En geometría algebraica , un espacio de Zariski-Riemann o espacio de Zariski de un subanillo k de un cuerpo K es un espacio anillado localmente cuyos puntos son anillos de valoración que contienen a k y están contenidos en K. Generalizan la superficie de Riemann de una curva compleja.
Los espacios de Zariski-Riemann fueron introducidos por Zariski (1940, 1944) quien (de manera bastante confusa) los llamó variedades de Riemann o superficies de Riemann . Nagata (1962) los denominó espacios de Zariski-Riemann en honor a Oscar Zariski y Bernhard Riemann , quienes los usaron para demostrar que las variedades algebraicas pueden estar incluidas en variedades completas .
La uniformización local (probada en la característica 0 por Zariski) puede interpretarse como que el espacio de Zariski-Riemann de una variedad no es singular en algún sentido, por lo que es una especie de resolución bastante débil de singularidades . Esto no resuelve el problema de la resolución de singularidades porque en dimensiones mayores que 1 el espacio de Zariski-Riemann no es localmente afín y, en particular, no es un esquema.
El espacio de Zariski-Riemann de un cuerpo K sobre un cuerpo base k es un espacio anillado localmente cuyos puntos son los anillos de valoración que contienen a k y están contenidos en K . A veces se excluye el propio anillo de valoración K , y a veces los puntos se restringen a los anillos de valoración de dimensión cero (aquellos cuyo cuerpo de residuos tiene grado de trascendencia cero sobre k ).
Si S es el espacio de Zariski-Riemann de un subanillo k de un cuerpo K , tiene una topología definida tomando como base de conjuntos abiertos los anillos de valoración que contienen un subconjunto finito dado de K . El espacio S es cuasicompacto. Se convierte en un espacio anillado localmente asignando a cualquier subconjunto abierto la intersección de los anillos de valoración de los puntos del subconjunto. El anillo local en cualquier punto es el anillo de valoración correspondiente.
El espacio de Zariski-Riemann de un campo de funciones también se puede construir como el límite inverso de todos los modelos completos (o proyectivos) del campo de funciones.
El espacio de Riemann-Zariski de una curva sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k con cuerpo de funciones K es el mismo que su modelo proyectivo no singular. Tiene un punto genérico no cerrado correspondiente a la valuación trivial con anillo de valuación K , y sus otros puntos son los anillos de valuación de rango 1 en K que contienen a k . A diferencia de los casos de dimensiones superiores, el espacio de Zariski-Riemann de una curva es un esquema.
Los anillos de valoración de una superficie S sobre k con un cuerpo de funciones K se pueden clasificar por la dimensión (el grado de trascendencia del cuerpo de residuos) y el rango (el número de subgrupos convexos no nulos del grupo de valoración). Zariski (1939) dio la siguiente clasificación: