En matemáticas , la cirugía hiperbólica de Dehn es una operación mediante la cual se pueden obtener más variedades hiperbólicas tridimensionales a partir de una variedad hiperbólica tridimensional cuspédica dada . La cirugía hiperbólica de Dehn existe solo en dimensión tres y es la que distingue la geometría hiperbólica en tres dimensiones de otras dimensiones.
Esta operación también se denomina a menudo relleno hiperbólico de Dehn , ya que la cirugía de Dehn propiamente dicha se refiere a una operación de "perforación y relleno" en un eslabón que consiste en perforar una zona del eslabón y luego rellenarla con toros sólidos. La cirugía de Dehn hiperbólica en realidad solo implica "relleno".
En general, asumiremos que una 3-variedad hiperbólica está completa. Supongamos que M es una 3-variedad hiperbólica con cúspides y n cúspides. M puede considerarse, topológicamente, como el interior de una variedad compacta con borde toral. Supongamos que hemos elegido un meridiano y una longitud para cada toro de borde, es decir, curvas cerradas simples que son generadores para el grupo fundamental del toro. Sea α la variedad obtenida a partir de M al rellenar el i -ésimo toro de borde con un toro sólido utilizando la pendiente donde cada par y son números enteros coprimos. Permitimos que a sea , lo que significa que no rellenamos esa cúspide, es decir, hacemos el relleno de Dehn "vacío". Entonces M = .
Equipamos el espacio H de 3-variedades hiperbólicas de volumen finito con la topología geométrica .
El teorema de cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston establece que es hiperbólico siempre que se evite un conjunto finito de pendientes excepcionales para la i -ésima cúspide para cada i . converge a M en H como todo para todo correspondiente a rellenos de Dehn no vacíos . [ cita requerida ] Este teorema se debe a William Thurston y es fundamental para la teoría de las 3-variedades hiperbólicas. [1] Muestra que existen límites no triviales en H .
El estudio de Troels Jorgensen de la topología geométrica muestra además que todos los límites no triviales surgen por el llenado de Dehn como en el teorema. Otro resultado importante de Thurston es que el volumen disminuye bajo el llenado de Dehn hiperbólico. El teorema establece que el volumen disminuye bajo el llenado de Dehn topológico, asumiendo por supuesto que la variedad llena de Dehn es hiperbólica. La prueba se basa en propiedades básicas de la norma de Gromov . Jørgensen también mostró que la función de volumen en este espacio es una función propia continua . Por lo tanto, por los resultados anteriores, los límites no triviales en H se llevan a límites no triviales en el conjunto de volúmenes. [ cita requerida ] De hecho, uno puede concluir además, como lo hizo Thurston, que el conjunto de volúmenes de 3-variedades hiperbólicas de volumen finito tiene tipo ordinal . Este resultado se conoce como el teorema de Thurston-Jørgensen . [2] Gromov realizó un trabajo adicional que caracteriza este conjunto .
El nudo en forma de ocho y el nudo de pretzel (-2, 3, 7) son los únicos dos nudos cuyos complementos se sabe que tienen más de 6 cirugías excepcionales; tienen 10 y 7, respectivamente. Cameron Gordon conjeturó que 10 es el mayor número posible de cirugías excepcionales de cualquier complemento de nudo hiperbólico. Esto fue demostrado por Marc Lackenby y Rob Meyerhoff, quienes muestran que el número de pendientes excepcionales es 10 para cualquier variedad orientable compacta de 3 dimensiones con borde un toro e hiperbólico de volumen finito interior. Su prueba se basa en la prueba de la conjetura de geometrización originada por Grigori Perelman y en la asistencia de una computadora . Actualmente se desconoce si el nudo en forma de ocho es el único que logra el límite de 10. Una conjetura es que el límite (excepto para los dos nudos mencionados) es 6. Agol ha demostrado que solo hay un número finito de casos en los que el número de pendientes excepcionales es 9 o 10.
