Problema de Galois inverso

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Es todo grupo finito el grupo de Galois de una extensión de Galois de los números racionales ?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En la teoría de Galois , el problema inverso de Galois se ocupa de determinar si cada grupo finito aparece o no como el grupo de Galois de alguna extensión de Galois de los números racionales . Este problema, planteado por primera vez a principios del siglo XIX, ^[1] no ha sido resuelto. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Existen algunos grupos de permutación para los cuales se conocen polinomios genéricos , que definen todas las extensiones algebraicas de tener un grupo particular como grupo de Galois. Estos grupos incluyen todos los de grado no mayor que 5. También existen grupos que se sabe que no tienen polinomios genéricos, como el grupo cíclico de orden 8 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

De manera más general, sea G un grupo finito dado y K un cuerpo. Si existe un cuerpo de extensión de Galois L / K cuyo grupo de Galois es isomorfo a G , se dice que G es realizable sobre K .

Resultados parciales

Se conocen muchos casos. Se sabe que todo grupo finito es realizable sobre cualquier cuerpo de funciones de una variable sobre los números complejos , y más generalmente sobre cuerpos de funciones de una variable sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Igor Shafarevich demostró que todo grupo resoluble finito es realizable sobre . ^[2] También se sabe que todo grupo esporádico simple , excepto posiblemente el grupo de Mathieu M ₂₃ , es realizable sobre . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

David Hilbert demostró que esta pregunta está relacionada con una cuestión de racionalidad para G :

Si K es cualquier extensión de en la que G actúa como un grupo de automorfismos , y el campo invariante K ^G es racional sobre , entonces G es realizable sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En este caso, racional significa que es una extensión puramente trascendental de , generada por un conjunto algebraicamente independiente . Este criterio puede utilizarse, por ejemplo, para demostrar que todos los grupos simétricos son realizables. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Se ha trabajado mucho en detalle sobre esta cuestión, que en ningún sentido está resuelta en general. Parte de ello se basa en construir G geométricamente como una cobertura de Galois de la línea proyectiva : en términos algebraicos, se empieza con una extensión del campo de funciones racionales en un t indeterminado . Después de eso, se aplica el teorema de irreducibilidad de Hilbert para especializar t , de tal manera que se preserve el grupo de Galois. ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$

Se sabe que todos los grupos de permutación de grado 16 o menos son realizables sobre ; ^[4] el grupo PSL(2,16):2 de grado 17 puede no serlo. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Se sabe que los 13 grupos simples no abelianos más pequeños que PSL(2,25) (orden 7800) son realizables sobre . ^[6] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un ejemplo sencillo: los grupos cíclicos

Es posible, utilizando resultados clásicos, construir explícitamente un polinomio cuyo grupo de Galois sobre sea el grupo cíclico Z / n Z para cualquier entero positivo n . Para ello, elija un primo p tal que p ≡ 1 (mod n ) ; esto es posible por el teorema de Dirichlet . Sea Q ( μ ) la extensión ciclotómica de generada por μ , donde μ es una raíz p -ésima primitiva de la unidad ; el grupo de Galois de Q ( μ )/ Q es cíclico de orden p − 1 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Como n divide a p − 1 , el grupo de Galois tiene un subgrupo cíclico H de orden ( p − 1)/ n . El teorema fundamental de la teoría de Galois implica que el cuerpo fijo correspondiente, F = Q ( μ ) ^H , tiene grupo de Galois Z / n Z sobre . Al tomar sumas apropiadas de conjugados de μ , siguiendo la construcción de períodos gaussianos , se puede encontrar un elemento α de F que genere F sobre , y calcular su polinomio mínimo . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Este método se puede extender para cubrir todos los grupos abelianos finitos , ya que cada uno de estos grupos aparece de hecho como un cociente del grupo de Galois de alguna extensión ciclotómica de . (Sin embargo, esta afirmación no debe confundirse con el teorema de Kronecker-Weber , que se encuentra significativamente más a fondo). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Ejemplo resuelto: el grupo cíclico de orden tres

Para n = 3 , podemos tomar p = 7. Entonces Gal( Q ( μ )/ Q ) es cíclico de orden seis. Tomemos el generador η de este grupo que envía μ a μ ³ . Nos interesa el subgrupo H = {1, η ³ } de orden dos. Consideremos el elemento α = μ + η ³ ( μ ) . Por construcción, α está fijado por H y solo tiene tres conjugados sobre : ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

α = η ⁰ ( α ) = μ + μ ⁶ ,

β = η ¹ ( α ) = μ ³ + μ ⁴ ,

γ = η ² ( α ) = μ ² + μ ⁵ .

