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Equivalencia de categorías

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas abstractas , una equivalencia de categorías es una relación entre dos categorías que establece que estas categorías son "esencialmente las mismas". Existen numerosos ejemplos de equivalencias categóricas en muchas áreas de las matemáticas. Establecer una equivalencia implica demostrar fuertes similitudes entre las estructuras matemáticas en cuestión. En algunos casos, estas estructuras pueden parecer no relacionadas a un nivel superficial o intuitivo, lo que hace que la noción sea bastante poderosa: crea la oportunidad de "traducir" teoremas entre diferentes tipos de estructuras matemáticas, sabiendo que el significado esencial de esos teoremas se conserva bajo la traducción.

Si una categoría es equivalente al opuesto (o dual) de otra categoría entonces se habla de dualidad de categorías , y se dice que las dos categorías son dualmente equivalentes .

Una equivalencia de categorías consiste en un funtor entre las categorías involucradas, que debe tener un funtor "inverso". Sin embargo, en contraste con la situación común para los isomorfismos en un contexto algebraico, la composición del funtor y su "inverso" no es necesariamente la función identidad. En cambio, es suficiente que cada objeto sea naturalmente isomorfo a su imagen bajo esta composición. Por lo tanto, se puede describir a los funtores como "inversos hasta el isomorfismo". De hecho, existe un concepto de isomorfismo de categorías donde se requiere una forma estricta de funtor inverso, pero esto es de mucha menos utilidad práctica que el concepto de equivalencia .

Definición

Formalmente, dadas dos categorías C y D , una equivalencia de categorías consiste en un funtor F  : CD , un funtor G  : DC , y dos isomorfismos naturales ε: FGI D y η : I CGF . Aquí FG : DD y GF : CC denotan las composiciones respectivas de F y G , e I C : CC e I D : DD denotan los funtores identidad en C y D , asignando cada objeto y morfismo a sí mismo. Si F y G son funtores contravariantes se habla en cambio de una dualidad de categorías .

A menudo no se especifican todos los datos anteriores. Por ejemplo, decimos que las categorías C y D son equivalentes (respectivamente dualmente equivalentes ) si existe una equivalencia (respectivamente dualidad) entre ellas. Además, decimos que F "es" una equivalencia de categorías si existe un funtor inverso G e isomorfismos naturales como los anteriores. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el conocimiento de F no suele ser suficiente para reconstruir G y los isomorfismos naturales: puede haber muchas opciones (véase el ejemplo siguiente).

Caracterizaciones alternativas

Un funtor F  : CD produce una equivalencia de categorías si y sólo si es simultáneamente:

Este es un criterio bastante útil y de aplicación común, porque no es necesario construir explícitamente la G "inversa" y los isomorfismos naturales entre FG , GF y los funtores identidad. Por otro lado, aunque las propiedades anteriores garantizan la existencia de una equivalencia categórica (dada una versión suficientemente fuerte del axioma de elección en la teoría de conjuntos subyacente), los datos faltantes no están completamente especificados y, a menudo, hay muchas opciones. Es una buena idea especificar las construcciones faltantes explícitamente siempre que sea posible. Debido a esta circunstancia, a un funtor con estas propiedades a veces se le llama equivalencia débil de categorías (desafortunadamente, esto entra en conflicto con la terminología de la teoría de homotopía ).

También existe una estrecha relación con el concepto de funtores adjuntos , donde decimos que es el adjunto izquierdo de , o, de manera similar, G es el adjunto derecho de F . Entonces C y D son equivalentes (como se definió anteriormente en que hay isomorfismos naturales de FG a I D y de I C a GF ) si y solo si y tanto F como G son completos y fieles.

Cuando los funtores adjuntos no son completos y fieles, entonces podemos considerar que su relación de adjunción expresa una "forma más débil de equivalencia" de categorías. Suponiendo que se dan las transformaciones naturales para las adjunciones, todas estas formulaciones permiten una construcción explícita de los datos necesarios y no se necesitan principios de elección. La propiedad clave que uno tiene que demostrar aquí es que el counit de una adjunción es un isomorfismo si y solo si el adjunto derecho es un funtor completo y fiel.

Ejemplos

Propiedades

Como regla general, una equivalencia de categorías preserva todos los conceptos y propiedades "categóricos". Si F  : CD es una equivalencia, entonces todas las siguientes afirmaciones son verdaderas:

Las dualidades “dan la vuelta a todos los conceptos”: transforman los objetos iniciales en objetos terminales, los monomorfismos en epimorfismos, los núcleos en conúcleos, los límites en colímites, etc.

Si F  : CD es una equivalencia de categorías, y G 1 y G 2 son dos inversas de F , entonces G 1 y G 2 son naturalmente isomorfos.

Si F  : CD es una equivalencia de categorías, y si C es una categoría preaditiva (o categoría aditiva , o categoría abeliana ), entonces D puede convertirse en una categoría preaditiva (o categoría aditiva, o categoría abeliana) de tal manera que F se convierta en un funtor aditivo . Por otra parte, cualquier equivalencia entre categorías aditivas es necesariamente aditiva. (Nótese que la última afirmación no es cierta para las equivalencias entre categorías preaditivas).

Una autoequivalencia de una categoría C es una equivalencia F  : CC . Las autoequivalencias de C forman un grupo bajo composición si consideramos que dos autoequivalencias que son naturalmente isomorfas son idénticas. Este grupo captura las "simetrías" esenciales de C . (Una advertencia: si C no es una categoría pequeña, entonces las autoequivalencias de C pueden formar una clase propia en lugar de un conjunto .)

Véase también

Referencias

  1. ^ Mac Lane (1998), Teorema IV.4.1
  2. ^ Lutz Schröder (2001). "Categorías: un recorrido gratuito". En Jürgen Koslowski y Austin Melton (ed.). Perspectivas categóricas . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 10.ISBN​ 978-0-8176-4186-3.