Elemento algebraico

Concepto en álgebra abstracta

En matemáticas , si L es un cuerpo de extensión de K , entonces un elemento a de L se llama elemento algebraico sobre K , o simplemente algebraico sobre K , si existe algún polinomio distinto de cero g ( x ) con coeficientes en K tales que g ( a ) = 0. Los elementos de L que no son algebraicos sobre K se llaman trascendentales sobre K.

Estas nociones generalizan los números algebraicos y los números trascendentales (donde la extensión del campo es C / Q , siendo C el campo de los números complejos y Q el campo de los números racionales ).

Ejemplos

• La raíz cuadrada de 2 es algebraica sobre Q , ya que es la raíz del polinomio g ( x ) = x ² − 2 cuyos coeficientes son racionales.
• Pi es trascendental sobre Q pero algebraico sobre el cuerpo de los números reales R : es la raíz de g ( x ) = x − π , cuyos coeficientes (1 y − π ) son ambos reales, pero no de ningún polinomio con solo coeficientes racionales. (La definición del término número trascendental utiliza C / Q , no C / R .)

Propiedades

Las siguientes condiciones son equivalentes para un elemento de : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$

• ${\displaystyle a}$es algebraico sobre , ${\displaystyle K}$
• La extensión del campo es algebraica, es decir, cada elemento de es algebraico sobre (aquí denota el subcampo más pequeño de que contiene y ), ${\displaystyle K(a)/K}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$
• La extensión del campo tiene grado finito, es decir, la dimensión de un espacio vectorial es finita, ${\displaystyle K(a)/K}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K[a]=K(a)}$, donde es el conjunto de todos los elementos de que se puede escribir en la forma con un polinomio cuyos coeficientes se encuentran en . ${\displaystyle K[a]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle g(a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$

Para hacer esto más explícito, considere la evaluación polinomial . Este es un homomorfismo y su núcleo es . Si es algebraico, este ideal contiene polinomios distintos de cero, pero como es un dominio euclidiano , contiene un polinomio único con grado mínimo y coeficiente principal , que luego también genera el ideal y debe ser irreducible . El polinomio se llama polinomio mínimo de y codifica muchas propiedades importantes de . Por lo tanto, el isomorfismo de anillo obtenido por el teorema del homomorfismo es un isomorfismo de campos, donde podemos observar entonces que . De lo contrario, es inyectiva y, por lo tanto, obtenemos un isomorfismo de campo , donde es el campo de fracciones de , es decir, el campo de funciones racionales en , por la propiedad universal del campo de fracciones. Podemos concluir que, en cualquier caso, encontramos un isomorfismo o . Investigar esta construcción produce los resultados deseados. ${\displaystyle \varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)}$ ${\displaystyle \{P\in K[X]\mid P(a)=0\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{a}}$ ${\displaystyle K(X)\rightarrow K(a)}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(a)\cong K[X]/(p)}$ ${\displaystyle K(a)\cong K(X)}$

Esta caracterización se puede utilizar para mostrar que la suma, diferencia, producto y cociente de elementos algebraicos sobre son nuevamente algebraicos sobre . Porque si y son ambos algebraicos, entonces es finito. Como contiene las combinaciones antes mencionadas de y , adjuntar uno de ellos a también produce una extensión finita, y por lo tanto estos elementos también son algebraicos. Por lo tanto, el conjunto de todos los elementos de que son algebraicos sobre es un cuerpo que se encuentra entre y . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (K(a))(b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Los cuerpos que no admiten ningún elemento algebraico sobre ellos (excepto sus propios elementos) se denominan algebraicamente cerrados . El cuerpo de los números complejos es un ejemplo. Si es algebraicamente cerrado, entonces el cuerpo de elementos algebraicos de sobre es algebraicamente cerrado, lo que puede demostrarse directamente utilizando la caracterización de extensiones algebraicas simples anterior. Un ejemplo de esto es el cuerpo de los números algebraicos . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Véase también

• Independencia algebraica

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001