Teoría de conjuntos de Zermelo

Sistema de teoría matemática de conjuntos.

La teoría de conjuntos de Zermelo (a veces denotada por Z ^- ), tal como se establece en un artículo fundamental de Ernst Zermelo en 1908 , es el antepasado de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) moderna y sus extensiones, como el conjunto de von Neumann-Bernays-Gödel. teoría (NBG). Tiene ciertas diferencias con sus descendientes, que no siempre se comprenden y con frecuencia se citan erróneamente. Este artículo expone los axiomas originales , con el texto original (traducido al inglés) y la numeración original.

Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo.

Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo se establecen para objetos, algunos de los cuales (pero no necesariamente todos) son conjuntos, y los objetos restantes son elementos y no conjuntos. El lenguaje de Zermelo incluye implícitamente una relación de pertenencia ∈, una relación de igualdad = (si no está incluida en la lógica subyacente) y un predicado unario que dice si un objeto es un conjunto. Las versiones posteriores de la teoría de conjuntos a menudo suponen que todos los objetos son conjuntos, por lo que no hay elementos y no hay necesidad del predicado unario.

1. AXIOMA I. Axioma de extensionalidad ( Axiom der Bestimmtheit ) "Si todo elemento de un conjunto M es también elemento de N y viceversa... entonces M N. Brevemente, todo conjunto está determinado por sus elementos". ${\displaystyle \equiv }$
2. AXIOMA II. Axioma de conjuntos elementales ( Axiom der Elementarmengen ) "Existe un conjunto, el conjunto nulo, ∅, que no contiene ningún elemento. Si a es cualquier objeto del dominio, existe un conjunto { a } que contiene a y sólo a como un elemento. Si a y b son dos objetos cualesquiera del dominio, siempre existe un conjunto { a , b } que contiene como elementos a y b pero ningún objeto x distinto de ambos ". Ver Axioma de pares .
3. AXIOMA III. Axioma de separación ( Axiom der Aussonderung ) "Siempre que la función proposicional –( x ) está definida para todos los elementos de un conjunto M , M posee un subconjunto M'  que contiene como elementos precisamente aquellos elementos x de M para los cuales –( x ) es verdadero ".
4. AXIOMA IV. Axioma del conjunto potencia ( Axiom der Potenzmenge ) "A cada conjunto T le corresponde un conjunto T'  , el conjunto potencia de T , que contiene como elementos precisamente todos los subconjuntos de T  ".
5. AXIOMA V. Axioma de la unión ( Axiom der Vereinigung ) "A cada conjunto T le corresponde un conjunto ∪T , la unión de T , que contiene como elementos precisamente todos los elementos de los elementos de T  ".
6. AXIOMA VI. Axioma de elección ( Axiom der Auswahl ) "Si T es un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos diferentes de ∅ y mutuamente disjuntos, su unión ∪T incluye al menos un subconjunto S ₁ que tiene uno y solo un elemento en común con cada elemento de T.  "
7. AXIOMA VII. Axioma del infinito ( Axiom des Unendlichen ) "Existe en el dominio al menos un conjunto Z que contiene el conjunto nulo como elemento y está constituido de tal manera que a cada uno de sus elementos a le corresponde un elemento adicional de la forma { a }, es decir, que con cada uno de sus elementos a contiene también el conjunto correspondiente { a } como elemento."

Conexión con la teoría de conjuntos estándar

La teoría de conjuntos más utilizada y aceptada se conoce como ZFC, que consiste en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluido el axioma de elección (AC). Los enlaces muestran dónde corresponden los axiomas de la teoría de Zermelo. No existe una coincidencia exacta para "conjuntos elementales". (Más tarde se demostró que el conjunto singleton podría derivarse de lo que ahora se llama el "axioma de pares". Si a existe, a y a existen, entonces { a , a } existe, y así por extensionalidad { a , a } = { a }.) El axioma del conjunto vacío ya está asumido por el axioma del infinito y ahora se incluye como parte de él.

La teoría de conjuntos de Zermelo no incluye los axiomas de reemplazo y regularidad . El axioma de reemplazo fue publicado por primera vez en 1922 por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem , quienes habían descubierto de forma independiente que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} donde Z ₀ es el conjunto de números naturales y Z _{n +1} es el conjunto potencia de Z _n . Ambos se dieron cuenta de que se necesitaba el axioma de sustitución para demostrarlo. Al año siguiente, John von Neumann señaló que el axioma de regularidad es necesario para construir su teoría de los ordinales . El axioma de regularidad fue enunciado por von Neumann en 1925. ^[1]

En el sistema ZFC moderno, la "función proposicional" a la que se refiere el axioma de separación se interpreta como "cualquier propiedad definible mediante una fórmula de primer orden con parámetros", por lo que el axioma de separación se reemplaza por un esquema de axioma . La noción de "fórmula de primer orden" no se conocía en 1908 cuando Zermelo publicó su sistema de axiomas, y más tarde rechazó esta interpretación por ser demasiado restrictiva. La teoría de conjuntos de Zermelo generalmente se considera una teoría de primer orden con el axioma de separación reemplazado por un esquema de axioma con un axioma para cada fórmula de primer orden. También se puede considerar como una teoría en lógica de segundo orden , donde ahora el axioma de separación es solo un axioma único. La interpretación de segundo orden de la teoría de conjuntos de Zermelo probablemente esté más cerca de la concepción que el propio Zermelo tiene de la misma y es más fuerte que la interpretación de primer orden.

Dado que —dónde está el conjunto de rangos en la jerarquía acumulativa— forma un modelo de teoría de conjuntos de Zermelo de segundo orden dentro de ZFC siempre que un ordinal límite sea mayor que el ordinal infinito más pequeño , se deduce que la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo de segundo orden ( y por tanto también el de la teoría de conjuntos de Zermelo de primer orden) es un teorema de ZFC. Si dejamos , la existencia de un límite cardinal fuerte incontable no se satisface en dicho modelo; por lo tanto, la existencia de ℶ ω (el cardinal de límite fuerte incontable más pequeño) no se puede probar en la teoría de conjuntos de Zermelo de segundo orden. De manera similar, el conjunto (donde L es el universo construible ) forma un modelo de teoría de conjuntos de Zermelo de primer orden en el que no se satisface la existencia de un límite débil cardinal incontable, lo que muestra que la teoría de conjuntos de Zermelo de primer orden ni siquiera puede probar la existencia del universo construible. cardenal singular más pequeño , . Dentro de tal modelo, los únicos cardinales infinitos son los números aleph restringidos a ordinales índice finitos. ${\displaystyle (V_{\lambda },V_{\lambda +1})}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda =\omega \cdot 2}$ ${\displaystyle V_{\omega \cdot 2}\cap L}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

El axioma del infinito suele modificarse actualmente para afirmar la existencia del primer ordinal de von Neumann infinito ; los axiomas de Zermelo originales no pueden probar la existencia de este conjunto, ni los axiomas de Zermelo modificados pueden probar el axioma de infinito de Zermelo. Los axiomas de Zermelo (originales o modificados) no pueden probar la existencia de un conjunto ni de ningún rango de la jerarquía acumulativa de conjuntos con índice infinito. En cualquier formulación, la teoría de conjuntos de Zermelo no puede probar la existencia del ordinal de von Neumann , a pesar de probar la existencia de tal tipo de orden; por tanto, la definición de ordinales de von Neumann no se emplea para la teoría de conjuntos de Zermelo. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle \omega \cdot 2}$

Zermelo permitió la existencia de urelementos que no son conjuntos y no contienen elementos; estos ahora generalmente se omiten en las teorías de conjuntos.

Teoría de conjuntos de Mac Lane

La teoría de conjuntos de Mac Lane, introducida por Mac Lane  (1986), es la teoría de conjuntos de Zermelo con el axioma de separación restringido a fórmulas de primer orden en las que cada cuantificador está acotado. La teoría de conjuntos de Mac Lane es similar en solidez a la teoría del topos con un objeto de número natural , o al sistema de Principia mathematica . Es lo suficientemente potente como para realizar casi todas las matemáticas ordinarias que no estén directamente relacionadas con la teoría de conjuntos o la lógica.

El objetivo del artículo de Zermelo

La introducción afirma que la existencia misma de la disciplina de la teoría de conjuntos "parece estar amenazada por ciertas contradicciones o "antinomias" que pueden derivarse de sus principios -principios que necesariamente gobiernan nuestro pensamiento, al parecer- y para los cuales no existe una solución enteramente satisfactoria. todavía no se ha encontrado". Por supuesto, Zermelo se refiere a la " antinomia de Russell ".

Dice que quiere mostrar cómo la teoría original de Georg Cantor y Richard Dedekind puede reducirse a unas pocas definiciones y siete principios o axiomas. Dice que no ha podido demostrar que los axiomas sean consistentes.

Un argumento no constructivista a favor de su coherencia es el siguiente. Defina V _α para α uno de los ordinales 0, 1, 2, ...,ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 de la siguiente manera:

• V ₀ es el conjunto vacío.
• Para α un sucesor de la forma β+1, V _α se define como la colección de todos los subconjuntos de V _β .
• Para α un límite (por ejemplo, ω, ω·2), entonces V _α se define como la unión de V _β para β<α.

Entonces los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo son consistentes porque son verdaderos en el modelo V _ω·2 . Mientras que un no constructivista podría considerar esto como un argumento válido, un constructivista probablemente no lo haría: si bien no hay problemas con la construcción de los conjuntos hasta V _ω , la construcción de V _ω+1 es menos clara porque no se puede definir constructivamente cada subconjunto de V _ω . Este argumento puede convertirse en una prueba válida con la adición de un nuevo axioma de infinito a la teoría de conjuntos de Zermelo, simplemente que V _ω·2 existe . Probablemente esto no sea convincente para un constructivista, pero muestra que la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo puede demostrarse con una teoría que no es muy diferente de la propia teoría de Zermelo, sólo que un poco más poderosa.

El axioma de la separación.

Zermelo comenta que el Axioma III de su sistema es el encargado de eliminar las antinomias. Se diferencia de la definición original de Cantor en lo siguiente.

Los conjuntos no pueden definirse independientemente mediante ninguna noción arbitraria lógicamente definible. Deben construirse de alguna manera a partir de conjuntos previamente construidos. Por ejemplo, pueden construirse tomando conjuntos de poderes o pueden separarse como subconjuntos de conjuntos ya "dados". Esto, afirma, elimina ideas contradictorias como "el conjunto de todos los conjuntos" o "el conjunto de todos los números ordinales".

Elimina la paradoja de Russell mediante este teorema: "Todo conjunto posee al menos un subconjunto que no es elemento de ". Sea el subconjunto de para el cual, según el AXIOMA III, está separado por la noción " ". Entonces no puede estar en . Para ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

1. Si está en , entonces contiene un elemento x para el cual x está en x (es decir, en sí mismo), lo que contradeciría la definición de . ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$
2. Si no está en , y suponiendo que es un elemento de M , entonces es un elemento de M que satisface la definición " ", y también lo es en lo que hay una contradicción. ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle M_{0}}$

Por lo tanto, la suposición que se hace es incorrecta, demostrando el teorema. Por tanto, no todos los objetos del dominio universal B pueden ser elementos de un mismo conjunto. "Esto elimina la antinomia de Russell en lo que a nosotros respecta". ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

Esto dejó el problema del "dominio B " que parece referirse a algo. Esto llevó a la idea de una clase adecuada .

teorema de cantor

El artículo de Zermelo puede ser el primero en mencionar el nombre " teorema de Cantor ". Teorema de Cantor: "Si M es un conjunto arbitrario, entonces siempre M < P( M ) [el conjunto potencia de M ]. Cada conjunto es de menor cardinalidad que el conjunto de sus subconjuntos".

Zermelo prueba esto considerando una función φ: M → P( M ). Por el Axioma III esto define el siguiente conjunto M'  :

METRO'  = { metro : metro ∉ φ( metro )}.

Pero ningún elemento m'  de M  podría corresponder a M'  , es decir tal que φ( m'  ) = M'  . De lo contrario podemos construir una contradicción:

1) Si m'  está en M'  entonces, por definición, m'  ∉ φ( m'  ) = M'  , que es la primera parte de la contradicción

2) Si m'  no está en M'  sino en M  entonces, por definición, m'  ∉ M'  = φ( m'  ), lo que por definición implica que m'  está en M'  , que es la segunda parte de la contradicción.

entonces por contradicción m'  no existe. Nótese la gran semejanza de esta prueba con la forma en que Zermelo resuelve la paradoja de Russell.

Ver también

• S (teoría de conjuntos)

Referencias

1. Ferreirós 2007, págs.369, 371.

Trabajos citados

• Ferreirós, José (2007), Laberinto del pensamiento: una historia de la teoría de conjuntos y su papel en el pensamiento matemático , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.

Referencias generales

• Mac Lane, Saunders (1986), Matemáticas, forma y función , Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-4872-9, ISBN 0-387-96217-4, señor  0816347.
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi :10.1007/bf01449999, S2CID  120085563. Traducción al inglés: Heijenoort, Jean van (1967), "Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos", De Frege a Gödel: un libro de consulta en lógica matemática, 1879-1931 , Libros de consulta en la historia de las ciencias, Universidad de Harvard. Prensa, págs. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.