siendo las mismas. [39] Cannon, Floyd y Parry también aplicaron su modelo al análisis de los patrones de crecimiento del tejido de rata. [39] Sugirieron que la naturaleza "curvada negativamente" (o no euclidiana) de los patrones de crecimiento microscópicos de los organismos biológicos es una de las razones clave por las que los organismos a gran escala no parecen cristales o formas poliédricas, sino que, de hecho, en muchos casos se parecen a fractales autosemejantes . [39] En particular, sugirieron (ver sección 3.4 de [39] ) que dicha estructura local "curvada negativamente" se manifiesta en la naturaleza altamente plegada y altamente conectada del cerebro y el tejido pulmonar.
