Glosario de geometría algebraica

Este es un glosario de geometría algebraica .

Véase también glosario de álgebra conmutativa , glosario de geometría algebraica clásica y glosario de teoría de anillos . Para las aplicaciones de teoría de números, véase glosario de aritmética y geometría diofántica .

Para simplificar, a menudo se omite una referencia al esquema base, es decir, un esquema será un esquema sobre algún esquema base fijo S y un morfismo un S -morfismo.

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${\displaystyle \eta }$

Un punto genérico . Por ejemplo, el punto asociado al ideal cero para cualquier esquema integral afín.

F ( n ), F ( D )

1. Si X es un esquema proyectivo con haz tortuoso de Serre y si F es un -módulo, entonces ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).}$

2. Si D es un divisor de Cartier y F es un módulo ( X arbitrario), entonces Si D es un divisor de Weil y F es reflexivo, entonces uno reemplaza F ( D ) por su envoltura reflexiva (y llama al resultado todavía F ( D ).) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).}$

| el |

El sistema lineal completo de un divisor de Weil D en una variedad completa normal X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k ; es decir, . Existe una biyección entre el conjunto de puntos k -racionales de | D | y el conjunto de divisores de Weil efectivos en X que son linealmente equivalentes a D . ^[1] Se utiliza la misma definición si D es un divisor de Cartier en una variedad completa sobre k . ${\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)))}$

[X/G]

La pila de cocientes de, digamos, un espacio algebraico X por una acción de un esquema de grupo G.

${\displaystyle X/\!/G}$

El cociente GIT de un esquema X por una acción de un esquema de grupo G.

L- ⁿ

Una notación ambigua. Generalmente significa una potencia tensorial n -ésima de L pero también puede significar el número de autointersección de L . Si , el haz de estructura en X , entonces significa la suma directa de n copias de . ${\displaystyle L={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

El haz lineal tautológico . Es el dual del haz tortuoso de Serre . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

Haz tortuoso de Serre . Es el dual del fibrado lineal tautológico . También se le denomina fibrado hiperplano. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

1. Si D es un divisor de Cartier efectivo en X , entonces es el inverso del haz ideal de D .

2. La mayoría de las veces, la imagen de D es bajo el homomorfismo de grupo natural del grupo de divisores de Cartier al grupo de Picard de X , el grupo de clases de isomorfismo de fibrados lineales en X. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$

3. En general, el haz corresponde a un divisor de Weil D (en un esquema normal ). No necesita ser localmente libre, solo reflexivo . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

4. Si D es un -divisor, entonces es de la parte integral de D . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$

1.   es el haz de diferenciales de Kähler en X . ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

2.   es la p -ésima potencia exterior de . ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

1. Si p es 1, este es el haz de diferenciales de Kähler logarítmicos en X a lo largo de D (aproximadamente formas diferenciales con polos simples a lo largo de un divisor D ).

2.   es la p -ésima potencia exterior de . ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

P ( V )

La notación es ambigua. Su significado tradicional es la proyectivización de un espacio vectorial k de dimensión finita V ; es decir, (el Proj del anillo de funciones polinómicas k [ V ]) y sus k -puntos corresponden a líneas en V . En contraste, Hartshorne y EGA escriben P ( V ) para el Proj del álgebra simétrica de V . ${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\operatorname {Proj} (k[V])=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V^{*}))}$

Factorial Q

Una variedad normal es -factorial si cada divisor -Weil es -Cartier. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Especificar( R )

El conjunto de todos los ideales primos en un anillo R con topología de Zariski ; se llama espectro primo de R.

Especificación _X ( F )

La Spec relativa del álgebra O _X F. También se denota por Spec ( F ) o simplemente Spec ( F ).

Especifique ^una ( R )

El conjunto de todas las valoraciones de un anillo R con una determinada topología débil ; se denomina espectro de Berkovich de R.

A

abeliano

1. Una variedad abeliana es una variedad de grupo completa. Por ejemplo, considere la variedad compleja o una curva elíptica sobre un cuerpo finito . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

2. Un esquema abeliano es una familia (plana) de variedades abelianas.

fórmula de adjunción

1. Si D es un divisor de Cartier efectivo en una variedad algebraica X , admitiendo ambos haces dualizantes , entonces la fórmula de adjunción dice: . ${\displaystyle \omega _{D},\omega _{X}}$ ${\displaystyle \omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}}$

2. Si además X y D son suaves, entonces la fórmula equivale a decir: donde son divisores canónicos en D y X . ${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$ ${\displaystyle K_{D},K_{X}}$

afín

1.   El espacio afín es aproximadamente un espacio vectorial donde uno ha olvidado cuál es el punto de origen.

2. Una variedad afín es una variedad en el espacio afín.

3. Un esquema afín es un esquema que es el espectro primo de algún anillo conmutativo.

4. Un morfismo se denomina afín si la preimagen de cualquier subconjunto afín abierto es a su vez afín. En términos más sofisticados, los morfismos afines se definen mediante la construcción Spec global para haces de O _X -Álgebras, definidas por analogía con el espectro de un anillo . Los morfismos afines importantes son los fibrados vectoriales y los morfismos finitos .

5. El cono afín sobre una subvariedad cerrada X de un espacio proyectivo es la Spec del anillo de coordenadas homogéneo de X .

La geometría algebraica ocupó un lugar central en las matemáticas del siglo pasado. Los trabajos más profundos de Abel, Riemann, Weierstrass y muchos de los trabajos más importantes de Klein y Poincaré pertenecen a este dominio. A finales del siglo pasado y principios del presente, la actitud hacia la geometría algebraica cambió abruptamente. ... El estilo de pensamiento que se desarrolló plenamente en la geometría algebraica en ese momento estaba demasiado alejado del espíritu teórico de conjuntos y axiomático que entonces determinaba el desarrollo de las matemáticas. ... A mediados del presente siglo, la geometría algebraica había experimentado en gran medida un proceso de remodelación de este tipo. Como resultado, puede volver a reclamar la posición que una vez ocupó en las matemáticas.

Del prefacio de IR Shafarevich, Geometría algebraica básica.

geometría algebraica

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que estudia las soluciones de las ecuaciones algebraicas.

Geometría algebraica sobre el campo con un elemento

Un objetivo es probar la hipótesis de Riemann . ^[2] Véase también el campo con un elemento y Peña, Javier López; Lorscheid, Oliver (2009-08-31). "Mapping F_1-land:An overview of geometries over the field with one element". arXiv : 0909.0069 [math.AG].así como ^{[3] [4]} .

grupo algebraico

Un grupo algebraico es una variedad algebraica que también es un grupo de tal manera que las operaciones de grupo son morfismos de variedades.

esquema algebraico

Un esquema separado de tipo finito sobre un cuerpo. Por ejemplo, una variedad algebraica es un esquema algebraico irreducible reducido.

conjunto algebraico

Un conjunto algebraico sobre un cuerpo k es un esquema reducido separado de tipo finito sobre . Un conjunto algebraico irreducible se denomina variedad algebraica. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$

espacio algebraico

Un espacio algebraico es un cociente de un esquema por la relación de equivalencia étale .

variedad algebraica

Una variedad algebraica sobre un cuerpo k es un esquema integral separado de tipo finito sobre . Nótese que no suponer que k es algebraicamente cerrado provoca cierta patología; por ejemplo, no es una variedad ya que el anillo de coordenadas no es un dominio integral . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} \times _{\mathbb {R} }\operatorname {Spec} \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

paquete de vectores algebraicos

Un haz localmente libre de rango finito.

amplio

Un fibrado lineal de una variedad proyectiva es amplio si alguna potencia tensorial del mismo es muy amplia.

Geometría de Arakelov

Geometría algebraica sobre la compactificación de Spec del anillo de enteros racionales . Véase geometría de Arakelov . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

género aritmético

El género aritmético de una variedad proyectiva X de dimensión r es . ${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)}$

Pila de Artin

Otro término para una pila algebraica .

