Valor absoluto (álgebra)

En álgebra , un valor absoluto (también llamado valoración , magnitud o norma , ^[1] aunque " norma " generalmente se refiere a un tipo específico de valor absoluto en un cuerpo ) es una función que mide el "tamaño" de los elementos en un cuerpo o dominio integral . Más precisamente, si D es un dominio integral, entonces un valor absoluto es cualquier aplicación |x| de D a los números reales R que satisface:

De estos axiomas se deduce que |1| = 1 y |−1| = 1. Además, para cada entero positivo n ,

| n | = |1 + 1 + ... + 1 ( n veces)| = |−1 − 1 − ... − 1 ( n veces)| ≤  n .

El " valor absoluto " clásico es aquel en el que, por ejemplo, |2| = 2, pero muchas otras funciones cumplen los requisitos establecidos anteriormente, por ejemplo, la raíz cuadrada del valor absoluto clásico (pero no su cuadrado).

Un valor absoluto induce una métrica (y por lo tanto una topología ) al ${\displaystyle d(f,g)=|f-g|.}$

Ejemplos

• El valor absoluto estándar de los números enteros.
• El valor absoluto estándar de los números complejos .
• El valor absoluto p -ádico de los números racionales .
• Si R es el campo de funciones racionales sobre un campo F y es un polinomio irreducible fijo sobre F , entonces lo siguiente define un valor absoluto en R : para en R se define como , donde y ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle f(x)=p(x)^{n}{\frac {g(x)}{h(x)}}}$ ${\displaystyle \gcd(g(x),p(x))=1=\gcd(h(x),p(x)).}$

Tipos de valor absoluto

El valor absoluto trivial es el valor absoluto con | x | = 0 cuando x  = 0 y | x | = 1 en caso contrario. ^[2] Todo dominio integral puede tener al menos el valor absoluto trivial. El valor trivial es el único valor absoluto posible en un cuerpo finito porque cualquier elemento distinto de cero puede elevarse a alguna potencia para dar 1.

Si un valor absoluto satisface la propiedad más fuerte | x  +  y | ≤ máx(| x |, | y |) para todos los x e y , entonces | x | se denomina valor absoluto ultramétrico o no arquimediano , y en caso contrario se denomina valor absoluto arquimediano .

Lugares

Si | x | ₁ y | x | ₂ son dos valores absolutos en el mismo dominio integral D , entonces los dos valores absolutos son equivalentes si | x | ₁ < 1 si y solo si | x | ₂ < 1 para todo x . Si dos valores absolutos no triviales son equivalentes, entonces para algún exponente e tenemos | x | ₁ ^e = | x | ₂ para todo x . Elevar un valor absoluto a una potencia menor que 1 da como resultado otro valor absoluto, pero elevarlo a una potencia mayor que 1 no necesariamente da como resultado un valor absoluto. (Por ejemplo, elevar al cuadrado el valor absoluto usual en los números reales produce una función que no es un valor absoluto porque viola la regla | x + y | ≤ | x |+| y |.) Los valores absolutos hasta la equivalencia, o en otras palabras, una clase de equivalencia de valores absolutos, se llama lugar .

El teorema de Ostrowski establece que los lugares no triviales de los números racionales Q son el valor absoluto ordinario y el valor absoluto p -ádico para cada primo p . ^[3] Para un primo p dado , cualquier número racional q puede escribirse como p ⁿ ( a / b ), donde a y b son números enteros no divisibles por p y n es un número entero. El valor absoluto p -ádico de q es

${\displaystyle \left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.}$

Dado que el valor absoluto ordinario y los valores absolutos p -ádicos son valores absolutos según la definición anterior, estos definen lugares.

Valoraciones

Si para algún valor absoluto ultramétrico y cualquier base b  > 1, definimos ν ( x ) = −log _b | x | para x  ≠ 0 y ν (0) = ∞, donde ∞ está ordenado para ser mayor que todos los números reales, entonces obtenemos una función de D a R  ∪ {∞}, con las siguientes propiedades:

• ν ( x ) = ∞ ⇒ x = 0,
• ν ( xy ) = ν ( x ) +  ν ( y ),
• ν ( x + y ) ≥ mín(ν( x ), ν ( y )).

