Teoría de la pequeña cancelación

En la disciplina matemática de la teoría de grupos , la teoría de pequeñas cancelaciones estudia los grupos dados por presentaciones grupales que satisfacen condiciones de pequeñas cancelaciones , es decir, donde las relaciones definitorias tienen "pequeñas superposiciones" entre sí. Las condiciones de pequeñas cancelaciones implican propiedades algebraicas, geométricas y algorítmicas del grupo. Los grupos finitos presentados que satisfacen condiciones de pequeñas cancelaciones suficientemente fuertes son hiperbólicos verbales y tienen problemas verbales que se pueden resolver mediante el algoritmo de Dehn . Los métodos de pequeñas cancelaciones también se utilizan para construir monstruos de Tarski y para soluciones del problema de Burnside .

Historia

Algunas ideas que sustentan la teoría de la pequeña cancelación se remontan al trabajo de Max Dehn en la década de 1910. ^[1] Dehn demostró que los grupos fundamentales de superficies orientables cerradas de género al menos dos tienen un problema verbal solucionable mediante lo que ahora se denomina algoritmo de Dehn . Su prueba implicó dibujar el gráfico de Cayley de dicho grupo en el plano hiperbólico y realizar estimaciones de curvatura mediante el teorema de Gauss-Bonnet para un bucle cerrado en el gráfico de Cayley para concluir que dicho bucle debe contener una gran parte (más de la mitad) de una relación definitoria.

Un artículo de 1949 de Tartakovskii ^[2] fue un precursor inmediato de la teoría de cancelaciones pequeñas: este artículo proporcionó una solución del problema verbal para una clase de grupos que satisfacen un conjunto complicado de condiciones combinatorias, donde los supuestos de tipo de cancelación pequeña desempeñaron un papel clave. La versión estándar de la teoría de cancelaciones pequeñas, tal como se usa hoy, fue desarrollada por Martin Greendlinger en una serie de artículos a principios de la década de 1960, ^{[3] [4] [5]} quien se ocupó principalmente de las condiciones de cancelación pequeña "métricas". En particular, Greendlinger demostró que los grupos finitamente presentados que satisfacen la condición de cancelación pequeña C ′(1/6) tienen un problema verbal solucionable por el algoritmo de Dehn. La teoría se refinó y formalizó aún más en el trabajo posterior de Lyndon, ^[6] Schupp ^[7] y Lyndon-Schupp, ^[8] quienes también trataron el caso de condiciones de cancelación pequeña no métricas y desarrollaron una versión de la teoría de cancelación pequeña para productos libres amalgamados y extensiones HNN .

La teoría de la cancelación pequeña fue generalizada por Alexander Ol'shanskii, quien desarrolló ^[9] una versión "graduada" de la teoría en la que el conjunto de relaciones definitorias viene equipado con un filtro y en la que se permite que un relacionista definitorio de un grado particular tenga una gran superposición con un relacionista definitorio de un grado superior. Olshaskii utilizó la teoría de la cancelación pequeña graduada para construir varios grupos "monstruosos", incluido el monstruo de Tarski ^[10] y también para dar una nueva prueba ^[11] de que los grupos de Burnside libres de gran exponente impar son infinitos (este resultado fue demostrado originalmente por Adian y Novikov en 1968 utilizando métodos más combinatorios). ^{[12] [13] [14]}

La teoría de pequeñas cancelaciones proporcionó un conjunto básico de ejemplos e ideas para la teoría de los grupos hiperbólicos de palabras que Gromov presentó en una monografía seminal de 1987 "Grupos hiperbólicos". ^[15]

Definiciones principales

La exposición que sigue a continuación sigue en gran medida el capítulo V del libro de Lyndon y Schupp. ^[8]

Piezas

Dejar

${\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle \qquad (*)}$

sea ​​una presentación de grupo donde R  ⊆  F ( X ) es un conjunto de palabras libremente reducidas y cíclicamente reducidas en el grupo libre F ( X ) tal que R está simetrizado , es decir, cerrado bajo la adopción de permutaciones cíclicas e inversas.