Artiniano

De dimensión cero y noetheriano. La definición se aplica tanto a un esquema como a un anillo.

B

Función de Behrend

La característica de Euler ponderada de una pila (buena) X con respecto a la función de Behrend es el grado de la clase fundamental virtual de X.

Fórmula de trazas de Behrend

La fórmula de traza de Behrend generaliza la fórmula de traza de Grothendieck ; ambas fórmulas calculan la traza de la cohomología de Frobenius en l -ádica.

grande

Un gran fibrado lineal L en X de dimensión n es un fibrado lineal tal que . ${\displaystyle \displaystyle \limsup _{l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0}$

morfismo biracional

Un morfismo biracional entre esquemas es un morfismo que se convierte en un isomorfismo después de restringirse a algún subconjunto denso abierto. Uno de los ejemplos más comunes de un mapa biracional es el mapa inducido por una explosión.

explosión

Una explosión es una transformación biracional que reemplaza un subesquema cerrado por un divisor de Cartier efectivo. Precisamente, dado un esquema noetheriano X y un subesquema cerrado , la explosión de X a lo largo de Z es un morfismo propio tal que (1) es un divisor de Cartier efectivo, llamado divisor excepcional y (2) es universal con respecto a (1). Concretamente, se construye como el Proj relativo del álgebra de Rees de con respecto al haz ideal que determina Z . ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle O_{X}}$

do

Calabi-Yau

La métrica de Calabi-Yau es una métrica de Kähler cuya curvatura de Ricci es cero.

canónico

1. El haz canónico sobre una variedad normal X de dimensión n es donde i es la inclusión del lugar geométrico liso U y es el haz de formas diferenciales sobre U de grado n . Si el cuerpo base tiene característica cero en lugar de normalidad, entonces se puede reemplazar i por una resolución de singularidades. ${\displaystyle \omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}}$ ${\displaystyle \Omega _{U}^{n}}$

2. La clase canónica de una variedad normal X es la clase divisora ​​tal que . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}}$

3. El divisor canónico es un representante de la clase canónica denotada por el mismo símbolo (y no bien definido). ${\displaystyle K_{X}}$

4. El anillo canónico de una variedad normal X es el anillo de sección del haz canónico .

modelo canónico

El modelo canónico es el Proyección de un anillo canónico (asumiendo que el anillo se genera finitamente).

Cartier

Un divisor de Cartier efectivo D en un esquema X sobre S es un subesquema cerrado de X que es plano sobre S y cuyo haz ideal es invertible (localmente libre de rango uno).

Regularidad en Castelnuovo-Mumford

La regularidad de Castelnuovo-Mumford de un haz coherente F en un espacio proyectivo sobre un esquema S es el entero más pequeño r tal que ${\displaystyle f:\mathbf {P} _{S}^{n}\to S}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}F(r-i)=0}$

para todo i > 0.

de cadena

Un esquema es catenario si todas las cadenas entre dos subesquemas cerrados irreducibles tienen la misma longitud. Los ejemplos incluyen prácticamente todo, por ejemplo, variedades en un campo, y es difícil construir ejemplos que no sean catenarios.

fibra central

Una fibra especial.

Grupo Chow

El k -ésimo grupo de Chow de una variedad suave X es el grupo abeliano libre generado por subvariedades cerradas de dimensión k (grupo de k - ciclos ) módulo equivalencias racionales . ${\displaystyle A_{k}(X)}$

clasificación

1.   La clasificación es un principio rector en todas las matemáticas, en el que se intenta describir todos los objetos que satisfacen ciertas propiedades hasta equivalencias dadas mediante datos más accesibles, como invariantes o incluso algún proceso constructivo. En geometría algebraica se distingue entre invariantes discretos y continuos. Para los invariantes de clasificación continua se intenta además proporcionar alguna estructura geométrica que conduzca a espacios de módulos .

2.   Las curvas suaves completas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se clasifican hasta la equivalencia racional por su género . (a) . curvas racionales , es decir, la curva es biracional a la línea proyectiva . (b) . curvas elípticas , es decir, la curva es un esquema de grupo unidimensional completo después de elegir cualquier punto en la curva como identidad. (c) . curvas hiperbólicas , también llamadas curvas de tipo general . Ver curvas algebraicas para ejemplos . La clasificación de curvas suaves se puede refinar por el grado para curvas proyectivamente incrustadas , en particular cuando se restringen a curvas planas . Tenga en cuenta que todas las curvas suaves completas son proyectivas en el sentido de que admiten incrustaciones en el espacio proyectivo, pero para que el grado esté bien definido, la elección de tal incrustación tiene que especificarse explícitamente. La aritmética de una curva suave completa sobre un cuerpo numérico (en particular, el número y la estructura de sus puntos racionales) está gobernada por la clasificación de la base de curva asociada cambiada a un cierre algebraico. Consulte el teorema de Falting para obtener detalles sobre las implicaciones aritméticas. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

3. Clasificación de superficies lisas completas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado hasta la equivalencia racional. Véase una descripción general de la clasificación o la clasificación de Enriques-Kodaira para obtener más detalles.

4. Clasificación de singularidades o de vecindades de Zariski asociadas sobre cuerpos algebraicamente cerrados hasta isomorfismo. (a) En la característica 0, el resultado de resolución de Hironaka asigna invariantes a una singularidad que los clasifica. (b) Para curvas y superficies, la resolución es conocida en cualquier característica que también produzca una clasificación. Véase aquí para curvas o aquí para curvas y superficies .

5. Clasificación de las variedades de Fano en pequeña dimensión.

6. El programa de modelo mínimo es un enfoque para la clasificación birracional de variedades lisas completas en una dimensión superior (al menos 2). Si bien el objetivo original es el de las variedades lisas, las singularidades terminales aparecen de manera natural y forman parte de una clasificación más amplia.

7. Clasificación de grupos reductivos divididos hasta isomorfismo sobre cuerpos algebraicamente cerrados.

pila de clasificación

Un análogo de un espacio de clasificación para torsores en geometría algebraica; ver pila de clasificación .

cerrado

Los subesquemas cerrados de un esquema X se definen como aquellos que aparecen en la siguiente construcción. Sea J un haz cuasi-coherente de ideales - . El soporte del haz cociente es un subconjunto cerrado Z de X y es un esquema llamado subesquema cerrado definido por el haz cuasi-coherente de ideales J . ^[6] La razón por la que la definición de subesquemas cerrados se basa en dicha construcción es que, a diferencia de los subconjuntos abiertos, un subconjunto cerrado de un esquema no tiene una estructura única como subesquema. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/J}$ ${\displaystyle (Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})}$

Cohen–Macaulay

Un esquema se denomina Cohen-Macaulay si todos los anillos locales son Cohen-Macaulay . Por ejemplo, los esquemas regulares y Spec k [ x,y ]/( xy ) son Cohen–Macaulay, perono es.

haz coherente

Un haz coherente en un esquema noetheriano X es un haz cuasi-coherente que se genera finitamente como O _X -módulo.

cónico

Una curva algebraica de grado dos.

conectado

El esquema está conectado como un espacio topológico. Dado que los componentes conectados refinan los componentes irreducibles, cualquier esquema irreducible está conectado, pero no al revés. Un esquema afín Spec(R) está conectado si y solo si el anillo R no posee idempotentes distintos de 0 y 1; un anillo de este tipo también se denomina anillo conectado . Entre los ejemplos de esquemas conectados se incluyen el espacio afín , el espacio proyectivo y un ejemplo de esquema que no está conectado es Spec ( k [ x ]× k [ x ]).

compactificación

Véase por ejemplo el teorema de compactificación de Nagata .

Anillo de Cox

Generalización de un anillo de coordenadas homogéneo. Véase anillo de Cox .

crepante

Un morfismo crepante entre variedades normales es un morfismo tal que . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}}$

curva

Una variedad algebraica de dimensión uno.

D

deformación

Sea un morfismo de esquemas y X un S -esquema. Entonces una deformación X ' de X es un S -esquema junto con un cuadrado de pullback en el que X es el pullback de X ' (normalmente se supone que X ' es plano ). ${\displaystyle S\to S'}$

lugar de degeneración

Dado un mapa de fibrados vectoriales sobre una variedad X (es decir, un morfismo de esquema X entre los espacios totales de los fibrados), el lugar de degeneración es el lugar (teórico del esquema) . ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}}$

degeneración

1. Se dice que un esquema X degenera en un esquema (llamado límite de X ) si existe un esquema con fibra genérica X y fibra especial . ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle \pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

2. Una degeneración plana es una degeneración tal que es plana. ${\displaystyle \pi }$

dimensión

La dimensión , por definición la longitud máxima de una cadena de subesquemas cerrados irreducibles, es una propiedad global. Puede verse localmente si un esquema es irreducible. Depende solo de la topología, no del haz de estructura. Véase también Dimensión global . Ejemplos: esquemas equidimensionales en dimensión 0: esquemas artinianos , 1: curvas algebraicas , 2: superficies algebraicas .

grado

1. El grado de un fibrado de líneas L en una variedad completa es un entero d tal que . ${\displaystyle \chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})}$

2. Si x es un ciclo sobre una variedad completa sobre un cuerpo k , entonces su grado es . ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} k}$ ${\displaystyle f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z} }$

3. Para el grado de un morfismo finito, véase morfismo de variedades#Grado de un morfismo finito .

geometría algebraica derivada

Una aproximación a la geometría algebraica que utiliza espectros de anillos ( conmutativos ) en lugar de anillos conmutativos ; véase geometría algebraica derivada .

divisorio

1. Un haz divisorial en una variedad normal es un haz reflexivo de la forma O _X ( D ) para algún divisor de Weil D .

2. Un esquema divisorio es un esquema que admite una familia amplia de haces invertibles. Un esquema que admite un haz invertible amplio es un ejemplo básico.

dominante

Un morfismo f  : X → Y se llama dominante , si la imagen f ( X ) es densa . Un morfismo de esquemas afines Spec A → Spec B es denso si y sólo si el núcleo de la función correspondiente B → A está contenido en el nilradical de B.

complejo dualizante

Ver dualidad coherente .

gavilla dualizante

En un esquema proyectivo de Cohen-Macaulay de dimensión pura n , el haz dualizante es un haz coherente en X tal que es válido para cualquier haz localmente libre F en X ; por ejemplo, si X es una variedad proyectiva suave, entonces es un haz canónico . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H^{n-i}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}}$

mi

Elementos de geometría algébrique

La EGA fue un intento incompleto de sentar las bases de la geometría algebraica basándose en la noción de esquema , una generalización de una variedad algebraica. El Séminaire de géométrie algébrique retoma el trabajo de la EGA y hoy es una de las referencias estándar en geometría algebraica.

curva elíptica

Una curva elíptica es una curva proyectiva suave de género uno.

esencialmente de tipo finito

Localización de un esquema de tipo finito.

étalo

Un morfismo f  : Y → X es étale si es plano y no ramificado. Existen otras definiciones equivalentes. En el caso de variedades suaves y sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , los morfismos étale son precisamente aquellos que inducen un isomorfismo de espacios tangentes , lo que coincide con la noción habitual de función étale en geometría diferencial. Los morfismos étale forman una clase muy importante de morfismos; se utilizan para construir la llamada topología étale y en consecuencia la cohomología étale , que es hoy en día una de las piedras angulares de la geometría algebraica. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X}$

secuencia de Euler

La secuencia exacta de las gavillas:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,}$

donde P ⁿ es el espacio proyectivo sobre un cuerpo y el último término distinto de cero es el haz tangente , se llama secuencia de Euler .

teoría de intersección equivariante

Véase el Capítulo II de http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

F

F -regular

Relacionado con el morfismo de Frobenius . ^[7]

Fano

Una variedad Fano es una variedad proyectiva suave X cuyo haz anticanónico es amplio. ${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$

fibra

Dada entre esquemas, la fibra de f sobre y es, como conjunto, la preimagen ; tiene la estructura natural de un esquema sobre el campo de residuos de y como producto de la fibra , donde tiene la estructura natural de un esquema sobre Y como Spec del campo de residuos de y . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}}$ ${\displaystyle X\times _{Y}\{y\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$

producto de fibra

1. Otro término para el " retroceso " en la teoría de categorías.

2. Una pila dada para : un objeto sobre B es una terna ( x , y , ψ), x en F ( B ), y en H ( B ), ψ un isomorfismo en G ( B ); una flecha de ( x , y , ψ) a ( x' , y ' , ψ') es un par de morfismos tales que . El cuadrado resultante con proyecciones obvias no conmuta; más bien, conmuta hasta el isomorfismo natural; es decir, conmuta en 2. ${\displaystyle F\times _{G}H}$ ${\displaystyle f:F\to G,g:H\to G}$ ${\displaystyle f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$ ${\displaystyle \alpha :x\to x',\beta :y\to y'}$ ${\displaystyle \psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi }$

final

Una de las ideas fundamentales de Grothendieck es enfatizar las nociones relativas , es decir, las condiciones sobre los morfismos en lugar de las condiciones sobre los esquemas mismos. La categoría de esquemas tiene un objeto final , el espectro del anillo de los enteros; de modo que cualquier esquema es sobre , y de manera única. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$

finito

El morfismo f  : Y → X es finito si puede ser cubierto por conjuntos abiertos afines tales que cada uno sea afín —por ejemplo, de la forma — y además se genere finitamente como un -módulo. Véase morfismo finito . Los morfismos finitos son cuasi-finitos, pero no todos los morfismos que tienen fibras finitas son cuasi-finitos, y los morfismos de tipo finito normalmente no son cuasi-finitos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

tipo finito (localmente)

El morfismo f  : Y → X es localmente de tipo finito si puede ser cubierto por conjuntos abiertos afines tales que cada imagen inversa es cubierta por conjuntos abiertos afines donde cada una es generada finitamente como un -álgebra. El morfismo f  : Y → X es de tipo finito si puede ser cubierto por conjuntos abiertos afines tales que cada imagen inversa es cubierta por un número finito de conjuntos abiertos afines donde cada una es generada finitamente como un -álgebra. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

fibras finitas

El morfismo f  : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto es un conjunto finito. Un morfismo es cuasi-finito si es de tipo finito y tiene fibras finitas. ${\displaystyle x\in X}$

presentación finita

Si y es un punto de Y , entonces el morfismo f es de presentación finita en y (o finitamente presentado en y ) si hay un entorno afín abierto U de f(y) y un entorno afín abierto V de y tal que f ( V ) ⊆  U y es un álgebra finitamente presentada sobre . El morfismo f es localmente de presentación finita si es finitamente presentado en todos los puntos de Y . Si X es localmente noetheriano, entonces f es localmente de presentación finita si, y solo si, es localmente de tipo finito. ^[8] El morfismo f  : Y → X es de presentación finita (o Y es finitamente presentado sobre X ) si es localmente de presentación finita, cuasi-compacto y cuasi-separado. Si X es localmente noetheriano, entonces f es de presentación finita si, y solo si, es de tipo finito. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

Variedad de banderas

La variedad de bandera parametriza una bandera de espacios vectoriales.

departamento

Un morfismo es plano si da lugar a una función plana sobre los tallos. Si consideramos un morfismo f  : Y → X como una familia de esquemas parametrizados por los puntos de , el significado geométrico de la planitud podría describirse aproximadamente diciendo que las fibras no varían demasiado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)}$

formal

Ver esquema formal .