Usando la identidad:

1 + μ + μ ² + ⋯ + μ ⁶ = 0 ,

Uno encuentra que

α + β + γ = −1 ,

αβ + βγ + γα = −2 ,

αβγ = 1 .

Por lo tanto α es una raíz del polinomio

( x − α )( x − β )( x − γ ) = x ³ + x ² − 2 x − 1 ,

que en consecuencia tiene grupo de Galois Z /3 Z sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Grupos simétricos y alternados

Hilbert demostró que todos los grupos simétricos y alternados se representan como grupos de Galois de polinomios con coeficientes racionales .

El polinomio x ⁿ + ax + b tiene discriminante

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.}$

Tomamos el caso especial

f ( x , s ) = x ⁿ − sx − s .

Sustituyendo un entero primo por s en f ( x , s ) se obtiene un polinomio (llamado especialización de f ( x , s ) ) que, según el criterio de Eisenstein, es irreducible . Entonces f ( x , s ) debe ser irreducible sobre . Además, f ( x , s ) se puede escribir ${\displaystyle \mathbb {Q} (s)}$

${\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)}$

y f ( x , 1/2) se puede factorizar como:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)}$

cuyo segundo factor es irreducible (pero no por el criterio de Eisenstein). Sólo el polinomio recíproco es irreducible por el criterio de Eisenstein. Hemos demostrado que el grupo Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) es doblemente transitivo .

Podemos entonces encontrar que este grupo de Galois tiene una transposición. Usemos la escala (1 − n ) x = ny para obtener

${\displaystyle y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}}$

y con

${\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},}$

Llegamos a:

g ( y , t ) = y ⁿ − nty + ( n − 1) t

que se puede organizar para

y ^norte − y − ( norte − 1)( y − 1) + ( t − 1)(− ny + n − 1) .

Entonces g ( y , 1) tiene 1 como doble cero y sus otros n − 2 ceros son simples , y se implica una transposición en Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) . Cualquier grupo de permutación doblemente transitivo finito que contenga una transposición es un grupo completamente simétrico.

El teorema de irreducibilidad de Hilbert implica entonces que un conjunto infinito de números racionales da especializaciones de f ( x , t ) cuyos grupos de Galois son S _n sobre el cuerpo racional . De hecho, este conjunto de números racionales es denso en . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El discriminante de g ( y , t ) es igual

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),}$

y este no es en general un cuadrado perfecto.

Grupos alternados

Las soluciones para grupos alternados deben manejarse de manera diferente para grados pares e impares .

Grado impar

Dejar

${\displaystyle t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}}$

Bajo esta sustitución el discriminante de g ( y , t ) es igual

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aligned}}}$

que es un cuadrado perfecto cuando n es impar.

Grado uniforme

Dejar:

${\displaystyle t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}}$

Bajo esta sustitución el discriminante de g ( y , t ) es igual a:

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}}$

que es un cuadrado perfecto cuando n es par.

Nuevamente, el teorema de irreducibilidad de Hilbert implica la existencia de infinitas especializaciones cuyos grupos de Galois son grupos alternados.

Grupos rígidos

Supóngase que C ₁ , …, C _n son clases de conjugación de un grupo finito G , y A es el conjunto de n -tuplas ( g ₁ , …, g _n ) de G tales que g _i está en C _i y el producto g ₁ … g _n es trivial. Entonces A se llama rígido si no está vacío , G actúa transitivamente sobre él por conjugación y cada elemento de A genera G .