Una palabra libremente reducida no trivial u en F ( X ) se llama pieza con respecto a (∗) si existen dos elementos distintos r ₁ , r ₂ en R que tienen u como segmento inicial común máximo.

Nótese que si es una presentación de grupo donde el conjunto de relatadores definitorios S no está simetrizado, siempre podemos tomar el cierre simetrizado R de S , donde R consiste en todas las permutaciones cíclicas de elementos de S y S ⁻¹ . Entonces R está simetrizado y también es una presentación de G . ${\displaystyle G=\langle X\mid S\rangle }$ ${\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle }$

Condiciones de cancelación métricas pequeñas

Sea 0 <  λ  < 1. Se dice que la presentación (∗) como la anterior satisface la condición de cancelación pequeña C ′( λ ) si siempre que u es una pieza con respecto a (∗) y u es una subpalabra de algún r  ∈  R , entonces | u | <  λ | r |. Aquí | v | es la longitud de una palabra v .

La condición C ′( λ ) a veces se denomina condición de cancelación métrica pequeña .

Condiciones de cancelación pequeñas no métricas

Sea p  ≥ 3 un entero. Se dice que una presentación de grupo (∗) como la anterior satisface la condición de cancelación pequeña C ( p ) si siempre que r  ∈  R y

${\displaystyle r=u_{1}\dots u_{m}}$

donde u _i son piezas y donde el producto anterior se reduce libremente como está escrito, entonces m  ≥  p . Es decir, ningún relator definitorio puede escribirse como un producto reducido de menos de p piezas.

Sea q  ≥ 3 un entero. Se dice que una presentación de grupo (∗) como la anterior satisface la condición de cancelación pequeña T( q ) si siempre que 3 ≤ t <  q y r ₁ ,..., r _t en R son tales que r ₁  ≠  r ₂ ⁻¹ ,..., r _t  ≠  r ₁ ⁻¹ entonces al menos uno de los productos r ₁ r ₂ ,..., r _t−1 r _t , r _t r ₁ se reduce libremente como se escribe.

Geométricamente, la condición T( q ) significa esencialmente que si D es un diagrama de van Kampen reducido sobre (∗) entonces cada vértice interior de D de grado al menos tres en realidad tiene grado al menos q .

Ejemplos

• Sea la presentación estándar del grupo abeliano libre de rango dos. Entonces, para el cierre simetrizado de esta presentación, las únicas piezas son palabras de longitud 1. Esta forma simetrizada satisface las condiciones de cancelación pequeña C(4)–T(4) y la condición C ′( λ ) para cualquier 1 >  λ  > 1/4. ${\displaystyle G=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$
• Sea , donde k  ≥ 2, la presentación estándar del grupo fundamental de una superficie orientable cerrada de género k . Entonces, para la simetrización de esta presentación, las únicas piezas son palabras de longitud 1 y esta simetrización satisface las condiciones de cancelación pequeña C ′(1/7) y C(8). ${\displaystyle G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k}\mid [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{k},b_{k}]\rangle }$
• Sea . Entonces, hasta la inversión, cada pieza de la versión simetrizada de esta presentación, tiene la forma b ⁱ ab ^j o b ⁱ , donde 0 ≤  i , j  ≤ 100. Esta simetrización satisface la condición de cancelación pequeña C ′(1/20). ${\displaystyle G=\langle a,b\mid abab^{2}ab^{3}\dots ab^{100}\rangle }$
• Si una presentación simetrizada satisface la condición C ′(1/ m ), entonces también satisface la condición C( m ).
• Sea r  ∈  F ( X ) una palabra cíclicamente reducida no trivial que no es una potencia propia en F ( X ) y sea n  ≥ 2. Entonces el cierre simetrizado de la presentación satisface las condiciones de cancelación pequeña C(2 n ) ^[16] y C ′(1/ n ). ${\displaystyle G=\langle X\mid r^{n}\rangle }$

