En matemáticas , un campo de funciones algebraicas (a menudo abreviado como campo de funciones ) de n variables sobre un campo k es una extensión de campo finitamente generada K / k que tiene grado de trascendencia n sobre k . [1] De manera equivalente, un campo de funciones algebraicas de n variables sobre k puede definirse como una extensión de campo finita del campo K = k ( x 1 ,..., x n ) de funciones racionales en n variables sobre k .
Como ejemplo, en el anillo polinomial k [ X , Y ] considérese el ideal generado por el polinomio irreducible Y 2 − X 3 y forme el cuerpo de fracciones del anillo cociente k [ X , Y ]/( Y 2 − X 3 ). Este es un cuerpo de funciones de una variable sobre k ; también puede escribirse como (con grado 2 sobre ) o como (con grado 3 sobre ). Vemos que el grado de un cuerpo de funciones algebraicas no es una noción bien definida.
Los cuerpos de funciones algebraicas sobre k forman una categoría ; los morfismos desde el cuerpo de funciones K hasta L son los homomorfismos de anillo f : K → L con f ( a ) = a para todo a en k . Todos estos morfismos son inyectivos . Si K es un cuerpo de funciones sobre k de n variables, y L es un cuerpo de funciones en m variables, y n > m , entonces no hay morfismos desde K hasta L .
El cuerpo de funciones de una variedad algebraica de dimensión n sobre k es un cuerpo de funciones algebraicas de n variables sobre k . Dos variedades son biracionalmente equivalentes si y solo si sus cuerpos de funciones son isomorfos. (¡Pero note que las variedades no isomorfas pueden tener el mismo cuerpo de funciones!) Asignar a cada variedad su cuerpo de funciones produce una dualidad (equivalencia contravariante) entre la categoría de variedades sobre k (con funciones racionales dominantes como morfismos) y la categoría de cuerpos de funciones algebraicas sobre k . (Las variedades consideradas aquí deben tomarse en el sentido esquemático ; no necesitan tener ningún punto k -racional, como la curva X 2 + Y 2 + 1 = 0 definida sobre los reales , es decir con k = R ).
El caso n = 1 (curvas algebraicas irreducibles en el sentido esquemático ) es especialmente importante, ya que cada cuerpo de funciones de una variable sobre k surge como el cuerpo de funciones de una curva algebraica irreducible proyectiva regular (es decir, no singular) definida de manera única sobre k . De hecho, el cuerpo de funciones produce una dualidad entre la categoría de curvas algebraicas irreducibles proyectivas regulares (con funciones regulares dominantes como morfismos) y la categoría de cuerpos de funciones de una variable sobre k .
El campo M( X ) de funciones meromórficas definidas sobre una superficie de Riemann conexa X es un campo de funciones de una variable sobre los números complejos C . De hecho, M produce una dualidad (equivalencia contravariante) entre la categoría de superficies de Riemann compactas conexas (con aplicaciones holomorfas no constantes como morfismos) y campos de funciones de una variable sobre C . Existe una correspondencia similar entre superficies de Klein compactas conexas y campos de funciones en una variable sobre R .
La analogía del cuerpo funcional establece que casi todos los teoremas sobre cuerpos numéricos tienen una contraparte sobre cuerpos funcionales de una variable sobre un cuerpo finito , y estas contrapartes son frecuentemente más fáciles de demostrar. (Por ejemplo, véase Análogo para polinomios irreducibles sobre un cuerpo finito ). En el contexto de esta analogía, tanto los cuerpos numéricos como los cuerpos funcionales sobre cuerpos finitos se denominan usualmente " cuerpos globales ".
El estudio de campos de funciones sobre un campo finito tiene aplicaciones en criptografía y códigos de corrección de errores . Por ejemplo, el campo de funciones de una curva elíptica sobre un campo finito (una herramienta matemática importante para la criptografía de clave pública ) es un campo de funciones algebraicas.
Los campos de funciones sobre el campo de números racionales también juegan un papel importante en la resolución de problemas de Galois inversos .
Dado cualquier campo de funciones algebraicas K sobre k , podemos considerar el conjunto de elementos de K que son algebraicos sobre k . Estos elementos forman un campo, conocido como el campo de constantes del campo de funciones algebraicas.
Por ejemplo, C ( x ) es un campo de funciones de una variable sobre R ; su campo de constantes es C .
Las herramientas clave para estudiar los campos de funciones algebraicas son los valores absolutos, las valoraciones, los lugares y sus completaciones.
Dado un campo de funciones algebraicas K / k de una variable, definimos la noción de anillo de valoración de K / k : este es un subanillo O de K que contiene a k y es diferente de k y K , y tal que para cualquier x en K tenemos x ∈ O o x -1 ∈ O . Cada uno de estos anillos de valoración es un anillo de valoración discreto y su ideal máximo se llama lugar de K / k .
Una valoración discreta de K / k es una función sobreyectiva v : K → Z ∪{∞} tal que v (x) = ∞ si y solo si x = 0, v ( xy ) = v ( x ) + v ( y ) y v ( x + y ) ≥ min( v ( x ), v ( y )) para todo x , y ∈ K , y v ( a ) = 0 para todo a ∈ k \ {0}.
Existen correspondencias biyectivas naturales entre el conjunto de anillos de valoración de K / k , el conjunto de lugares de K / k y el conjunto de valoraciones discretas de K / k . A estos conjuntos se les puede dar una estructura topológica natural: el espacio de Zariski–Riemann de K / k .
![{\displaystyle k(Y)({\sqrt[{3}]{Y^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16c85b70ef83f58fa6c47026eea39b4307edaaf)
