Aproximación de Boussinesq (ondas de agua)

Aproximación válida para ondas débilmente no lineales y bastante largas

Simulación de ondas periódicas sobre un banco de arena submarino con un modelo tipo Boussinesq. Las olas se propagan sobre un banco submarino de forma elíptica en una playa plana. Este ejemplo combina varios efectos de las olas y las aguas poco profundas , incluida la refracción , la difracción , la formación de bajíos y la no linealidad débil .

En dinámica de fluidos , la aproximación de Boussinesq para ondas de agua es una aproximación válida para ondas débilmente no lineales y bastante largas. La aproximación lleva el nombre de Joseph Boussinesq , quien los derivó por primera vez en respuesta a la observación de John Scott Russell de la onda de traslación (también conocida como onda solitaria o solitón ). El artículo de Boussinesq de 1872 introduce las ecuaciones ahora conocidas como ecuaciones de Boussinesq . ^[1]

La aproximación de Boussinesq para las ondas del agua tiene en cuenta la estructura vertical de la velocidad del flujo horizontal y vertical . Esto da como resultado ecuaciones diferenciales parciales no lineales , llamadas ecuaciones de tipo Boussinesq , que incorporan dispersión de frecuencia (a diferencia de las ecuaciones de aguas poco profundas , que no son dispersivas en frecuencia). En ingeniería costera , las ecuaciones de tipo Boussinesq se utilizan frecuentemente en modelos informáticos para la simulación de ondas de agua en mares poco profundos y puertos .

Mientras que la aproximación de Boussinesq es aplicable a olas bastante largas (es decir, cuando la longitud de onda es grande en comparación con la profundidad del agua), la expansión de Stokes es más apropiada para ondas cortas (cuando la longitud de onda es del mismo orden que la profundidad del agua, o más corta). ).

Aproximación de Boussinesq

Ondas periódicas en la aproximación de Boussinesq, mostradas en una sección transversal vertical en la dirección de propagación de la onda . Observe los valles planos y las crestas pronunciadas , debido a la no linealidad de la onda. Este caso (dibujado a escala ) muestra una ola con una longitud de onda igual a 39,1  m , la altura de la ola es 1,8 m ( es decir, la diferencia entre la elevación de la cresta y la vaguada) y la profundidad media del agua es 5 m, mientras que la aceleración gravitacional es 9,81. m/ ^s2 .

La idea esencial en la aproximación de Boussinesq es la eliminación de la coordenada vertical de las ecuaciones de flujo, manteniendo al mismo tiempo algunas de las influencias de la estructura vertical del flujo bajo las olas del agua . Esto es útil porque las ondas se propagan en el plano horizontal y tienen un comportamiento diferente (no ondulatorio) en la dirección vertical. A menudo, como en el caso de Boussinesq, el interés se centra principalmente en la propagación de las ondas.

Esta eliminación de la coordenada vertical fue realizada por primera vez por Joseph Boussinesq en 1871, para construir una solución aproximada para la onda solitaria (u onda de traslación ). Posteriormente, en 1872, Boussinesq derivó las ecuaciones conocidas hoy en día como ecuaciones de Boussinesq.

Los pasos de la aproximación de Boussinesq son:

• se hace una expansión de Taylor de la velocidad del flujo horizontal y vertical (o potencial de velocidad ) alrededor de una determinada elevación ,
• esta expansión de Taylor se trunca a un número finito de términos,
• se utilizan la conservación de la masa (ver ecuación de continuidad ) para un flujo incompresible y la condición de curvatura cero para un flujo irrotacional , para reemplazar las derivadas parciales verticales de cantidades en la expansión de Taylor con derivadas parciales horizontales .

Posteriormente, se aplica la aproximación de Boussinesq a las ecuaciones de flujo restantes, para eliminar la dependencia de la coordenada vertical. Como resultado, las ecuaciones diferenciales parciales resultantes están en términos de funciones de las coordenadas horizontales (y del tiempo ).

Como ejemplo, considere el flujo potencial sobre un lecho horizontal en el plano, con las coordenadas horizontal y vertical . El lecho está ubicado en , donde está la profundidad media del agua. Se hace una expansión de Taylor del potencial de velocidad alrededor del nivel del lecho : ^[2] ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=-h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \varphi (x,z,t)}$ ${\displaystyle z=-h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\varphi _{b}\,+\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right]_{z=-h}\,\\&+\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,\left[{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial z^{3}}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,\left[{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots ,\end{aligned}}}$

¿Dónde está el potencial de velocidad en el lecho? Invocando la ecuación de Laplace para , como válida para flujo incompresible , se obtiene: ${\displaystyle \varphi _{b}(x,t)}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\}\,\\&+\,\left\{\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,-\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots \,\right\}\\=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\},\end{aligned}}}$

ya que la velocidad vertical es cero en el lecho horizontal –impermeable– . Posteriormente, esta serie puede truncarse a un número finito de términos. ${\displaystyle \partial \varphi /\partial z}$ ${\displaystyle z=-h}$

Ecuaciones originales de Boussinesq

Derivación

Para ondas de agua en un fluido incompresible y flujo irrotacional en el plano, las condiciones de contorno en la elevación de la superficie libre son: ^[3] ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle z=\eta (x,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,u\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,-\,w\,=\,0\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,{\frac {1}{2}}\,\left(u^{2}+w^{2}\right)\,+\,g\,\eta \,=\,0,\end{aligned}}}$

dónde:

• ${\displaystyle u}$es el componente de velocidad del flujo horizontal : , ${\displaystyle u=\partial \varphi /\partial x}$
• ${\displaystyle w}$es el componente de velocidad del flujo vertical : , ${\displaystyle w=\partial \varphi /\partial z}$
• ${\displaystyle g}$es la aceleración de la gravedad .

Ahora se aplica en estas condiciones de contorno la aproximación de Boussinesq para el potencial de velocidad , como se indicó anteriormente . Además, en las ecuaciones resultantes sólo se retienen los términos lineales y cuadráticos con respecto a y (con la velocidad horizontal en el lecho ). Se supone que los términos cúbicos y de orden superior son insignificantes. Entonces se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales parciales : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u_{b}}$ ${\displaystyle u_{b}=\partial \varphi _{b}/\partial x}$ ${\displaystyle z=-h}$

conjunto A – Boussinesq (1872), ecuación (25)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left[\left(h+\eta \right)\,u_{b}\right]\,=\,{\frac {1}{6}}\,h^{3}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial x^{3}}},\\{\frac {\partial u_{b}}{\partial t}}\,&+\,u_{b}\,{\frac {\partial u_{b}}{\partial x}}\,+\,g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial t\,\partial x^{2}}}.\end{aligned}}}$

Este conjunto de ecuaciones se ha obtenido para un lecho horizontal plano, es decir, la profundidad media es una constante independiente de la posición . Cuando los lados derechos de las ecuaciones anteriores se establecen en cero, se reducen a las ecuaciones de aguas poco profundas . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$

Con algunas aproximaciones adicionales, pero con el mismo orden de precisión, el conjunto A anterior se puede reducir a una única ecuación diferencial parcial para la elevación de la superficie libre : ${\displaystyle \eta }$

conjunto B - Boussinesq (1872), ecuación (26)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left({\frac {3}{2}}\,{\frac {\eta ^{2}}{h}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\right)\,=\,0.}$

A partir de los términos entre paréntesis, la importancia de la no linealidad de la ecuación se puede expresar en términos del número de Ursell . En cantidades adimensionales , utilizando la profundidad del agua y la aceleración gravitacional para la adimensionalización, esta ecuación dice, después de la normalización : ^[4] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \tau ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}\left(\,3\,\psi ^{2}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,\right)\,=\,0,}$

con:

Velocidad de fase lineal al cuadrado en función del número de onda relativo . A = Boussinesq (1872), ecuación (25), B = Boussinesq (1872), ecuación (26), C = teoría de ondas lineal completa, ver dispersión (ondas de agua) ${\displaystyle c^{2}/(gh)}$ ${\displaystyle kh}$

Dispersión de frecuencia lineal

Las ondas de agua de diferentes longitudes de onda viajan con diferentes velocidades de fase , un fenómeno conocido como dispersión de frecuencia . Para el caso de amplitud de onda infinitesimal , la terminología es dispersión de frecuencia lineal . Las características de dispersión de frecuencia de una ecuación de tipo Boussinesq se pueden utilizar para determinar el rango de longitudes de onda, para lo cual es una aproximación válida .

Las características de dispersión de frecuencia lineal para el conjunto A de ecuaciones anterior son: ^[5]

${\displaystyle c^{2}\,=\;gh\,{\frac {1\,+\,{\frac {1}{6}}\,k^{2}h^{2}}{1\,+\,{\frac {1}{2}}\,k^{2}h^{2}}},}$

con:

• ${\displaystyle c}$la velocidad de fase ,
• ${\displaystyle k}$el número de onda ( , con la longitud de onda ). ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

El error relativo en la velocidad de fase para el conjunto A , en comparación con la teoría lineal para las ondas del agua , es inferior al 4% para un número de onda relativo . Entonces, en aplicaciones de ingeniería , el conjunto A es válido para longitudes de onda mayores a 4 veces la profundidad del agua . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle kh<\pi /2}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle h}$

Las características de dispersión de frecuencia lineal de la ecuación B son: ^[5]

${\displaystyle c^{2}\,=\,gh\,\left(1\,-\,{\frac {1}{3}}\,k^{2}h^{2}\right).}$

El error relativo en la velocidad de fase para la ecuación B es inferior al 4% , equivalente a longitudes de onda superiores a 7 veces la profundidad del agua , llamadas ondas bastante largas . ^[6] ${\displaystyle kh<2\pi /7}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle h}$

Porque las ondas cortas con la ecuación B pierden físicamente su sentido, porque ya no existen soluciones con valores reales de la velocidad de fase . El conjunto original de dos ecuaciones diferenciales parciales (Boussinesq, 1872, ecuación 25, ver conjunto A arriba) no tiene este inconveniente. ${\displaystyle k^{2}h^{2}>3}$

Las ecuaciones de aguas poco profundas tienen un error relativo en la velocidad de fase inferior al 4% para longitudes de onda superiores a 13 veces la profundidad del agua . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle h}$

Ecuaciones y extensiones de tipo Boussinesq

Existe una abrumadora cantidad de modelos matemáticos a los que se hace referencia como ecuaciones de Boussinesq. Esto puede llevar fácilmente a confusión, ya que a menudo se hace referencia a ellas vagamente como ecuaciones de Boussinesq, cuando en realidad se considera una variante de las mismas. Por lo que es más apropiado llamarlas ecuaciones de tipo Boussinesq . Estrictamente hablando, las ecuaciones de Boussinesq son el conjunto B antes mencionado , ya que se utiliza en el análisis del resto de su artículo de 1872.

Algunas direcciones a las que se han extendido las ecuaciones de Boussinesq son:

• batimetría variable ,
• dispersión de frecuencia mejorada ,
• comportamiento no lineal mejorado ,
• haciendo una expansión de Taylor alrededor de diferentes elevaciones verticales ,
• dividiendo el dominio fluido en capas y aplicando la aproximación de Boussinesq en cada capa por separado,
• inclusión de rompimiento de olas ,
• inclusión de tensión superficial ,
• extensión a ondas internas en una interfaz entre dominios de fluidos de diferente densidad de masa ,
• derivación de un principio variacional .

Otras aproximaciones para la propagación de ondas unidireccionales

Si bien las ecuaciones de Boussinesq permiten ondas que viajan simultáneamente en direcciones opuestas, a menudo es ventajoso considerar únicamente ondas que viajan en una dirección. Bajo pequeños supuestos adicionales, las ecuaciones de Boussinesq se reducen a:

• la ecuación de Korteweg-de Vries para la propagación de ondas en una dimensión horizontal ,
• la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili para la propagación de ondas (casi unidireccional) en dos dimensiones horizontales ,
• la ecuación de Schrödinger no lineal (ecuación NLS) para la amplitud de valores complejos de ondas de banda estrecha (ondas de modulación lenta ).

Además de las soluciones de ondas solitarias, la ecuación de Korteweg-de Vries también tiene soluciones periódicas y exactas, llamadas ondas cnoidales . Estas son soluciones aproximadas de la ecuación de Boussinesq.

Modelos numéricos

Una simulación con un modelo de olas tipo Boussinesq de olas cercanas a la costa que viajan hacia la entrada de un puerto. La simulación es con el módulo BOUSS-2D de SMS .

Simulación más rápida que en tiempo real con el módulo Boussinesq de Celeris, que muestra el rompimiento y la refracción de las olas cerca de la playa. El modelo proporciona un entorno interactivo.

Para la simulación del movimiento de las olas cerca de costas y puertos existen modelos numéricos –tanto comerciales como académicos– que emplean ecuaciones de tipo Boussinesq. Algunos ejemplos comerciales son los módulos de ondas tipo Boussinesq en MIKE 21 y SMS . Algunos de los modelos gratuitos de Boussinesq son Celeris, ^[7] COULWAVE, ^[8] y FUNWAVE. ^[9] La mayoría de los modelos numéricos emplean técnicas de diferencias finitas , volúmenes finitos o elementos finitos para la discretización de las ecuaciones del modelo. Las revisiones científicas y las intercomparaciones de varias ecuaciones de tipo Boussinesq, su aproximación numérica y su desempeño son, por ejemplo, Kirby (2003), Dingemans (1997, Parte 2, Capítulo 5) y Hamm, Madsen & Peregrine (1993).

Notas

1. Este artículo (Boussinesq, 1872) comienza con: "Tous les ingénieurs connaissent les belles expériences de J. Scott Russell et M. Basin sur la Production et la propagation des ondes solitaires" ( "Todos los ingenieros conocen los hermosos experimentos de J. Scott Russell y M. Basin sobre la generación y propagación de ondas solitarias" ).
2. Dingemans (1997), pág. 477.
3. Dingemans (1997), pág. 475.
4. Johnson (1997), pág. 219
5. Dingemans (1997), pág. 521.
6. Dingemans (1997), pág. 473 y 516.
7. "Celeria.org - Modelo de onda Celeris Boussinesq". Celeria.org - Modelo de onda Celeris Boussinesq .
8. "ISEC - Modelos". isec.nacse.org .
9. "James T. Kirby, programa Funwave". www1.udel.edu .

Referencias

• Boussinesq, J. (1871). "Théorie de l'intumescencia líquida, applelée onde solitario o de traducción, se propaga en un canal rectangular". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 72 : 755–759.
• Boussinesq, J. (1872). "Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangular horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensment pareilles de la Surface au fond". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . Segunda serie. 17 : 55-108.
• Dingemans, MW (1997). Propagación de olas sobre fondos irregulares. Serie avanzada sobre ingeniería oceánica 13 . World Scientific, Singapur. ISBN 978-981-02-0427-3. Archivado desde el original el 8 de febrero de 2012 . Consultado el 21 de enero de 2008 . Consulte la Parte 2, Capítulo 5 .
• Hamm, L.; Madsen, Pensilvania; Peregrino, DH (1993). "Transformación del oleaje en la zona costera: una revisión". Ingeniería Costera . 21 (1–3): 5–39. doi :10.1016/0378-3839(93)90044-9.
• Johnson, RS (1997). Una introducción moderna a la teoría matemática de las ondas del agua . Textos de Cambridge en Matemáticas Aplicadas. vol. 19. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-59832-X.
• Kirby, JT (2003). "Modelos de Boussinesq y aplicaciones a la propagación de olas cercanas a la costa, procesos de zonas de surf y corrientes inducidas por olas". En Lakhan, VC (ed.). Avances en la modelización costera . Serie Oceanografía de Elsevier. vol. 67. Elsevier. págs. 1–41. ISBN 0-444-51149-0.
• Peregrino, DH (1967). "Largas olas en la playa". Revista de mecánica de fluidos . 27 (4): 815–827. Código bibliográfico : 1967JFM....27..815P. doi :10.1017/S0022112067002605. S2CID  119385147.
• Peregrino, DH (1972). "Ecuaciones de ondas de agua y las aproximaciones detrás de ellas". En Meyer, RE (ed.). Olas en las playas y transporte de sedimentos resultante . Prensa académica. págs. 95-122. ISBN 0-12-493250-9.