Resultados básicos de la teoría de pequeñas cancelaciones

Lema de Greendlinger

El resultado principal con respecto a la condición de cancelación métrica pequeña es la siguiente afirmación (ver Teorema 4.4 en el Cap. V de ^[8] ) que usualmente se denomina

Lema de Greendlinger : Sea (∗) una presentación de grupo como la anterior que satisface la condición de cancelación pequeña  C ′( λ ) donde 0 ≤ λ  ≤ 1/6. Sea w  ∈  F ( X ) una palabra libremente reducida no trivial tal que w  = 1 en G . Entonces hay una subpalabra v de w y un relator definitorio r  ∈  R tal que v es también una subpalabra de r y tal que

${\displaystyle \left|v\right|>\left(1-3\lambda \right)\left|r\right|}$

Nótese que la suposición λ  ≤ 1/6 implica que (1 − 3 λ ) ≥ 1/2, de modo que w contiene una subpalabra más de la mitad de algún relator definitorio.

El lema de Greendlinger se obtiene como corolario del siguiente enunciado geométrico:

Bajo los supuestos del lema de Greendlinger, sea D un diagrama de van Kampen reducido sobre (∗) con una etiqueta de contorno cíclicamente reducida tal que D contiene al menos dos regiones. Entonces existen dos regiones distintas D ₁ y D ₂ en D tales que para j  = 1,2 la región D _j interseca el ciclo de contorno ∂ D de D en un arco simple cuya longitud es mayor que (1 − 3 λ )|∂ D _j |.

Este resultado se demuestra a su vez considerando un diagrama dual para D . Allí se define una noción combinatoria de curvatura (que, por los supuestos de cancelación pequeña, es negativa en cada vértice interior), y luego se obtiene una versión combinatoria del teorema de Gauss-Bonnet . El lema de Greendlinger se demuestra como consecuencia de este análisis y de esta manera la prueba evoca las ideas de la prueba original de Dehn para el caso de grupos de superficies.

Algoritmo de Dehn

Para cualquier presentación de grupo simetrizado (∗), el siguiente procedimiento abstracto se denomina algoritmo de Dehn :

• Dada una palabra libremente reducida w en X ^±1 , construya una secuencia de palabras libremente reducidas w  =  w ₀ , w ₁ , w ₂ ,..., como sigue.
• Supongamos que w _j ya está construido. Si es la palabra vacía, finalice el algoritmo. De lo contrario, verifique si w _j contiene una subpalabra v tal que v también sea una subpalabra de algún relator definitorio r  =  vu  ∈  R tal que | v | > | r |/2. Si no, finalice el algoritmo con la salida w _j . Si es así, reemplace v por u ⁻¹ en w _j , luego reduzca libremente, denote la palabra reducida libremente resultante por w _{j +1} y vaya al siguiente paso del algoritmo.

Tenga en cuenta que siempre tenemos

| w ₀ | > | w ₁ | > | w ₂ | >...

lo que implica que el proceso debe terminar en, como máximo, | w | pasos. Además, todas las palabras w _j representan el mismo elemento de G que w y, por lo tanto, si el proceso termina con la palabra vacía, entonces w representa el elemento identidad de G .

Se dice que para una presentación simetrizada (∗) el algoritmo de Dehn resuelve el problema de la palabra en G si el recíproco también es cierto, es decir, si para cualquier palabra libremente reducida w en F ( X ) esta palabra representa el elemento identidad de G si y sólo si el algoritmo de Dehn, comenzando desde w , termina en la palabra vacía.

El lema de Greendlinger implica que para una presentación C ′(1/6) el algoritmo de Dehn resuelve el problema verbal.