Thompson (1984) demostró que si un grupo finito G tiene un conjunto rígido, entonces a menudo puede realizarse como un grupo de Galois sobre una extensión ciclotómica de los racionales. (Más precisamente, sobre la extensión ciclotómica de los racionales generada por los valores de los caracteres irreducibles de G en las clases de conjugación C _i .)

Esto se puede utilizar para demostrar que muchos grupos finitos simples, incluido el grupo monstruo , son grupos de Galois de extensiones de los racionales. El grupo monstruo se genera mediante una tríada de elementos de órdenes 2 , 3 y 29. Todas estas tríadas son conjugadas.

El prototipo de rigidez es el grupo simétrico S _n , que se genera mediante un n -ciclo y una transposición cuyo producto es un ( n − 1) -ciclo. La construcción de la sección anterior utilizó estos generadores para establecer el grupo de Galois de un polinomio.

Una construcción con función modular elíptica

Sea n > 1 un entero cualquiera. Una red Λ en el plano complejo con razón de periodos τ tiene una subred Λ′ con razón de periodos nτ . La última red es una de un conjunto finito de subredes permutadas por el grupo modular PSL(2, Z ) , que se basa en cambios de base para Λ . Sea j la función modular elíptica de Felix Klein . Definamos el polinomio φ _n como el producto de las diferencias ( X − j (Λ _i )) sobre las subredes conjugadas. Como polinomio en X , φ _n tiene coeficientes que son polinomios sobre en j ( τ ) . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En las redes conjugadas, el grupo modular actúa como PGL(2, Z / n Z ) . De ello se deduce que φ _n tiene grupo de Galois isomorfo a PGL(2, Z / n Z ) sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))}$

El uso del teorema de irreducibilidad de Hilbert da un conjunto infinito (y denso) de números racionales que especializan φ _n en polinomios con grupo de Galois PGL(2, Z / n Z ) sobre . Los grupos PGL(2, Z / n Z ) incluyen una infinidad de grupos no resolubles. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Véase también

• Grupo semiabeliano (teoría de Galois)

Notas

1. "Mathematical Sciences Research Institute Publications 45" (PDF) . MSRI . Archivado desde el original (PDF) el 2017-08-29 . Consultado el 2016-04-17 .
2. Igor R. Shafarevich, El problema de incrustación para la división de extensiones , Dokl. Akad. Nauk SSSR 120 (1958), 1217-1219.
3. pág. 5 de Jensen et al., 2002
4. "Inicio". galoisdb.math.upb.de .
5. "Elige un grupo".
6. Malle y Matzat (1999), págs. 403-424

Referencias

• MacBeath, AM (1969). "Extensiones de los racionales con grupo de Galois PGL(2,Z _n )". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 1 (3): 332–338. doi :10.1112/BLMS/1.3.332.
• Thompson, John G. (1984), "Algunos grupos finitos que aparecen como Gal L/K, donde K ⊆ Q(μ _n )", Journal of Algebra , 89 (2): 437–499, doi : 10.1016/0021-8693(84)90228-X , MR  0751155
• Helmut Völklein, Grupos como grupos de Galois, una introducción , Cambridge University Press, 1996. ISBN 978-0521065030 .
• Serre, Jean-Pierre (1992). Temas de la teoría de Galois . Notas de investigación en matemáticas. Vol. 1. Jones y Bartlett. ISBN 0-86720-210-6.Zbl 0746.12001  .
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Teoría de Galois inversa , Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-62890-8 . 
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Teoría inversa de Galois , 2.ª edición, Springer-Verlag, 2018.
• Alexander Schmidt, Kay Wingberg, Teorema de Safarevic sobre grupos solubles como grupos de Galois ( ver también Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer- Editorial, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001)
• Christian U. Jensen, Arne Ledet y Noriko Yui , Polinomios genéricos, aspectos constructivos del problema de Galois inverso , Cambridge University Press, 2002.

Enlaces externos

• "Problema de Galois inverso Programa de verano de posgrado PCMI 2021 - Teoría de números basada en computación - 26 al 30 de julio de 2021". Archivado desde el original el 16 de febrero de 2023.