GRAMO

gramo^​_​

Dada una curva C , un divisor D sobre ella y un subespacio vectorial , se dice que el sistema lineal es ag ^r _d si V tiene dimensión r +1 y D tiene grado d . Se dice que C tiene ag ^r _d si existe tal sistema lineal. ${\displaystyle V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg

El teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg establece que un esquema X puede recuperarse a partir de la categoría de haces cuasi-coherentes en X. ^[10] El teorema es un punto de partida para la geometría algebraica no conmutativa ya que, tomando el teorema como un axioma, definir un esquema no conmutativo equivale a definir la categoría de haces cuasi-coherentes en él. Véase también https://mathoverflow.net/q/16257

Paquete G

Un haz G principal.

punto genérico

Un punto denso.

género

Ver #género aritmético, #género geométrico.

fórmula de género

La fórmula de género para una curva nodal en el plano proyectivo dice que el género de la curva se da como donde d es el grado de la curva y δ es el número de nodos (que es cero si la curva es suave). ${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2-\delta }$

género geométrico

El género geométrico de una variedad proyectiva suave X de dimensión n es (donde la igualdad es el teorema de dualidad de Serre ). ${\displaystyle \dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

punto geométrico

El espectro primo de un campo algebraicamente cerrado.

propiedad geométrica

Una propiedad de un esquema X sobre un campo k es " geométrica " ​​si es válida para cualquier extensión del campo . ${\displaystyle X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}}$ ${\displaystyle E/k}$

cociente geométrico

El cociente geométrico de un esquema X con la acción de un esquema de grupo G es un buen cociente tal que las fibras son órbitas.

gerbera

Una gerbe es (aproximadamente) una pila que localmente no está vacía y en la que dos objetos son localmente isomorfos.

Cociente GIT

El cociente GIT es cuando y cuando . ${\displaystyle X/\!/G}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (A^{G})}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} A}$

buen cociente

El buen cociente de un esquema X con la acción de un esquema de grupo G es un morfismo invariante tal que ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.}$

Gorenstein

1. Un esquema de Gorenstein es un esquema noetheriano local cuyos anillos locales son anillos de Gorenstein .

2. Se dice que una variedad normal es -Gorenstein si su divisor canónico es -Cartier (y no necesita ser Cohen–Macaulay). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

3. Algunos autores llaman a una variedad normal Gorenstein si el divisor canónico es Cartier; tenga en cuenta que este uso es inconsistente con el significado 1.

Teorema de desaparición de Grauert-Riemenschneider

El teorema de desaparición de Grauert-Riemenschneider extiende el teorema de desaparición de Kodaira a haces de imágenes directas superiores; véase también https://arxiv.org/abs/1404.1827

Anillo de variedades de Grothendieck

El anillo de variedades de Grothendieck es el grupo abeliano libre generado por clases de isomorfismo de variedades con la relación: donde Z es una subvariedad cerrada de una variedad X y equipada con la multiplicación ${\displaystyle [X]=[Z]+[X-Z]}$ ${\displaystyle [X]\cdot [Y]=[X\times Y].}$

Teorema de desaparición de Grothendieck

El teorema de desaparición de Grothendieck se refiere a la cohomología local .

esquema de grupo

Un esquema de grupo es un esquema cuyos conjuntos de puntos tienen las estructuras de un grupo .

variedad de grupo

Un término antiguo para un grupo algebraico "suave".

yo

Polinomio de Hilbert

El polinomio de Hilbert de un esquema proyectivo X sobre un campo es la característica de Euler . ${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))}$

Paquete Hodge

El fibrado de Hodge en el espacio de módulos de curvas (de género fijo) es aproximadamente un fibrado vectorial cuya fibra sobre una curva C es el espacio vectorial . ${\displaystyle \Gamma (C,\omega _{C})}$

hiperelíptico

Una curva es hiperelíptica si tiene una g ¹ ₂ (es decir, existe un sistema lineal de dimensión 1 y grado 2).

paquete de hiperplanos

Otro término para el haz retorcido de Serre . Es el dual del haz lineal tautológico (de ahí el término). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

I

imagen

Si f  : Y → X es cualquier morfismo de esquemas, la imagen esquema-teórica de f es el único subesquema cerrado i  : Z → X que satisface la siguiente propiedad universal :

1. f factores a través de i ,
2. Si j  : Z ′ → X es cualquier subesquema cerrado de X tal que f se factoriza a través de j , entonces i también se factoriza a través de j . ^{[11] [12]}

Esta noción es distinta de la de la imagen habitual de la teoría de conjuntos de f , f ( Y ). Por ejemplo, el espacio subyacente de Z siempre contiene (pero no es necesariamente igual a) la clausura de Zariski de f ( Y ) en X , por lo que si Y es cualquier subesquema abierto (y no cerrado) de X y f es la función de inclusión, entonces Z es diferente de f ( Y ). Cuando Y se reduce, entonces Z es la clausura de Zariski de f ( Y ) dotada de la estructura de subesquema cerrado reducido. Pero en general, a menos que f sea cuasi-compacta, la construcción de Z no es local en X .

inmersión

Las inmersiones f  : Y → X son mapas que se factorizan a través de isomorfismos con subesquemas. Específicamente, una inmersión abierta se factoriza a través de un isomorfismo con un subesquema abierto y una inmersión cerrada se factoriza a través de un isomorfismo con un subesquema cerrado. ^[13] Equivalentemente, f es una inmersión cerrada si, y solo si, induce un homeomorfismo del espacio topológico subyacente de Y a un subconjunto cerrado del espacio topológico subyacente de X , y si el morfismo es sobreyectivo. ^[14] Una composición de inmersiones es nuevamente una inmersión. ^[15] Algunos autores, como Hartshorne en su libro Algebraic Geometry y Q. Liu en su libro Algebraic Geometry and Arithmetic Curves , definen las inmersiones como la composición de una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada. Estas inmersiones son inmersiones en el sentido anterior, pero lo inverso es falso. Además, bajo esta definición, el compuesto de dos inmersiones no es necesariamente una inmersión. Sin embargo, las dos definiciones son equivalentes cuando f es cuasi-compacto. ^[16] Nótese que una inmersión abierta se describe completamente por su imagen en el sentido de espacios topológicos, mientras que una inmersión cerrada no lo es: y puede ser homeomorfa pero no isomorfa. Esto sucede, por ejemplo, si I es el radical de J pero J no es un ideal radical. Cuando se especifica un subconjunto cerrado de un esquema sin mencionar la estructura del esquema, generalmente se hace referencia a la llamada estructura de esquema reducida , es decir, la estructura de esquema correspondiente al ideal radical único que consiste en todas las funciones que se desvanecen en ese subconjunto cerrado. ${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A/J}$

esquema ind

Un esquema-ind es un límite inductivo de inmersiones cerradas de esquemas.

gavilla invertible

Un haz localmente libre de un rango uno. Equivalentemente, es un torsor para el grupo multiplicativo (es decir, fibrado lineal). ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

integral

Un esquema que es a la vez reducido e irreducible se llama integral . Para los esquemas localmente noetherianos, ser integral es equivalente a ser un esquema conexo que está cubierto por los espectros de los dominios integrales . (Estrictamente hablando, esta no es una propiedad local, porque la unión disjunta de dos esquemas integrales no es integral. Sin embargo, para los esquemas irreducibles, es una propiedad local). Por ejemplo, el esquema Spec k [ t ]/ f , f polinomio irreducible es integral, mientras que Spec A × B ( A , B ≠ 0) no lo es.

irreducible

Se dice que un esquema X es irreducible cuando (como espacio topológico) no es la unión de dos subconjuntos cerrados excepto si uno es igual a X . Usando la correspondencia de ideales primos y puntos en un esquema afín, esto significa que X es irreducible si y solo si X es conexo y los anillos A _i tienen exactamente un ideal primo mínimo . (Por lo tanto, los anillos que poseen exactamente un ideal primo mínimo también se denominan irreducibles ). Cualquier esquema noetheriano se puede escribir de forma única como la unión de un número finito de subconjuntos cerrados no vacíos irreducibles máximos, llamados sus componentes irreducibles . El espacio afín y el espacio proyectivo son irreducibles, mientras que Spec k [ x,y ]/( xy ) =no es.