Si una presentación C ′(1/6) (∗) es finita (es decir, tanto X como R son finitos), entonces el algoritmo de Dehn es un algoritmo no determinista en el sentido de la teoría de la recursión . Sin embargo, incluso si (∗) es una presentación C ′(1/6) infinita, el algoritmo de Dehn, entendido como un procedimiento abstracto, aún decide correctamente si una palabra en los generadores X ^±1 representa o no el elemento identidad de G.

Asfericidad

Sea (∗) una presentación C ′(1/6) o, más generalmente, C(6) donde cada r  ∈  R no es una potencia propia en F ( X ), entonces G es asférico en el siguiente sentido. Considérese un subconjunto mínimo S de R tal que el cierre simetrizado de S es igual a R . Por lo tanto, si r y s son elementos distintos de S , entonces r no es una permutación cíclica de s ^±1 y es otra presentación para G . Sea Y el complejo de presentación para esta presentación. Entonces (véase ^[17] y el Teorema 13.3 en ^[9] ), bajo los supuestos anteriores sobre (∗), Y es un espacio de clasificación para G , es decir G  =  π ₁ ( Y ) y la cubierta universal de Y es contráctil . En particular, esto implica que G está libre de torsión y tiene dimensión cohomológica dos. ${\displaystyle G=\langle X\mid S\rangle }$

Curvatura más general

En términos más generales, es posible definir varios tipos de "curvatura" local en cualquier diagrama de van Kampen como -de manera muy aproximada- el exceso promedio de vértices + caras - aristas (que, según la fórmula de Euler, deben sumar 2) y, al mostrar, en un grupo particular, que esto siempre es no positivo (o -mejor aún- negativo) internamente, demostrar que la curvatura debe estar en el límite o cerca de él y, de ese modo, tratar de obtener una solución del problema verbal. Además, se puede restringir la atención a los diagramas que no contienen ninguna de un conjunto de "regiones" tales que exista una región "más pequeña" con el mismo límite.

Otras propiedades básicas de los pequeños grupos de cancelación

• Sea (∗) una presentación C ′(1/6). Entonces un elemento g en G tiene orden n  > 1 si y solo si hay un relatador r en R de la forma r  =  s ⁿ en F ( X ) tal que g es conjugado a s en G . En particular, si todos los elementos de R no son potencias propias en F ( X ) entonces G está libre de torsión.
• Si (∗) es una presentación finita C ′(1/6), el grupo G es hiperbólico-palabra .
• Si R y S son subconjuntos simetrizados finitos de F ( X ) con cierres normales iguales en F ( X ) tales que ambas presentaciones y satisfacen la condición C ′(1/6), entonces R  =  S . ${\displaystyle \langle X\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle X\mid S\rangle }$
• Si una presentación finita (∗) satisface uno de C ′(1/6), C ′(1/4)–T(4), C(6), C(4)–T(4), C(3)–T(6), entonces el grupo G tiene un problema de palabras solucionable y un problema de conjugación solucionable .

Aplicaciones

Algunos ejemplos de aplicaciones de la teoría de pequeñas cancelaciones incluyen:

• Solución del problema de conjugación para grupos de nudos alternados (ver ^{[18] [19]} y Capítulo V, Teorema 8.5 en ^[8] ), mostrando que para tales nudos los grupos de nudos aumentados admiten presentaciones C(4)–T(4).
• Los grupos de cancelación pequeños C ′(1/6) presentados finitamente son ejemplos básicos de grupos hiperbólicos de palabras . Una de las caracterizaciones equivalentes de los grupos hiperbólicos de palabras es que admiten presentaciones finitas donde el algoritmo de Dehn resuelve el problema de palabras .
• Los grupos finitamente presentados dados por presentaciones finitas C(4)–T(4) donde cada pieza tiene longitud uno son ejemplos básicos de grupos CAT(0) : para tal presentación, la cubierta universal del complejo de presentación es un complejo cuadrado CAT(0) .
• Las primeras aplicaciones de la teoría de pequeñas cancelaciones implican la obtención de diversos resultados de incrustabilidad. Algunos ejemplos incluyen un artículo de 1974 ^[20] de Sacerdote y Schupp con una prueba de que todo grupo de un solo relator con al menos tres generadores es SQ-universal y un artículo de 1976 de Schupp ^[21] con una prueba de que todo grupo contable puede incrustarse en un grupo simple generado por un elemento de orden dos y un elemento de orden tres.
• La llamada construcción Rips , debida a Eliyahu Rips , ^[22] proporciona una rica fuente de contraejemplos con respecto a varias propiedades de subgrupos de grupos hiperbólicos de palabras : Dado un grupo arbitrario finitamente presentado Q , la construcción produce una secuencia exacta corta donde K es bigenerado y donde G es libre de torsión y dado por una presentación finita C ′(1/6) (y por lo tanto G es hiperbólico de palabras). La construcción produce pruebas de insolubilidad de varios problemas algorítmicos para grupos hiperbólicos de palabras , incluido el problema de pertenencia a subgrupos, el problema de generación y el problema de rango . ^[23] Además, con algunas excepciones, el grupo K en la construcción Rips no es finitamente presentable . Esto implica que existen grupos hiperbólicos de palabras que no son coherentes , es decir, que contienen subgrupos que son finitamente generados pero no finitamente presentables. ${\displaystyle 1\to K\to G\to Q\to 1}$
• ^{Ol'shanskii [9]} utilizó métodos de cancelación pequeña (para presentaciones infinitas) para construir varios grupos "monstruosos", incluido el monstruo de Tarski y también para dar una prueba de que los grupos de Burnside libres de gran exponente impar son infinitos (un resultado similar fue demostrado originalmente por Adian y Novikov en 1968 utilizando métodos más combinatorios). Algunos otros grupos "monstruosos" construidos por Ol'shanskii utilizando estos métodos incluyen: un grupo noetheriano simple infinito ; un grupo infinito en el que cada subgrupo propio tiene orden primo y dos subgrupos cualesquiera del mismo orden son conjugados; un grupo no nombrable donde cada subgrupo propio es cíclico; y otros. ^[24]
• Bowditch ^[25] utilizó presentaciones de cancelación infinitamente pequeñas para demostrar que existen continuamente muchos tipos cuasi-isométricos de grupos de dos generadores.
• Thomas y Velickovic utilizaron la teoría de cancelación pequeña para construir ^[26] un grupo finitamente generado con dos conos asintóticos no homeomorfos, respondiendo así una pregunta de Gromov .
• McCammond y Wise demostraron cómo superar las dificultades planteadas por la construcción Rips y producir grandes clases de pequeños grupos de cancelación que son coherentes (es decir, donde todos los subgrupos finitamente generados se presentan finitamente) y, además, localmente cuasiconvexos (es decir, donde todos los subgrupos finitamente generados son cuasiconvexos). ^{[27] [28]}
• Los métodos de cancelación pequeña juegan un papel clave en el estudio de varios modelos de grupos finitamente presentados "genéricos" o "aleatorios" (ver ^[29] ). En particular, para un número fijo m  ≥ 2 de generadores y un número fijo t  ≥ 1 de relaciones definitorias y para cualquier λ  < 1 un grupo aleatorio m -generador t -relacionador satisface la condición de cancelación pequeña C ′( λ ). Incluso si el número de relaciones definitorias t no es fijo sino que crece como (2 m  − 1) ^εn (donde ε  ≥ 0 es el parámetro de densidad fijo en el modelo de densidad de Gromov de grupos "aleatorios", y donde es la longitud de las relaciones definitorias), entonces un grupo ε -aleatorio satisface la condición C ′(1/6) siempre que ε  < 1/12. ${\displaystyle n\to \infty }$
• Gromov ^[30] utilizó una versión de la teoría de pequeñas cancelaciones con respecto a un grafo para demostrar la existencia de un grupo finitamente presentado que "contiene" (en el sentido apropiado) una secuencia infinita de expansores y por lo tanto no admite una incrustación uniforme en un espacio de Hilbert . Este resultado proporciona una dirección (la única disponible hasta ahora) para buscar contraejemplos a la conjetura de Novikov .
• Osin ^[31] utilizó una generalización de la teoría de cancelación pequeña para obtener un análogo del teorema de cirugía de Dehn hiperbólica de Thurston para grupos relativamente hiperbólicos .

