Equivalencia de categorías

Relación matemática abstracta

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas abstractas , una equivalencia de categorías es una relación entre dos categorías que establece que estas categorías son "esencialmente las mismas". Existen numerosos ejemplos de equivalencias categóricas en muchas áreas de las matemáticas. Establecer una equivalencia implica demostrar fuertes similitudes entre las estructuras matemáticas en cuestión. En algunos casos, estas estructuras pueden parecer no relacionadas a un nivel superficial o intuitivo, lo que hace que la noción sea bastante poderosa: crea la oportunidad de "traducir" teoremas entre diferentes tipos de estructuras matemáticas, sabiendo que el significado esencial de esos teoremas se conserva bajo la traducción.

Si una categoría es equivalente al opuesto (o dual) de otra categoría entonces se habla de dualidad de categorías , y se dice que las dos categorías son dualmente equivalentes .

Una equivalencia de categorías consiste en un funtor entre las categorías involucradas, que debe tener un funtor "inverso". Sin embargo, en contraste con la situación común para los isomorfismos en un contexto algebraico, la composición del funtor y su "inverso" no es necesariamente la función identidad. En cambio, es suficiente que cada objeto sea naturalmente isomorfo a su imagen bajo esta composición. Por lo tanto, se puede describir a los funtores como "inversos hasta el isomorfismo". De hecho, existe un concepto de isomorfismo de categorías donde se requiere una forma estricta de funtor inverso, pero esto es de mucha menos utilidad práctica que el concepto de equivalencia .

Definición

Formalmente, dadas dos categorías C y D , una equivalencia de categorías consiste en un funtor F  : C → D , un funtor G  : D → C , y dos isomorfismos naturales ε: FG → I _D y η : I _C → GF . Aquí FG : D → D y GF : C → C denotan las composiciones respectivas de F y G , e I _C : C → C e I _D : D → D denotan los funtores identidad en C y D , asignando cada objeto y morfismo a sí mismo. Si F y G son funtores contravariantes se habla en cambio de una dualidad de categorías .

A menudo no se especifican todos los datos anteriores. Por ejemplo, decimos que las categorías C y D son equivalentes (respectivamente dualmente equivalentes ) si existe una equivalencia (respectivamente dualidad) entre ellas. Además, decimos que F "es" una equivalencia de categorías si existe un funtor inverso G e isomorfismos naturales como los anteriores. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el conocimiento de F no suele ser suficiente para reconstruir G y los isomorfismos naturales: puede haber muchas opciones (véase el ejemplo siguiente).

Caracterizaciones alternativas

Un funtor F  : C → D produce una equivalencia de categorías si y sólo si es simultáneamente:

• completa , es decir, para cualesquiera dos objetos c ₁ y c ₂ de C , la función Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) inducida por F es sobreyectiva ;
• fiel , es decir, para cualesquiera dos objetos c ₁ y c ₂ de C , la función Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) inducida por F es inyectiva ; y
• esencialmente sobreyectiva (densa) , es decir, cada objeto d en D es isomorfo a un objeto de la forma Fc , para c en C. ^[1 ]

Este es un criterio bastante útil y de aplicación común, porque no es necesario construir explícitamente la G "inversa" y los isomorfismos naturales entre FG , GF y los funtores identidad. Por otro lado, aunque las propiedades anteriores garantizan la existencia de una equivalencia categórica (dada una versión suficientemente fuerte del axioma de elección en la teoría de conjuntos subyacente), los datos faltantes no están completamente especificados y, a menudo, hay muchas opciones. Es una buena idea especificar las construcciones faltantes explícitamente siempre que sea posible. Debido a esta circunstancia, a un funtor con estas propiedades a veces se le llama equivalencia débil de categorías (desafortunadamente, esto entra en conflicto con la terminología de la teoría de homotopía ).

También existe una estrecha relación con el concepto de funtores adjuntos , donde decimos que es el adjunto izquierdo de , o, de manera similar, G es el adjunto derecho de F . Entonces C y D son equivalentes (como se definió anteriormente en que hay isomorfismos naturales de FG a I _D y de I _C a GF ) si y solo si y tanto F como G son completos y fieles. ${\displaystyle F\dashv G}$ ${\displaystyle F:C\rightarrow D}$ ${\displaystyle G:D\rightarrow C}$ ${\displaystyle F\dashv G}$

Cuando los funtores adjuntos no son completos y fieles, entonces podemos considerar que su relación de adjunción expresa una "forma más débil de equivalencia" de categorías. Suponiendo que se dan las transformaciones naturales para las adjunciones, todas estas formulaciones permiten una construcción explícita de los datos necesarios y no se necesitan principios de elección. La propiedad clave que uno tiene que demostrar aquí es que el counit de una adjunción es un isomorfismo si y solo si el adjunto derecho es un funtor completo y fiel. ${\displaystyle F\dashv G}$

