Mapeo racional

Tipo de función parcial entre variedades algebraicas

En matemáticas , en particular en el subcampo de la geometría algebraica , una función racional o aplicación racional es un tipo de función parcial entre variedades algebraicas . En este artículo se utiliza la convención de que las variedades son irreducibles .

Definición

Definición formal

Formalmente, una función racional entre dos variedades es una clase de equivalencia de pares en la que es un morfismo de variedades de un conjunto abierto no vacío a , y dos pares de este tipo y se consideran equivalentes si y coinciden en la intersección (esto es, en particular, vacuamente cierto si la intersección está vacía, pero como se supone irreducible, esto es imposible). La prueba de que esto define una relación de equivalencia se basa en el siguiente lema: ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle (f_{U},U)}$ ${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (f_{U},U)}$ ${\displaystyle ({f'}_{U'},U')}$ ${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle {f'}_{U'}}$ ${\displaystyle U\cap U'}$ ${\displaystyle V}$

• Si dos morfismos de variedades son iguales en algún conjunto abierto no vacío, entonces son iguales.

${\displaystyle f}$Se dice que es dominante si uno (equivalentemente, cada) representante en la clase de equivalencia es un morfismo dominante , es decir, tiene una imagen densa. Se dice que es biracional si existe una función racional que es su inversa, donde la composición se toma en el sentido anterior. ${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\colon W\to V}$

La importancia de los mapas racionales para la geometría algebraica está en la conexión entre dichos mapas y los mapas entre los cuerpos de funciones de y . Por definición, una función racional es simplemente un mapa racional cuyo rango es la línea proyectiva . La composición de funciones nos permite entonces " retraer " funciones racionales a lo largo de un mapa racional, de modo que un único mapa racional induce un homomorfismo de cuerpos . En particular, el siguiente teorema es central: el funtor de la categoría de variedades proyectivas con mapas racionales dominantes (sobre un cuerpo base fijo, por ejemplo ) a la categoría de extensiones de cuerpo finitamente generadas del cuerpo base con inclusión inversa de extensiones como morfismos, que asocia cada variedad a su cuerpo de funciones y cada mapa al mapa asociado de cuerpos de funciones, es una equivalencia de categorías . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle K(W)\to K(V)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ejemplos

Mapas racionales de espacios proyectivos

Existe una función racional que envía una razón . Como el punto no puede tener una imagen, esta función es solo racional y no un morfismo de variedades. En términos más generales, existen funciones racionales para enviar una -tupla a una -tupla olvidando las últimas coordenadas. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x:y]}$ ${\displaystyle [0:0:1]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Inclusiones de subvariedades abiertas

En una variedad conexa , la inclusión de cualquier subvariedad abierta es una equivalencia biracional ya que las dos variedades tienen cuerpos de funciones equivalentes. Es decir, cada función racional puede restringirse a una función racional y, a la inversa, una función racional define una clase de equivalencia racional en . Un excelente ejemplo de este fenómeno es la equivalencia biracional de y , por lo tanto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:U\to X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle (U,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})\cong k(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Cubriendo espacios en subconjuntos abiertos

Los espacios de cobertura sobre subconjuntos abiertos de una variedad dan amplios ejemplos de aplicaciones racionales que no son biracionales. Por ejemplo, el teorema de Belyi establece que toda curva algebraica admite una aplicación que se ramifica en tres puntos. Entonces, hay un espacio de cobertura asociado que define un morfismo racional dominante que no es biracional. Otra clase de ejemplos proviene de las curvas hiperelípticas que son dobles cubrimientos de ramificados en un número finito de puntos. Otra clase de ejemplos se da al tomar una hipersuperficie y restringir una aplicación racional a . Esto da una cobertura ramificada. Por ejemplo, la superficie cúbica dada por el lugar geométrico evanescente tiene una aplicación racional a enviando . Esta aplicación racional se puede expresar como la extensión del campo de grados ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle C|_{U}\to U=\mathbb {P} ^{1}-\{p_{1},p_{2},p_{3}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle [x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]}$ ${\displaystyle 3}$ $${\displaystyle k(x,y,z)\to {\frac {k(x,y,z)[w]}{(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}}}$$

Resolución de singularidades

Uno de los ejemplos canónicos de una función biracional es la resolución de singularidades . Sobre un cuerpo de característica 0, cada variedad singular tiene asociada una variedad no singular con una función biracional . Esta función tiene la propiedad de ser un isomorfismo sobre y la fibra sobre es un divisor de cruce normal. Por ejemplo, una curva nodal como es biracional a ya que topológicamente es una curva elíptica con uno de los círculos contraído. Entonces, la función biracional viene dada por la normalización . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle U=X-{\text{Sing}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Sing}}(X)}$ ${\displaystyle C=Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}-xyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Equivalencia birracional

Se dice que dos variedades son biracionalmente equivalentes si existe una función biracional entre ellas; este teorema establece que la equivalencia biracional de variedades es idéntica al isomorfismo de sus cuerpos de funciones como extensiones del cuerpo base. Esto es algo más liberal que la noción de isomorfismo de variedades (que requiere un morfismo definido globalmente para atestiguar el isomorfismo, no simplemente una función racional), en el sentido de que existen variedades que son biracionales pero no isomorfas.

El ejemplo habitual es que es biracional a la variedad contenida en que consiste en el conjunto de puntos proyectivos tales que , pero no isomorfo. De hecho, dos rectas cualesquiera en se intersecan, pero las rectas en definidas por y no pueden intersecar ya que su intersección tendría todas las coordenadas cero. Para calcular el campo de funciones de pasamos a un subconjunto afín (que no cambia el campo, una manifestación del hecho de que una función racional depende solo de su comportamiento en cualquier subconjunto abierto de su dominio) en el que ; en el espacio proyectivo esto significa que podemos tomar y, por lo tanto, identificar este subconjunto con el plano afín. Allí, el anillo de coordenadas de es ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{3}}$ ${\displaystyle [w:x:y:z]}$ ${\displaystyle xy-wz=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w=x=0}$ ${\displaystyle y=z=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w\neq 0}$ ${\displaystyle w=1}$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle A(X)=k[x,y,z]/(xy-z)\cong k[x,y]}$

a través del mapa . Y el campo de fracciones de este último es simplemente , isomorfo al de . Nótese que en ningún momento realmente producimos un mapa racional, aunque rastreando la prueba del teorema es posible hacerlo. ${\displaystyle p(x,y,z)+(xy-z)A(X)\mapsto p(x,y,xy)}$ ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$

Véase también

• Geometría birracional
• Explotando
• Campo de funciones de una variedad algebraica
• Resolución de singularidades
• Programa modelo mínimo
• Estructura del registro

Referencias

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157, sección I.4.