Estructura alámbrica de 2 esferas como proyección ortogonalAsí como una proyección estereográfica puede proyectar la superficie de una esfera en un plano, también puede proyectar 3 esferas en 3 espacios. Esta imagen muestra tres direcciones de coordenadas proyectadas en el espacio tridimensional : paralelos (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Debido a la propiedad conforme de la proyección estereográfica, las curvas se cruzan ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que se cruzan con ⟨0,0,0,1⟩ tienen un radio infinito (= línea recta).
En el marco más general de la topología , cualquier espacio topológico que sea homeomorfo a la unidad -esfera se llama -esfera . Bajo proyección estereográfica inversa, la -esfera es la compactación de un punto del -espacio. Las -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, pueden construirse pegando dos -espacios dimensionales, identificando el límite de un -cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de una -esfera. Cuando está simplemente conectado ; la -esfera (círculo) no está simplemente conectada; la -esfera ni siquiera está conectada y consta de dos puntos discretos.
Descripción
Para cualquier número natural , una esfera de radio se define como el conjunto de puntos en el espacio euclidiano de dimensiones que están a una distancia de algún punto fijo , donde puede ser cualquier número positivo . número real y donde puede ser cualquier punto en -espacio dimensional. En particular:
una esfera 0 es un par de puntos y es el límite de un segmento de línea ( -bola).
una 1 -esfera es un círculo de radio centrado en y es el límite de un disco ( -bola).
a 2 -esfera es una esfera ordinaria -dimensional en -espacio euclidiano, y es el límite de una bola ordinaria ( -bola).
una esfera de 3 es una esfera de dimensiones en un espacio euclidiano de dimensiones.
Coordenadas cartesianas
El conjunto de puntos en -espacio, , que definen una -esfera, , está representado por la ecuación:
donde es un punto central y es el radio.
La -esfera anterior existe en -espacio euclidiano dimensional y es un ejemplo de - variedad . La forma de volumen de una -esfera de radio está dada por
¿Dónde está el operador estrella de Hodge ? ver Flanders (1989, §6.1) para una discusión y prueba de esta fórmula en el caso . Como resultado,
norte-pelota
El espacio encerrado por una -esfera se llama -bola . Una -bola está cerrada si incluye la -esfera y está abierta si no incluye la -esfera.
Específicamente:
Una bola , un segmento de línea , es el interior de una esfera 0.
Una - bola , un disco , es el interior de un círculo ( -esfera).
Una - bola , una bola ordinaria , es el interior de una esfera ( -esfera).
Una - bola es el interior de una 3 - esfera , etc.
Descripción topológica
Topológicamente , una -esfera se puede construir como una compactación de un punto del -espacio euclidiano dimensional. Brevemente, la -esfera se puede describir como , que es espacio euclidiano de dimensiones más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones. En particular, si se elimina un solo punto de una -esfera, se vuelve homeomórfica para . Esto constituye la base de la proyección estereográfica . [1]
Volumen y área
Sea el área de superficie de la unidad -esfera de radio incrustada en -espacio euclidiano dimensional, y sea el volumen de su interior, la unidad -bola. El área de superficie de una -esfera arbitraria es proporcional a la primera potencia del radio, y el volumen de una -bola arbitraria es proporcional a la primera potencia del radio.
S n & menos 1 ) de n -bolas de radio 1 .
La -bola a veces se define como un solo punto. La medida de Hausdorff -dimensional es el número de puntos en un conjunto. Entonces
Una unidad -bola es un segmento de línea cuyos puntos tienen una sola coordenada en el intervalo de longitud , y la -esfera consta de sus dos puntos finales, con coordenada .
Una unidad -esfera es el círculo unitario en el plano euclidiano y su interior es el disco unitario ( -bola).
Como tiende al infinito, el volumen de la unidad -bola (relación entre el volumen de una -bola de radio y un -cubo de longitud de lado ) tiende a cero. [2]
Recurrencias
El área de superficie , o propiamente el -volumen dimensional, de la -esfera en el límite de la -bola de radio está relacionada con el volumen de la bola mediante la ecuación diferencial
De manera equivalente, representar la unidad -bola como una unión de concéntricas -esferas ,
También podemos representar la unidad -esfera como una unión de productos de un círculo ( -esfera) con una -esfera. Entonces . Desde , la ecuación
vale para todos . Junto con los casos base , anteriores, estas recurrencias se pueden usar para calcular el área de superficie de cualquier esfera o el volumen de cualquier bola.
Coordenadas esféricas
Podemos definir un sistema de coordenadas en un espacio euclidiano de -dimensional que es análogo al sistema de coordenadas esféricas definido para el espacio euclidiano de -dimensional, en el que las coordenadas consisten en una coordenada radial y coordenadas angulares , donde los ángulos varían en radianes (o grados) y varían en radianes (o grados). Si son las coordenadas cartesianas, entonces podemos calcular a partir de con: [3] [a]
Excepto en los casos especiales que se describen a continuación, la transformación inversa es única:
donde atan2 es la función arcotangente de dos argumentos.
Hay algunos casos especiales en los que la transformada inversa no es única; para cualquiera será ambiguo siempre que todos sean cero; en este caso puede elegirse como cero. (Por ejemplo, para la -esfera, cuando el ángulo polar es o , entonces el punto es uno de los polos, cenit o nadir, y la elección del ángulo azimutal es arbitraria).
Elementos esféricos de volumen y área.
Para expresar el elemento de volumen del espacio euclidiano -dimensional en términos de coordenadas esféricas, sean y para ser concisos, luego observe que la matriz jacobiana de la transformación es:
El determinante de esta matriz se puede calcular por inducción. Cuando , un cálculo sencillo muestra que el determinante es . Para más grande , observe que se puede construir a partir de de la siguiente manera. Excepto en la columna , las filas y de son iguales que la fila de , pero multiplicadas por un factor adicional de en la fila y un factor adicional de en la fila . En la columna , las filas y de son iguales que la columna de la fila de , pero se multiplican por factores adicionales de en la fila y en la fila , respectivamente . El determinante de se puede calcular mediante la expansión de Laplace en la última columna. Según la descripción recursiva de , la submatriz se forma eliminando la entrada en y su fila y columna casi es igual a , excepto que su última fila se multiplica por . De manera similar, la submatriz formada al eliminar la entrada en y su fila y columna casi es igual a , excepto que su última fila se multiplica por . Por tanto el determinante de es
Luego, la inducción proporciona una expresión de forma cerrada para el elemento de volumen en coordenadas esféricas.
La fórmula para el volumen de la -bola se puede derivar de ella mediante integración.
De manera similar, el elemento de área de la -esfera de radio , que generaliza el elemento de área de la -esfera, viene dado por
La elección natural de una base ortogonal sobre las coordenadas angulares es un producto de polinomios ultraesféricos ,
para , y el para el ángulo en concordancia con los armónicos esféricos .
Coordenadas poliesféricas
El sistema de coordenadas esféricas estándar surge de escribir como producto . Estos dos factores pueden estar relacionados mediante coordenadas polares. Para cada punto de , las coordenadas cartesianas estándar
se puede transformar en un sistema de coordenadas mixto polar-cartesiano:
Esto dice que los puntos en se pueden expresar tomando el rayo que comienza en el origen y pasa por , rotándolo hacia by y recorriendo una distancia a lo largo del rayo. La repetición de esta descomposición conduce finalmente al sistema de coordenadas esféricas estándar.
Los sistemas de coordenadas poliesféricas surgen de una generalización de esta construcción. [4] El espacio se divide como producto de dos espacios euclidianos de menor dimensión, pero no se requiere que ninguno de los espacios sea una línea. Específicamente, supongamos que y son números enteros positivos tales que . Entonces . Usando esta descomposición, un punto se puede escribir como
Esto se puede transformar en un sistema de coordenadas mixto polar-cartesiano escribiendo:
Aquí y están los vectores unitarios asociados a y . Esto expresa en términos de , , y un ángulo . Se puede demostrar que el dominio de es si , si exactamente uno de y es , y si ni ni son . La transformación inversa es
Estas divisiones pueden repetirse siempre que uno de los factores involucrados tenga dimensión dos o mayor. Un sistema de coordenadas poliesférico es el resultado de repetir estas divisiones hasta que no queden coordenadas cartesianas. Las divisiones después de la primera no requieren una coordenada radial porque los dominios de y son esferas, por lo que las coordenadas de un sistema de coordenadas poliesféricas son un radio y ángulos no negativos . Los posibles sistemas de coordenadas poliesféricas corresponden a árboles binarios con hojas. Cada nodo que no es una hoja en el árbol corresponde a una división y determina una coordenada angular. Por ejemplo, la raíz del árbol representa y sus hijos inmediatos representan la primera división en y . Los nodos de hoja corresponden a coordenadas cartesianas para . Las fórmulas para convertir de coordenadas poliesféricas a coordenadas cartesianas se pueden determinar encontrando las rutas desde la raíz hasta los nodos de hoja. Estas fórmulas son productos con un factor para cada rama que toma el camino. Para un nodo cuya coordenada angular correspondiente es , tomar la rama izquierda introduce un factor de y tomar la rama derecha introduce un factor de . La transformación inversa, de coordenadas poliesféricas a coordenadas cartesianas, se determina agrupando nodos. Cada par de nodos que tienen un padre común se puede convertir de un sistema de coordenadas polar-cartesiano mixto a un sistema de coordenadas cartesiano utilizando las fórmulas anteriores para una división.
Las coordenadas poliesféricas también tienen una interpretación en términos del grupo ortogonal especial . Una división determina un subgrupo
Este es el subgrupo que deja fijo cada uno de los dos factores. Elegir un conjunto de representantes de la clase lateral para el cociente es lo mismo que elegir ángulos representativos para este paso de la descomposición de coordenadas poliesféricas.
En coordenadas poliesféricas, la medida de volumen en y la medida de área en son productos. Hay un factor para cada ángulo y la medida de volumen en también tiene un factor para la coordenada radial. La medida de área tiene la forma:
donde los factores están determinados por el árbol. De manera similar, la medida del volumen es
Supongamos que tenemos un nodo del árbol que corresponde a la descomposición y que tiene coordenada angular . El factor correspondiente depende de los valores de y . Cuando la medida del área se normaliza de modo que el área de la esfera sea , estos factores son los siguientes. Si , entonces
Si y , y si denota la función beta , entonces
Si y , entonces
Finalmente, si tanto como son mayores que uno, entonces
Proyección estereográfica
Así como una esfera bidimensional incrustada en tres dimensiones se puede mapear en un plano bidimensional mediante una proyección estereográfica , una -esfera se puede mapear en un hiperplano -dimensional mediante la -versión estereográfica proyección. Por ejemplo, el punto en una esfera bidimensional de radio se asigna al punto en el -plano. En otras palabras,
Del mismo modo, la proyección estereográfica de una -esfera de radio se asignará al -hiperplano dimensional perpendicular al -eje como
Distribuciones de probabilidad
uniformemente al azar en el( norte - 1 )-esfera
Un conjunto de puntos extraídos de una distribución uniforme en la superficie de una unidad de 2 esferas, generado utilizando el algoritmo de Marsaglia.
Para generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la unidad -esfera (es decir, la superficie de la unidad -bola), Marsaglia (1972) proporciona el siguiente algoritmo.