Yo

Variedad jacobiana

La variedad jacobiana de una curva proyectiva X es la parte de grado cero de la variedad Picard . ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$

K

Teorema de desaparición de Kempf

El teorema de desaparición de Kempf se refiere a la desaparición de la cohomología superior de una variedad de bandera.

klt

Abreviatura de " terminal de troncos de kawamata "

Dimensión de Kodaira

1. La dimensión de Kodaira (también llamada dimensión de Iitaka ) de un fibrado lineal semiamplio L es la dimensión de Proj del anillo de sección de L.

2. La dimensión Kodaira de una variedad normal X es la dimensión Kodaira de su haz canónico.

Teorema de desaparición de Kodaira

Véase el teorema de desaparición de Kodaira .

Mapa de Kuranishi

Ver estructura de Kuranishi .

yo

Número de Lelong

Ver número de Lelong .

Estructura de niveles

ver http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf

linealización

Otro término para la estructura de un haz /fibrado vectorial equivariante .

local

Las propiedades más importantes de los esquemas son de naturaleza local , es decir, un esquema X tiene una cierta propiedad P si y solo si para cualquier cobertura de X por subesquemas abiertos X _i , es decir, X = X _i , cada X _i tiene la propiedad P . Por lo general, es suficiente comprobar una cobertura, no todas las posibles. También se dice que una cierta propiedad es Zariski-local , si se necesita distinguir entre la topología de Zariski y otras topologías posibles, como la topología étale . Consideremos un esquema X y una cobertura por subesquemas abiertos afines Spec A _i . Usando el diccionario entre anillos (conmutativos) y esquemas afines, las propiedades locales son, por lo tanto, propiedades de los anillos A _i . Una propiedad P es local en el sentido anterior, si y solo si la propiedad correspondiente de los anillos es estable bajo localización . Por ejemplo, podemos hablar de esquemas noetherianos localmente , es decir, aquellos que están cubiertos por los espectros de anillos noetherianos . El hecho de que las localizaciones de un anillo noetheriano sigan siendo noetherianas significa que la propiedad de un esquema de ser localmente noetheriano es local en el sentido anterior (de ahí el nombre). Otro ejemplo: si un anillo se reduce (es decir, no tiene elementos nilpotentes distintos de cero ), también lo son sus localizaciones. Un ejemplo de una propiedad no local es la separación (véase más abajo la definición). Cualquier esquema afín está separado, por lo tanto, cualquier esquema está separado localmente. Sin embargo, las piezas afines pueden pegarse patológicamente para producir un esquema no separado. La siguiente es una lista (no exhaustiva) de propiedades locales de anillos, que se aplican a esquemas. Sea X = Spec A _i una cobertura de un esquema por subesquemas afines abiertos. Para mayor precisión, sea k un cuerpo en lo que sigue. Sin embargo, la mayoría de los ejemplos también funcionan con los enteros Z como base, o incluso bases más generales. Conexo, irreducible, reducido, integral, normal, regular, Cohen-Macaulay, localmente noetheriano, dimensión, catenaria, Gorenstein. ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cup }$

intersección completa local

Los anillos locales son anillos de intersección completos . Véase también: incrustación regular .

uniformización local

La uniformización local es un método de construcción de una forma más débil de resolución de singularidades por medio de anillos de valoración .

factorial local

Los anillos locales son dominios de factorización únicos .

localmente de presentación finita

Cf. presentación finita arriba.

localmente de tipo finito

El morfismo f  : Y → X es localmente de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines tales que cada imagen inversa está cubierta por conjuntos abiertos afines donde cada uno se genera finitamente como un -álgebra. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

localmente noetheriano

Los A _i son anillos noetherianos . Si además un número finito de tales espectros afines cubre X , el esquema se llama noetheriano . Si bien es cierto que el espectro de un anillo noetheriano es un espacio topológico noetheriano , lo inverso es falso. Por ejemplo, la mayoría de los esquemas en geometría algebraica de dimensión finita son localmente noetherianos, pero no lo son. ${\displaystyle GL_{\infty }=\cup GL_{n}}$

geometría logarítmica

Estructura del registro

Véase estructura logarítmica . El concepto se debe a Fontaine-Illusie y Kato.

grupo de bucle

Véase grupo de bucles (el artículo vinculado no analiza un grupo de bucles en geometría algebraica; por ahora, véase también ind-scheme ).

METRO

módulos

Véase por ejemplo el espacio de módulos .

Aunque gran parte de los primeros trabajos sobre módulos, especialmente desde [Mum65], pusieron el énfasis en la construcción de espacios de módulos finos o gruesos, recientemente el énfasis se desplazó hacia el estudio de las familias de variedades, es decir, hacia los funtores de módulos y las pilas de módulos. La tarea principal es entender qué tipo de objetos forman familias "agradables". Una vez que se establece un buen concepto de "familias agradables", la existencia de un espacio de módulos gruesos debería ser casi automática. El espacio de módulos gruesos ya no es el objeto fundamental, sino que es solo una forma conveniente de realizar un seguimiento de cierta información que solo está latente en el funtor de módulos o la pila de módulos.

Kollár, János, Capítulo 1, "Libro sobre módulos de superficies".

El programa modelo minimalista de Mori

El programa de modelo mínimo es un programa de investigación que tiene como objetivo realizar una clasificación biracional de variedades algebraicas de dimensión mayor que 2.

morfismo

1. Un morfismo de variedades algebraicas se da localmente mediante polinomios.

2. Un morfismo de esquemas es un morfismo de espacios localmente anillados .

3. Un morfismo de pilas (sobre, digamos, la categoría de S -esquemas) es un funtor tal que donde la estructura se asigna a la categoría base. ${\displaystyle f:F\to G}$ ${\displaystyle P_{G}\circ f=P_{F}}$ ${\displaystyle P_{F},P_{G}}$

norte

nef

Ver paquete de línea nef .

no singular

Un término arcaico para "suave" como en una variedad lisa .

normal

1. Un esquema integral se denomina normal si los anillos locales son dominios integralmente cerrados . Por ejemplo, todos los esquemas regulares son normales, mientras que las curvas singulares no lo son.

2. Se dice que una curva suave es k -normal si las hipersuperficies de grado k cortan la serie lineal completa . Es proyectivamente normal si es k -normal para todo k > 0. Por lo tanto, se dice que "una curva es proyectivamente normal si el sistema lineal que la engloba es completo". El término "linealmente normal" es sinónimo de 1-normal. ${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{r}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {O}}_{C}(k)|}$

3. Se dice que una subvariedad cerrada es proyectivamente normal si la cobertura afín sobre X es un esquema normal ; es decir, el anillo de coordenadas homogéneo de X es un dominio integralmente cerrado. Este significado es coherente con el de 2. ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{r}}$

normal

1. Si X es un subesquema cerrado de un esquema Y con haz ideal I , entonces el haz normal a X es . Si el fibrado de X en Y es regular , es localmente libre y se denomina fibrado normal . ${\displaystyle (I/I^{2})^{*}={\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{Y}}(I/I^{2},{\mathcal {O}}_{Y})}$

2. El cono normal a X es . si X está regularmente incrustado en Y , entonces el cono normal es isomorfo a , el espacio total del fibrado normal a X . ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {S}}ym(I/I^{2}))}$

cruces normales

Abreviaturas nc para cruce normal y snc para cruce normal simple. Hace referencia a varias nociones estrechamente relacionadas, como divisor nc, singularidad nc, divisor snc y singularidad snc. Véase cruces normales .

normalmente generado

Se dice que un fibrado de líneas L en una variedad X se genera normalmente si, para cada entero n > 0, la función natural es sobreyectiva. ${\displaystyle \Gamma (X,L)^{\otimes n}\to \Gamma (X,L^{\otimes n})}$

Oh

abierto

1. Un morfismo f  : Y → X de esquemas se llama abierto ( cerrado ), si la función subyacente de espacios topológicos es abierta (cerrada, respectivamente), es decir, si los subesquemas abiertos de Y se asignan a subesquemas abiertos de X (y de manera similar para los cerrados). Por ejemplo, los morfismos planos finitamente presentados son abiertos y las funciones propias son cerradas.