Generalizaciones

• Una versión de la teoría de cancelación pequeña para grupos cocientes de productos libres amalgamados y extensiones HNN fue desarrollada en el artículo de Sacerdote y Schupp y luego en el libro de Lyndon y Schupp. ^[8]
• Rips ^[32] y Ol'shanskii ^[9] desarrollaron una versión "estratificada" de la teoría de cancelación pequeña donde el conjunto de relatores se filtra como una unión ascendente de estratos (cada estrato satisface una condición de cancelación pequeña) y para un relator r de algún estrato y un relator s de un estrato superior, se requiere que su superposición sea pequeña con respecto a | s | pero se permite que tenga una gran superposición con respecto a | r |. Esta teoría le permitió a Ol'shanskii construir varios grupos "monstruosos", incluido el monstruo de Tarski , y dar una nueva prueba de que los grupos libres de Burnside de gran exponente impar son infinitos.
• Posteriormente, Ol'shanskii ^[33] y Delzant ^{[34] desarrollaron versiones de la teoría de cancelación pequeña para cocientes de} grupos hiperbólicos de palabras .
• McCammond proporcionó una versión de mayor dimensión de la teoría de cancelación pequeña. ^[35]
• McCammond y Wise llevaron mucho más allá los resultados básicos de la teoría estándar de pequeñas cancelaciones (como el lema de Greendlinger) con respecto a la geometría de los diagramas de van Kampen sobre presentaciones de pequeñas cancelaciones. ^[36]
• Gromov utilizó una versión de la teoría de cancelación pequeña con respecto a un gráfico para demostrar ^[30] la existencia de un grupo finitamente presentado que "contiene" (en el sentido apropiado) una secuencia infinita de expansores y por lo tanto no admite una incrustación uniforme en un espacio de Hilbert . ^[37]
• Osin ^[31] dio una versión de la teoría de cancelación pequeña para cocientes de grupos relativamente hiperbólicos y la utilizó para obtener una generalización relativamente hiperbólica del teorema de cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston .

Referencias básicas

• Roger Lyndon y Paul Schupp , Teoría de grupos combinatorios. Reimpresión de la edición de 1977. Classics in Mathematics. Springer-Verlag , Berlín, 2001. ISBN  3-540-41158-5 .
• Alexander Yu. Olʹshanskii, Geometría de las relaciones definitorias en grupos. Traducido del original ruso de 1989 por Yu. A. Bakhturin. Matemáticas y sus aplicaciones (serie soviética), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1 . 
• Ralph Strebel, Apéndice. Pequeños grupos de cancelación. Sobre los grupos hiperbólicos según Mikhael Gromov (Berna, 1988), págs. 227-273, Progress in Mathematics, 83, Birkhäuser Boston, Boston, Massachusetts, 1990. ISBN 0-8176-3508-4 . 
• Milé Krajčevski, Teselación del plano, grupos hiperbólicos y condiciones de cancelación pequeñas. Memorias de la American Mathematical Society, vol. 154 (2001), núm. 733.