Generar un vector -dimensional de desviaciones normales (basta con usar , aunque en realidad la elección de la varianza es arbitraria), . Ahora calcula el "radio" de este punto:
El vector se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad -bola.
Una alternativa dada por Marsaglia es seleccionar de manera uniforme y aleatoria un punto en la unidad n -cubo muestreando cada independientemente de la distribución uniforme sobre , calculando como arriba, y rechazando el punto y volviendo a muestrear si ( es decir, si el punto no está en la -bola), y cuando se obtiene un punto en la bola ampliándolo hasta la superficie esférica por el factor ; luego nuevamente se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad -bola. Este método se vuelve muy ineficaz para dimensiones superiores, ya que la esfera contiene una fracción extremadamente pequeña del cubo unitario. En diez dimensiones, la esfera llena menos del 2% del cubo, por lo que normalmente serán necesarios más de 50 intentos. En setenta dimensiones, se llena menos que el cubo, lo que significa que normalmente se necesitarán un billón de billones de pruebas, mucho más de lo que una computadora podría realizar.
uniformemente al azar dentro delnorte-pelota
Con un punto seleccionado uniformemente al azar de la superficie de la unidad -esfera (por ejemplo, usando el algoritmo de Marsaglia), solo se necesita un radio para obtener un punto uniformemente al azar desde dentro de la unidad -bola. Si es un número generado uniformemente al azar a partir del intervalo y es un punto seleccionado uniformemente al azar de la unidad -esfera, entonces está uniformemente distribuido dentro de la unidad -bola.
Alternativamente, los puntos se pueden muestrear uniformemente desde dentro de la unidad -bola mediante una reducción de la unidad -esfera. En particular, si es un punto seleccionado uniformemente de la unidad -esfera, entonces está distribuido uniformemente dentro de la unidad -bola (es decir, simplemente descartando dos coordenadas). [5]
Si es suficientemente grande, la mayor parte del volumen de la -bola estará contenida en la región muy cercana a su superficie, por lo que un punto seleccionado de ese volumen probablemente también estará cerca de la superficie. Este es uno de los fenómenos que conducen a la llamada maldición de la dimensionalidad que surge en algunas aplicaciones numéricas y de otro tipo.
Distribución de la primera coordenada.
Sea el cuadrado de la primera coordenada de un punto muestreado uniformemente al azar de la -esfera, entonces su función de densidad de probabilidad, para , es
Sea la versión escalada apropiadamente, luego, en el límite, la función de densidad de probabilidad de converge a . A esto a veces se le llama distribución de Porter-Thomas. [6]
Estructura topológica de cuasigrupo como conjunto de octoniones unitarios . Principal -paquete sobre S^4 . Paralelizable. . La -esfera es de particular interés ya que fue en esta dimensión donde se descubrieron las primeras esferas exóticas .
8 -esfera
Homeomórfico a la línea proyectiva octoniónica .
La -esfera octaédrica es un cuadrado (sin su interior). La -esfera octaédrica es un octaedro regular ; de ahí el nombre. La -esfera octaédrica es la unión topológica de pares de puntos aislados. [9] Intuitivamente, la unión topológica de dos pares se genera dibujando un segmento entre cada punto de un par y cada punto del otro par; esto produce un cuadrado. Para unir esto con un tercer par, dibuja un segmento entre cada punto del cuadrado y cada punto del tercer par; esto da un octaedro.
Ver también
Geometría conforme : estudio de transformaciones que preservan los ángulos de un espacio geométrico.
Esfera exótica : variedad suave que es homeomorfa pero no difeomorfa con respecto a una esfera.
Esfera de homología : variedad topológica cuya homología coincide con la de una esfera.
^ Formalmente, esta fórmula solo es correcta para . Para , se debe omitir la línea que comienza con y para , se debe usar la fórmula de coordenadas polares . El caso se reduce a . Usando la notación pi mayúscula y la convención habitual para el producto vacío , una fórmula válida para viene dada por y para .
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