2. Un subesquema abierto de un esquema X es un subconjunto abierto U con estructura haz . ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$

Orbifold (plegable orbicular)

Hoy en día, un orbifold se define a menudo como una pila Deligne-Mumford sobre la categoría de variedades diferenciables. ^[17]

PAG

grupo p -divisible

Véase grupo p -divisible (aproximadamente un análogo de los puntos de torsión de una variedad abeliana).

lápiz

Un sistema lineal de dimensión uno.

Grupo Picard

El grupo de Picard de X es el grupo de las clases de isomorfismo de los fibrados lineales en X , siendo la multiplicación el producto tensorial .

Incrustación de Plücker

La incrustación de Plücker es la incrustación cerrada de la variedad Grassmanniana en un espacio proyectivo.

plurigenus

El plurigenus n - ésimo de una variedad proyectiva suave es . Véase también número de Hodge . ${\displaystyle \dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})}$

Mapa de residuos de Poincaré

Véase residuo de Poincaré .

punto

Un esquema es un espacio anillado localmente , por lo que a fortiori es un espacio topológico , pero los significados del punto de son triples: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

1. un punto del espacio topológico subyacente; ${\displaystyle P}$
2. un punto de valor - es un morfismo de a , para cualquier esquema ; ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$
3. un punto geométrico , donde se define sobre (está equipado con un morfismo a) , donde es un cuerpo , es un morfismo de a donde es un cierre algebraico de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle K}$

Los puntos geométricos son lo que en los casos más clásicos, por ejemplo, variedades algebraicas que son variedades complejas , serían los puntos de sentido ordinario. Los puntos del espacio subyacente incluyen análogos de los puntos genéricos (en el sentido de Zariski , no en el de André Weil ), que se especializan en puntos de sentido ordinario. Los puntos con valores se consideran, a través del lema de Yoneda , como una forma de identificarse con el funtor representable que establece. Históricamente, hubo un proceso por el cual la geometría proyectiva agregó más puntos ( por ejemplo, puntos complejos, línea en el infinito ) para simplificar la geometría refinando los objetos básicos. Los puntos con valores fueron un gran paso adelante. Como parte del enfoque predominante de Grothendieck , hay tres nociones correspondientes de fibra de un morfismo: la primera es la imagen inversa simple de un punto. Las otras dos se forman creando productos de fibra de dos morfismos. Por ejemplo, una fibra geométrica de un morfismo se considera como . Esto hace que la extensión desde los esquemas afines , donde es solo el producto tensorial de las R-álgebras , a todos los esquemas de la operación del producto de fibra sea un resultado significativo (aunque técnicamente anodino). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h_{S}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S^{\prime }\to S}$ ${\displaystyle S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$

polarización

una incrustación en un espacio proyectivo

Proyecto

Ver Construcción del proyecto .

fórmula de proyección

La fórmula de proyección dice que, para un morfismo de esquemas, un módulo y un módulo localmente libre de rango finito, existe un isomorfismo natural (en resumen, es lineal con respecto a la acción de los haces localmente libres). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E}$ ${\displaystyle f_{*}}$

descriptivo

1. Una variedad proyectiva es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo.

2. Un esquema proyectivo sobre un esquema S es un S -esquema que se factoriza a través de algún espacio proyectivo como un subesquema cerrado. ${\displaystyle \mathbf {P} _{S}^{N}\to S}$

3. Los morfismos proyectivos se definen de forma similar a los morfismos afines: f  : Y → X se llama proyectivo si se factoriza como una inmersión cerrada seguida de la proyección de un espacio proyectivo a . ^[18] Nótese que esta definición es más restrictiva que la de EGA , II.5.5.2. Esta última define ser proyectivo si está dado por el Proj global de un O _X -Álgebra graduada cuasi-coherente tal que es finitamente generada y genera el álgebra . Ambas definiciones coinciden cuando es afín o más generalmente si es cuasi-compacto, separado y admite un haz amplio, ^[19] p.ej. si es un subesquema abierto de un espacio proyectivo sobre un anillo . ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$ ${\displaystyle A}$

haz proyectivo

Si E es un haz localmente libre en un esquema X , el fibrado proyectivo P ( E ) de E es el Proj global del álgebra simétrica del dual de E : Nótese que esta definición es estándar hoy en día (por ejemplo, la teoría de intersección de Fulton ) pero difiere de EGA y Hartshorne (no toman un dual). ${\displaystyle \mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee })).}$

proyectivamente normal

Ver #normal.

adecuado

Un morfismo es propio si está separado, universalmente cerrado (es decir, de modo que los productos de fibras con él son morfismos cerrados) y de tipo finito. Los morfismos proyectivos son propios; pero la recíproca no es en general cierta. Véase también variedad completa . Una propiedad profunda de los morfismos propios es la existencia de una factorización de Stein , es decir, la existencia de un esquema intermedio tal que un morfismo puede expresarse como uno con fibras conexas, seguido de un morfismo finito.

propiedad P

Sea P una propiedad de un esquema que es estable bajo cambio de base (de tipo finito, propio, suave, étale, etc.). Entonces se dice que un morfismo representable tiene la propiedad P si, para cualquier esquema con B , el cambio de base tiene la propiedad P . ${\displaystyle f:F\to G}$ ${\displaystyle B\to G}$ ${\displaystyle F\times _{G}B\to B}$

pseudo-reductivo

El pseudoreductivo generaliza lo reductivo en el contexto de un grupo algebraico lineal suave conectado .

dimensión pura

Un esquema tiene dimensión pura d si cada componente irreducible tiene dimensión d .

Q

cuasi-coherente

Un haz cuasi-coherente en un esquema noetheriano X es un haz de O _X -módulos que está dado localmente por módulos.

cuasi-compacto

Un morfismo f  : Y → X se llama cuasi-compacto si, para alguna (equivalentemente: toda) cubierta afín abierta de X por algún U _i = Spec B _i , las preimágenes f ⁻¹ ( U _i ) son cuasi-compactas .

cuasi-finito

El morfismo f  : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto es un conjunto finito. Un morfismo es cuasi-finito si es de tipo finito y tiene fibras finitas. ${\displaystyle x\in X}$

cuasi-proyectivo

Una variedad cuasi-proyectiva es una subvariedad localmente cerrada de un espacio proyectivo.

cuasi-separado

Un morfismo f  : Y → X se llama cuasi-separado o ( Y está cuasi-separado sobre X ) si el morfismo diagonal Y → Y × _X Y es cuasi-compacto. Un esquema Y se llama cuasi-separado si Y está cuasi-separado sobre Spec( Z ). ^[20]

cuasi-división

Un grupo reductivo definido sobre un cuerpo es cuasi-escindido si y solo si admite un subgrupo de Borel definido sobre . Cualquier grupo reductivo cuasi-escindido es un grupo reductivo escindido-reductivo, pero hay grupos reductivos cuasi-escindidos que no son escindidos-reductivos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B\subseteq G}$ ${\displaystyle k}$

Sistema de cuotas

Un esquema Quot parametriza cocientes de haces localmente libres en un esquema proyectivo.

pila de cocientes

Generalmente denotada por [ X / G ], una pila de cocientes generaliza un cociente de un esquema o variedad.

R

racional

1. En un cuerpo algebraicamente cerrado, una variedad es racional si es biracional respecto de un espacio proyectivo. Por ejemplo, las curvas racionales y las superficies racionales son aquellas biracionales respecto de . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}}$

2. Dado un cuerpo k y un esquema relativo X → S , un punto k -racional de X es un S -morfismo . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)\to X}$

función racional

Elemento del cuerpo de funciones donde el límite recorre todos los anillos de coordenadas de subconjuntos abiertos U de una variedad algebraica (irreducible) X. Véase también cuerpo de funciones (teoría de esquemas) . ${\displaystyle k(X)=\varinjlim k[U]}$

curva normal racional

Una curva normal racional es la imagen de . Si d = 3, también se denomina curva cúbica torcida . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{d},\,(s:t)\mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:\cdots :t^{d})}$

singularidades racionales

Una variedad X sobre un cuerpo de característica cero tiene singularidades racionales si hay una resolución de singularidades tal que y . ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1}$

reducido

1. Un anillo conmutativo se reduce si no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, es decir, su nilradical es el ideal cero, . De manera equivalente, se reduce si es un esquema reducido. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

2. Un esquema X es reducido si sus tallos son anillos reducidos. Equivalentemente, X es reducido si, para cada subconjunto abierto , es un anillo reducido, es decir, no tiene secciones nilpotentes distintas de cero. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle X}$

reductivo

Un grupo algebraico lineal conexo sobre un cuerpo es un grupo reductivo si y sólo si el radical unipotente del cambio de base a un cierre algebraico es trivial. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{u}(G_{\overline {k}})}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

gavilla reflexiva

Un haz coherente es reflexivo si la función canónica del segundo dual es un isomorfismo.

regular

Un esquema regular es un esquema en el que los anillos locales son anillos locales regulares . Por ejemplo, las variedades suaves sobre un campo son regulares, mientras que Spec k [ x,y ]/( x ² + x ³ - y ² )=no es.

incrustación regular

Una inmersión cerrada es una incrustación regular si cada punto de X tiene un entorno afín en Y de modo que el ideal de X allí se genera mediante una secuencia regular . Si i es una incrustación regular, entonces el haz conormal de i , es decir, cuando es el haz ideal de X , es localmente libre. ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

función regular

Un morfismo de una variedad algebraica a la recta afín .

morfismo representable

A morphism ${\displaystyle F\to G}$ of stacks such that, for any morphism ${\displaystyle B\to G}$ from a scheme B, the base change ${\displaystyle F\times _{G}B}$ is an algebraic space. If "algebraic space" is replaced by "scheme", then it is said to be strongly representable.

resolution of singularities

A resolution of singularities of a scheme X is a proper birational morphism ${\displaystyle \pi :Z\to X}$ such that Z is smooth.

Riemann–Hurwitz formula

Given a finite separable morphism ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ between smooth projective curves, if ${\displaystyle \pi }$ is tamely ramified (no wild ramification), for example, over a field of characteristic zero, then the Riemann–Hurwitz formula relates the degree of π, the genera of X, Y and the ramification indices: ${\displaystyle 2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)}$. Nowadays, the formula is viewed as a consequence of the more general formula (which is valid even if π is not tame): ${\displaystyle K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R}$where ${\displaystyle \sim }$ means a linear equivalence and ${\displaystyle R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P}$ is the divisor of the relative cotangent sheaf ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ (called the different).

Riemann–Roch formula

1.  If L is a line bundle of degree d on a smooth projective curve of genus g, then the Riemann–Roch formula computes the Euler characteristic of L: ${\displaystyle \chi (L)=d-g+1}$. For example, the formula implies the degree of the canonical divisor K is 2g - 2.

2.  The general version is due to Grothendieck and called the Grothendieck–Riemann–Roch formula. It says: if ${\displaystyle \pi :X\to S}$ is a proper morphism with smooth X, S and if E is a vector bundle on X, then as equality in the rational Chow group ${\displaystyle \operatorname {ch} (\pi _{!}E)\cdot \operatorname {td} (S)=\pi _{*}(\operatorname {ch} (E)\cdot \operatorname {td} (X))}$where ${\displaystyle \pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}}$, ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ means a Chern character and ${\displaystyle \operatorname {td} }$ a Todd class of the tangent bundle of a space, and, over the complex numbers, ${\displaystyle \pi _{*}}$ is an integration along fibers. For example, if the base S is a point, X is a smooth curve of genus g and E is a line bundle L, then the left-hand side reduces to the Euler characteristic while the right-hand side is ${\displaystyle \pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1.}$

rigid

Every infinitesimal deformation is trivial. For example, the projective space is rigid since ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0}$ (and using the Kodaira–Spencer map).

rigidify

A heuristic term, roughly equivalent to "killing automorphisms". For example, one might say "we introduce level structures resp. marked points to rigidify the geometric situation."

S

On Grothendieck's own view there should be almost no history of schemes, but only a history of the resistance to them: ... There is no serious historical question of how Grothendieck found his definition of schemes. It was in the air. Serre has well said that no one invented schemes (conversation 1995). The question is, what made Grothendieck believe he should use this definition to simplify an 80 page paper by Serre into some 1000 pages of Éléments de géométrie algébrique?

[1]

scheme

A scheme is a locally ringed space that is locally a prime spectrum of a commutative ring.

Schubert

1.  A Schubert cell is a B-orbit on the Grassmannian ${\displaystyle \operatorname {Gr} (d,n)}$ where B is the standard Borel; i.e., the group of upper triangular matrices.

2.  A Schubert variety is the closure of a Schubert cell.

scroll

A rational normal scroll is a ruled surface which is of degree ${\displaystyle n}$ in a projective space ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$ for some ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>1}}$.

secant variety

The secant variety to a projective variety ${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$ is the closure of the union of all secant lines to V in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$.

section ring

The section ring or the ring of sections of a line bundle L on a scheme X is the graded ring ${\displaystyle \oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})}$.

Serre's conditions S_n

See Serre's conditions on normality. See also https://mathoverflow.net/q/22228

Serre duality

See #dualizing sheaf

separated

A separated morphism is a morphism ${\displaystyle f}$ such that the fiber product of ${\displaystyle f}$ with itself along ${\displaystyle f}$ has its diagonal as a closed subscheme — in other words, the diagonal morphism is a closed immersion.

sheaf generated by global sections

A sheaf with a set of global sections that span the stalk of the sheaf at every point. See Sheaf generated by global sections.

simple

1.  The term "simple point" is an old term for a "smooth point".

2.  A simple normal crossing (snc) divisor is another name for a smooth normal crossing divisor, i.e. a divisor that has only smooth normal crossing singularities. They appear in strong desingularization as well as in stabilization for compactifying moduli problems.

3.  In the context of linear algebraic groups there are semisimple groups and simple groups which are themselves semisimple groups with additional properties. Since all simple groups are reductive, a split simple group is a simple group that is split-reductive.

smooth

1.  

The higher-dimensional analog of étale morphisms are smooth morphisms. There are many different characterisations of smoothness. The following are equivalent definitions of smoothness of the morphism f : Y → X:

1. for any y ∈ Y, there are open affine neighborhoods V and U of y, x=f(y), respectively, such that the restriction of f to V factors as an étale morphism followed by the projection of affine n-space over U.
2. f is flat, locally of finite presentation, and for every geometric point ${\displaystyle {\bar {y}}}$ of Y (a morphism from the spectrum of an algebraically closed field ${\displaystyle k({\bar {y}})}$ to Y), the geometric fiber ${\displaystyle X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))}$ is a smooth n-dimensional variety over ${\displaystyle k({\bar {y}})}$ in the sense of classical algebraic geometry.

2.  A smooth scheme over a perfect field k is a scheme X that is locally of finite type and regular over k.

3.  A smooth scheme over a field k is a scheme X that is geometrically smooth: ${\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}}$ is smooth.

special

A divisor D on a smooth curve C is special if ${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))}$, which is called the index of speciality, is positive.

spherical variety

A spherical variety is a normal G-variety (G connected reductive) with an open dense orbit by a Borel subgroup of G.

split

1.  In the context of an algebraic group ${\displaystyle G}$ for certain properties ${\displaystyle P}$ there is the derived property split- ${\displaystyle P}$. Usually ${\displaystyle P}$ is a property that is automatic or more common over algebraically closed fields ${\displaystyle {\overline {k}}}$. If this property holds already for ${\displaystyle G}$ defined over a not necessarily algebraically closed field ${\displaystyle k}$ then ${\displaystyle G}$ is said to satisfy split- ${\displaystyle P}$.