Ejemplos

• Consideremos la categoría que tiene un único objeto y un único morfismo , y la categoría con dos objetos , y cuatro morfismos: dos morfismos identidad , y dos isomorfismos y . Las categorías y son equivalentes; podemos (por ejemplo) tener mapear a y mapear ambos objetos de a y todos los morfismos a . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1_{c}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle 1_{d_{1}}}$ ${\displaystyle 1_{d_{2}}}$ ${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$ ${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1_{c}}$
• Por el contrario, la categoría con un único objeto y un único morfismo no es equivalente a la categoría con dos objetos y sólo dos morfismos identidad. Los dos objetos en no son isomorfos en el sentido de que no hay morfismos entre ellos. Por lo tanto, cualquier funtor de a no será esencialmente sobreyectivo. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$
• Consideremos una categoría con un objeto , y dos morfismos . Sea el morfismo identidad en y conjunto . Por supuesto, es equivalente a sí mismo, lo que se puede demostrar tomando en lugar de los isomorfismos naturales requeridos entre el funtor y sí mismo. Sin embargo, también es cierto que produce un isomorfismo natural de a sí mismo. Por lo tanto, dada la información de que los funtores identidad forman una equivalencia de categorías, en este ejemplo todavía se puede elegir entre dos isomorfismos naturales para cada dirección. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$ ${\displaystyle 1_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f\circ f=1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1_{c}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$
• La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente pero no isomorfa con la categoría de conjuntos puntiagudos y mapas que preservan puntos. ^[2]
• Consideremos la categoría de espacios vectoriales reales de dimensión finita y la categoría de todas las matrices reales (la última categoría se explica en el artículo sobre categorías aditivas ). Entonces y son equivalentes: El funtor que mapea el objeto de al espacio vectorial y las matrices en a los mapas lineales correspondientes es completo, fiel y esencialmente sobreyectivo. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G\colon D\to C}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D}$
• Uno de los temas centrales de la geometría algebraica es la dualidad de la categoría de esquemas afines y la categoría de anillos conmutativos . El funtor asocia a cada anillo conmutativo su espectro , el esquema definido por los ideales primos del anillo. Su adjunto asocia a cada esquema afín su anillo de secciones globales. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$
• En el análisis funcional, la categoría de las C*-álgebras conmutativas con identidad es contravariantemente equivalente a la categoría de los espacios compactos de Hausdorff . Bajo esta dualidad, cada espacio compacto de Hausdorff está asociado con el álgebra de funciones complejas continuas en , y cada C*-álgebra conmutativa está asociada con el espacio de sus ideales máximos . Esta es la representación de Gelfand . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• En la teoría de retículos , hay varias dualidades, basadas en teoremas de representación que conectan ciertas clases de retículos con clases de espacios topológicos . Probablemente el teorema más conocido de este tipo es el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole , que es un caso especial dentro del esquema general de dualidad de Stone . Cada álgebra de Boole se asigna a una topología específica en el conjunto de ultrafiltros de . Por el contrario, para cualquier topología, los subconjuntos clopen (es decir, cerrados y abiertos) producen un álgebra de Boole. Se obtiene una dualidad entre la categoría de álgebras de Boole (con sus homomorfismos) y espacios de Stone (con asignaciones continuas). Otro caso de dualidad de Stone es el teorema de representación de Birkhoff que establece una dualidad entre órdenes parciales finitos y retículos distributivos finitos. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
• En la topología sin sentido se sabe que la categoría de lugares espaciales es equivalente al dual de la categoría de espacios sobrios.
• Para dos anillos R y S , la categoría de producto R - Mod × S - Mod es equivalente a ( R × S )- Mod . ^{[ cita requerida ]}
• Toda categoría es equivalente a su esqueleto .

Propiedades

Como regla general, una equivalencia de categorías preserva todos los conceptos y propiedades "categóricos". Si F  : C → D es una equivalencia, entonces todas las siguientes afirmaciones son verdaderas:

• el objeto c de C es un objeto inicial (u objeto terminal , u objeto cero ), si y solo si Fc es un objeto inicial (u objeto terminal , u objeto cero ) de D
• El morfismo α en C es un monomorfismo (o epimorfismo , o isomorfismo ), si y sólo si Fα es un monomorfismo (o epimorfismo, o isomorfismo) en D.
• El funtor H  : I → C tiene límite (o colimite) l si y solo si el funtor FH  : I → D tiene límite (o colimite) Fl . Esto se puede aplicar a ecualizadores , productos y coproductos entre otros. Aplicándolo a kernels y cokernels , vemos que la equivalencia F es un funtor exacto .
• C es una categoría cartesiana cerrada (o un topos ) si y sólo si D es cartesiana cerrada (o un topos).

Las dualidades “dan la vuelta a todos los conceptos”: transforman los objetos iniciales en objetos terminales, los monomorfismos en epimorfismos, los núcleos en conúcleos, los límites en colímites, etc.

Si F  : C → D es una equivalencia de categorías, y G ₁ y G ₂ son dos inversas de F , entonces G ₁ y G ₂ son naturalmente isomorfos.

Si F  : C → D es una equivalencia de categorías, y si C es una categoría preaditiva (o categoría aditiva , o categoría abeliana ), entonces D puede convertirse en una categoría preaditiva (o categoría aditiva, o categoría abeliana) de tal manera que F se convierta en un funtor aditivo . Por otra parte, cualquier equivalencia entre categorías aditivas es necesariamente aditiva. (Nótese que la última afirmación no es cierta para las equivalencias entre categorías preaditivas).

Una autoequivalencia de una categoría C es una equivalencia F  : C → C . Las autoequivalencias de C forman un grupo bajo composición si consideramos que dos autoequivalencias que son naturalmente isomorfas son idénticas. Este grupo captura las "simetrías" esenciales de C . (Una advertencia: si C no es una categoría pequeña, entonces las autoequivalencias de C pueden formar una clase propia en lugar de un conjunto .)

Véase también

• Definiciones equivalentes de estructuras matemáticas
• Anafunctor

Referencias

1. Mac Lane (1998), Teorema IV.4.1
2. Lutz Schröder (2001). "Categorías: un recorrido gratuito". En Jürgen Koslowski y Austin Melton (ed.). Perspectivas categóricas . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 10.ISBN​ 978-0-8176-4186-3.

• Equivalencia de categorías en el laboratorio n
• "Equivalencia de categorías", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Nueva York: Springer. pp. xii+314. ISBN. 0-387-98403-8.