Esta función se conoce como valoración en la terminología de Bourbaki , pero otros autores utilizan el término valoración para el valor absoluto y entonces dicen valoración exponencial en lugar de valoración .

Terminaciones

Dado un dominio integral D con un valor absoluto, podemos definir las sucesiones de Cauchy de elementos de D con respecto al valor absoluto al requerir que para cada ε > 0 exista un entero positivo N tal que para todos los enteros m , n > N se tenga | x _m − x _n | < ε. Las sucesiones de Cauchy forman un anillo bajo la adición y multiplicación puntual. También se pueden definir sucesiones nulas como sucesiones ( a _n ) de elementos de D tales que | a _n | converge a cero. Las sucesiones nulas son un ideal primo en el anillo de sucesiones de Cauchy, y el anillo cociente es por lo tanto un dominio integral. El dominio D está incrustado en este anillo cociente, llamado completitud de D con respecto al valor absoluto | x |.

Como los campos son dominios integrales, esta es también una construcción para completar un campo con respecto a un valor absoluto. Para mostrar que el resultado es un campo, y no solo un dominio integral, podemos mostrar que las secuencias nulas forman un ideal maximal , o bien construir la inversa directamente. Esto último se puede hacer fácilmente tomando, para todos los elementos distintos de cero del anillo de cocientes, una secuencia que comience desde un punto más allá del último elemento cero de la secuencia. Cualquier elemento distinto de cero del anillo de cocientes diferirá en una secuencia nula de dicha secuencia, y tomando la inversión puntual podemos encontrar un elemento inverso representativo.

Otro teorema de Alexander Ostrowski sostiene que cualquier campo completo con respecto a un valor absoluto de Arquímedes es isomorfo a los números reales o complejos, y la valoración es equivalente a la habitual. ^[4] El teorema de Gelfand-Tornheim establece que cualquier campo con una valoración de Arquímedes es isomorfo a un subcampo de C , siendo la valoración equivalente al valor absoluto habitual en C . ^[5]

Campos y dominios integrales

Si D es un dominio integral con valor absoluto | x |, entonces podemos extender la definición del valor absoluto al campo de fracciones de D estableciendo

${\displaystyle |x/y|=|x|/|y|.\,}$

Por otra parte, si F es un cuerpo con valor absoluto ultramétrico | x |, entonces el conjunto de elementos de F tales que | x | ≤ 1 define un anillo de valoración , que es un subanillo D de F tal que para cada elemento distinto de cero x de F , al menos uno de x o x ⁻¹ pertenece a D . Como F es un cuerpo, D no tiene divisores de cero y es un dominio íntegro. Tiene un ideal maximal único que consiste en todos los x tales que | x | < 1, y es por tanto un anillo local .

Notas

1. Koblitz, Neal (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádicos y funciones zeta (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. p. 1. ISBN 978-0-387-96017-3. Recuperado el 24 de agosto de 2012. Las métricas con las que trabajaremos provendrán de las normas sobre el terreno F ...
2. Koblitz, Neal (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádicos y funciones zeta (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. p. 3. ISBN. 978-0-387-96017-3. Recuperado el 24 de agosto de 2012. Por norma "trivial" entendemos la norma ‖ ‖ tal que ‖0‖ = 0 y ‖ x ‖ = 1 para x  ≠ 0.
3. Cassels (1986) pág. 16
4. Cassels (1986) pág. 33
5. William Stein (6 de mayo de 2004). "Ejemplos de valoraciones" . Consultado el 28 de enero de 2023 .

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1972). Álgebra conmutativa . Addison-Wesley.
• Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 3. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-31525-5.Zbl 0595.12006  .
• Jacobson, Nathan (1989). Álgebra básica II (2.ª ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.Capítulo 9, párrafo 1 “ Valores absolutos ”.
• Janusz, Gerald J. (1996–1997). Campos numéricos algebraicos (2.ª ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.