2.  A linear algebraic group ${\displaystyle G}$ defined over a field ${\displaystyle k}$ is a torus if only if its base change ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ to an algebraic closure ${\displaystyle {\overline {k}}}$ is isomorphic to a product of multiplicative groups ${\displaystyle G_{m,{\overline {k}}}^{n}}$. ${\displaystyle G}$ is a split torus if and only if it is isomorphic to ${\displaystyle G_{m,k}^{n}}$ without any base change. ${\displaystyle G}$ is said to split over an intermediate field ${\displaystyle k\subseteq L\subseteq {\overline {k}}}$ if and only if its base change ${\displaystyle G_{L}}$ to ${\displaystyle L}$ is isomorphic to ${\displaystyle G_{m,L}^{n}}$.

3.  A reductive group ${\displaystyle G}$ defined over a field ${\displaystyle k}$ is split-reductive if and only if a maximal torus ${\displaystyle T\subseteq G}$ defined over ${\displaystyle k}$ is a split torus. Since any simple group is reductive a split simple group means a simple group that is split-reductive.

4.  A connected solvable linear algebraic group ${\displaystyle G}$ defined over a field ${\displaystyle k}$ is split if and only if it has composition series ${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset \ldots \supset B_{t}=\{1\}}$ defined over ${\displaystyle k}$ such that each successive quotient ${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}}$ is isomorphic to either the multiplicative group ${\displaystyle G_{m,k}}$ or the additive group ${\displaystyle G_{m,a}}$ over ${\displaystyle k}$.

5.  A linear algebraic group ${\displaystyle G}$ defined over a field ${\displaystyle k}$ is split if and only if it has a Borel subgroup ${\displaystyle B\subseteq G}$ defined over ${\displaystyle k}$ that is split in the sense of connected solvable linear algebraic groups.

6.  In the classification of real Lie algebras split Lie algebras play an important role. There is a close connection between linear Lie groups, their associated Lie algebras and linear algebraic groups over ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ resp. ${\displaystyle \mathbb {C} }$. The term split has similar meanings for Lie theory and linear algebraic groups.

stable

1.  A stable curve is a curve with some "mild" singularity, used to construct a good-behaving moduli space of curves.

2.  A stable vector bundle is used to construct the moduli space of vector bundles.

stack

A stack parametrizes sets of points together with automorphisms.

strict transform

Given a blow-up ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$ along a closed subscheme Z and a morphism ${\displaystyle f:Y\to X}$, the strict transform of Y (also called proper transform) is the blow-up ${\displaystyle {\widetilde {Y}}\to Y}$ of Y along the closed subscheme ${\displaystyle f^{-1}Z}$. If f is a closed immersion, then the induced map ${\displaystyle {\widetilde {Y}}\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$ is also a closed immersion.

subscheme

A subscheme, without qualifier, of X is a closed subscheme of an open subscheme of X.

surface

An algebraic variety of dimension two.

symmetric variety

An analog of a symmetric space. See symmetric variety.

T

tangent space

See Zariski tangent space.

tautological line bundle

The tautological line bundle of a projective scheme X is the dual of Serre's twisting sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$; that is, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$.

theorem

See Zariski's main theorem, theorem on formal functions, cohomology base change theorem, Category:Theorems in algebraic geometry.

torus embedding

An old term for a toric variety

toric variety

A toric variety is a normal variety with the action of a torus such that the torus has an open dense orbit.

tropical geometry

A kind of a piecewise-linear algebraic geometry. See tropical geometry.

torus

A split torus is a product of finitely many multiplicative groups ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$.

U

universal

1.  If a moduli functor F is represented by some scheme or algebraic space M, then a universal object is an element of F(M) that corresponds to the identity morphism M → M (which is an M-point of M). If the values of F are isomorphism classes of curves with extra structure, say, then a universal object is called a universal curve. A tautological bundle would be another example of a universal object.

2.  Let ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ be the moduli of smooth projective curves of genus g and ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}}$ that of smooth projective curves of genus g with single marked points. In literature, the forgetful map ${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}_{g}\to {\mathcal {M}}_{g}}$is often called a universal curve.

universally

A morphism has some property universally if all base changes of the morphism have this property. Examples include universally catenary, universally injective.

unramified

For a point ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle Y}$, consider the corresponding morphism of local rings ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}}$. Let ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ be the maximal ideal of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$, and let ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}}$be the ideal generated by the image of ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$. The morphism ${\displaystyle f}$ is unramified (resp. G-unramified) if it is locally of finite type (resp. locally of finite presentation) and if for all ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ is the maximal ideal of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$ and the induced map ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}$is a finite separable field extension.^[21] This is the geometric version (and generalization) of an unramified field extension in algebraic number theory.

V

variety

a synonym with "algebraic variety".

very ample

A line bundle L on a variety X is very ample if X can be embedded into a projective space so that L is the restriction of Serre's twisting sheaf O(1) on the projective space.

W

weakly normal

a scheme is weakly normal if any finite birational morphism to it is an isomorphism.

Weil divisor

Another but more standard term for a "codimension-one cycle"; see divisor.

Weil reciprocity

See Weil reciprocity.

Z

Zariski–Riemann space

A Zariski–Riemann space is a locally ringed space whose points are valuation rings.

Notes

1. Proof: Let D be a Weil divisor on X. If D' ~ D, then there is a nonzero rational function f on X such that D + (f) = D' and then f is a section of O_X(D) if D' is effective. The opposite direction is similar. □
2. Alain, Connes (2015-09-18). "An essay on the Riemann Hypothesis". arXiv:1509.05576 [math.NT].
3. Deitmar, Anton (2006-05-16). "Remarks on zeta functions and K-theory over F1". arXiv:math/0605429.
4. Flores, Jaret (2015-03-08). "Homological Algebra for Commutative Monoids". arXiv:1503.02309 [math.KT].
5. Durov, Nikolai (2007-04-16). "New Approach to Arakelov Geometry". arXiv:0704.2030 [math.AG].
6. Grothendieck & Dieudonné 1960, 4.1.2 and 4.1.3
7. Smith, Karen E.; Zhang, Wenliang (2014-09-03). "Frobenius Splitting in Commutative Algebra". arXiv:1409.1169 [math.AC].
8. Grothendieck & Dieudonné 1964, §1.4
9. Grothendieck & Dieudonné 1964, §1.6
10. Brandenburg, Martin (2014-10-07). "Tensor categorical foundations of algebraic geometry". arXiv:1410.1716 [math.AG].
11. Hartshorne 1977, Exercise II.3.11(d)
12. The Stacks Project, Chapter 21, §4.
13. Grothendieck & Dieudonné 1960, 4.2.1
14. Hartshorne 1977, §II.3
15. Grothendieck & Dieudonné 1960, 4.2.5
16. Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, exercise 2.3
17. Harada, Megumi; Krepski, Derek (2013-02-02). "Global quotients among toric Deligne-Mumford stacks". arXiv:1302.0385 [math.DG].
18. Hartshorne 1977, II.4
19. EGA, II.5.5.4(ii).
20. Grothendieck & Dieudonné 1964, 1.2.1
21. The notion G-unramified is what is called "unramified" in EGA, but we follow Raynaud's definition of "unramified", so that closed immersions are unramified. See Tag 02G4 in the Stacks Project for more details.

References

• Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1700-8, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 11. doi:10.1007/bf02684274. MR 0217085.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1963). "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 17. doi:10.1007/bf02684890. MR 0163911.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi:10.1007/bf02684322. MR 0199181.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28. doi:10.1007/bf02684343. MR 0217086.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Kollár, János, "Book on Moduli of Surfaces" available at his website [2]
• Martin's Olsson's course notes written by Anton, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/written/Stacks/Stacks.pdf
• A book worked out by many authors.

See also

• Glossary of arithmetic and Diophantine geometry
• Glossary of classical algebraic geometry
• Glossary of differential geometry and topology
• Glosario de geometría riemanniana y métrica
• Lista de superficies complejas y algebraicas
• Lista de superficies
• Lista de curvas