Véase también

• Teoría de grupos geométricos
• Grupo hiperbólico de palabras
• Grupo de monstruos de Tarski
• Problema de Burnside
• Grupo presentado de forma finita
• Problema de palabras para grupos
• Diagrama de Van Kampen

Notas

1. Bruce Chandler y Wilhelm Magnus , La historia de la teoría combinatoria de grupos. Un estudio de caso en la historia de las ideas. Estudios de historia de las matemáticas y las ciencias físicas, 9. Springer-Verlag, Nueva York, 1982. ISBN 0-387-90749-1 . 
2. VA Tartakovskii, Solución del problema verbal para grupos con una base k-reducida para k>6 . (Ruso) Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 13, (1949), págs. 483–494.
3. Martin Greendlinger, Algoritmo de Dehn para el problema verbal. Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 13 (1960), págs. 67–83.
4. Martin Greendlinger, Algoritmos de Dehn para problemas de conjugación y de palabras, con aplicaciones. Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 13 (1960), pp. 641–677.
5. Martin Greendlinger, Un análogo de un teorema de Magnus. Archiv der Mathematik, vol 12 (1961), págs. 94–96.
6. Roger C. Lyndon , Sobre el algoritmo de Dehn. Mathematische Annalen , vol. 166 (1966), págs. 208-228.
7. Paul E. Schupp, Sobre el algoritmo de Dehn y el problema de la conjugación. Mathematische Annalen , vol 178 (1968), págs.
8. Roger C. Lyndon y Paul Schupp, Combinatorial group theory. Reimpresión de la edición de 1977. Classics in Mathematics. Springer-Verlag , Berlín, 2001. ISBN 3-540-41158-5 . 
9. Alexander Yu. Olʹshanskii, Geometría de las relaciones definitorias en grupos . Traducido del original ruso de 1989 por Yu. A. Bakhturin. Matemáticas y sus aplicaciones (serie soviética), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1 . 
10. A. Yu. Olshanskii, Un grupo infinito con subgrupos de órdenes primos , Math. URSS Izv. 16 (1981), 279–289; traducción de Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309–321.
11. A. Yu. Olshanskii, Grupos de período acotado con subgrupos de orden primo , Algebra and Logic 21 (1983), 369-418; traducción de Algebra i Logika 21 (1982), 553-618.
12. P. S. Novikov, S. I. Adian, Grupos periódicos infinitos. I. Izvestia Akademii Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 32 (1968), n.º 1, págs. 212-244.
13. PS Novikov, SI Adian, Grupos periódicos infinitos. II . Izvestia Akademii Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 32 (1968), núm. 2, págs. 251–524.
14. P. S. Novikov, S. I. Adian. Grupos periódicos infinitos. III . Izvestia Akademii Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 32 (1968), n.º 3, págs. 709-731.
15. M. Gromov, Grupos hiperbólicos , en "Ensayos en teoría de grupos" (GM Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, págs. 75-263.
16. Stephen J. Orgullo. Pequeñas condiciones de cancelación cumplidas por grupos de un solo relator. Mathematische Zeitschrift , vol. 184 (1983), núm. 2, págs. 283–286.
17. Ian M. Chiswell, Donald J. Collins, Johannes Huebschmann, Presentaciones grupales asféricas . Mathematische Zeitschrift , vol. 178 (1981), núm. 1, págs. 1–36.
18. CM Weinbaum, Problemas de palabras y conjugación para el grupo de nudos de cualquier nudo alternado, primo y domesticado. Actas de la American Mathematical Society , vol. 30 (1971), págs. 22-26.
19. KI Appel, PE Schupp, El problema de conjugación para el grupo de cualquier nudo alternante domesticado es solucionable. Actas de la American Mathematical Society , vol. 33 (1972), págs. 329–336.
20. George S. Sacerdote y Paul E. Schupp, SQ-universalidad en grupos HNN y grupos de un relator. Journal of the London Mathematical Society (2), vol. 7 (1974), págs. 733–740.
21. Paul E. Schupp, Incrustaciones en grupos simples. Journal of the London Mathematical Society (2), vol. 13 (1976), núm. 1, págs. 90–94.
22. E. Rips, Subgrupos de pequeños grupos de cancelación . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 14 (1982), núm. 1, págs. 45–47.
23. G. Baumslag, CF Miller, H. Short, Problemas irresolubles sobre cancelación pequeña y grupos hiperbólicos de palabras. Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 26 (1994), núm. 1, págs. 97-101.
24. A. Yu. Olʹshanskii, Sobre un método geométrico en la teoría combinatoria de grupos . Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1, 2 (Varsovia, 1983), 415–424, PWN–Publicado por la editorial científica polaca, Varsovia; North-Holland Publishing Co., Ámsterdam, 1984. ISBN 83-01-05523-5 . 
25. BH Bowditch, Continuamente muchas clases de cuasiisometría de grupos de 2 generadores. Comentarios Mathematici Helvetici , vol. 73 (1998), núm. 2, págs. 232-236.
26. S. Thomas y B. Velickovic. Conos asintóticos de grupos finitamente generados . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 32 (2000), núm. 2, págs. 203–208.
27. Jonathan P. McCammond y Daniel T. Wise, Coherencia, cuasiconvexidad local y perímetro de complejos 2. Análisis geométrico y funcional , vol. 15 (2005), núm. 4, págs. 859–927.
28. Jonathan P. McCammond y Daniel T. Wise, Grupos de cancelación pequeña localmente cuasiconvexos. Transactions of the American Mathematical Society , vol. 360 (2008), núm. 1, págs. 237–271.
29. Yann Ollivier, Una invitación de enero de 2005 a grupos aleatorios. Ensaios Matemáticos [Encuestas Matemáticas], 10. Sociedade Brasileira de Matemática, Río de Janeiro, 2005. ISBN 85-85818-30-1 . 
30. Gromov, M. (2003). "Paseo aleatorio en grupos aleatorios". Análisis geométrico y funcional . 13 (1): 73–146. doi :10.1007/s000390300002. S2CID  15535071.
31. Osin, Denis V. (2007). "Rellenos periféricos de grupos relativamente hiperbólicos". Inventiones Mathematicae . 167 (2): 295–326. arXiv : math/0510195 . doi :10.1007/s00222-006-0012-3. S2CID  13821804.
32. Rips, Eliyahu (1982). "Teoría generalizada de pequeñas cancelaciones y aplicaciones I". Revista israelí de matemáticas . 41 : 1–146. doi :10.1007/BF02760660.
33. Olʹshanskii, A. Yu. (1993). "Sobre homomorfismos residuales y G-subgrupos de grupos hiperbólicos". Revista Internacional de Álgebra y Computación . 3 (4): 365–409. doi :10.1142/S0218196793000251.
34. Delzant, Thomas (1996). "Sous-groupes distingués et quotients des groupes hyperboliques" [Subgrupos distinguidos y cocientes de grupos hiperbólicos]. Revista de Matemáticas de Duke (en francés). 83 (3): 661–682. doi :10.1215/S0012-7094-96-08321-0.
35. McCammond, Jonathan P. (2000). "Una teoría general de pequeñas cancelaciones". Revista Internacional de Álgebra y Computación . 10 (1): 1–172. doi :10.1142/S0218196700000029.
36. McCammond, Jonathan P.; Wise, Daniel T. (2002). "Abanicos y escaleras en la teoría de cancelaciones pequeñas". Actas de la London Mathematical Society . 84 (3): 599–644. doi :10.1112/S0024611502013424. S2CID  6279421.
37. Para más detalles sobre la teoría de pequeñas cancelaciones con respecto a un grafo, véase también Ollivier, Yann (2006). "Sobre un pequeño teorema de cancelación de Gromov" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Belga . 13 (1): 75–89. doi : 10.36045/bbms/1148059334 .