Fracción continua

Number represented as a0+1/(a1+1/...)

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}$

Una fracción continua regular finita, donde es un entero no negativo, es un entero y es un entero positivo, para . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

En matemáticas , una fracción continua es una expresión obtenida a través de un proceso iterativo de representar un número como la suma de su parte entera y el recíproco de otro número, luego escribir este otro número como la suma de su parte entera y otro recíproco, y así sucesivamente. ^[1] En una fracción continua finita (o fracción continua terminada ), la iteración/ recursión termina después de un número finito de pasos al usar un número entero en lugar de otra fracción continua. Por el contrario, una fracción continua infinita es una expresión infinita . En cualquier caso, todos los números enteros en la secuencia, excepto el primero, deben ser positivos . Los números enteros se denominan coeficientes o términos de la fracción continua. ^[2] ${\displaystyle a_{i}}$

En general, se supone que el numerador de todas las fracciones es 1. Si se utilizan valores o funciones arbitrarios en lugar de uno o más de los numeradores o de los números enteros en los denominadores, la expresión resultante es una fracción continua generalizada . Cuando es necesario distinguir la primera forma de las fracciones continuas generalizadas, la primera puede denominarse fracción continua simple o regular , o decirse que está en forma canónica .

Las fracciones continuas tienen una serie de propiedades notables relacionadas con el algoritmo euclidiano para números enteros o reales . Todo número racional ⁠ ${\displaystyle p}$/ ${\displaystyle q}$⁠ tiene dos expresiones estrechamente relacionadas como fracción continua finita, cuyos coeficientes a _i se pueden determinar aplicando el algoritmo de Euclides a . El valor numérico de una fracción continua infinita es irracional ; se define a partir de su secuencia infinita de números enteros como el límite de una secuencia de valores para fracciones continuas finitas. Cada fracción continua finita de la secuencia se obtiene utilizando un prefijo finito de la secuencia de números enteros que define la fracción continua infinita. Además, cada número irracional es el valor de una única fracción continua regular infinita, cuyos coeficientes se pueden encontrar utilizando la versión no terminal del algoritmo de Euclides aplicado a los valores inconmensurables y 1. Esta forma de expresar números reales (racionales e irracionales) se llama su representación de fracción continua . ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Motivación y notación

Consideremos, por ejemplo, el número racional ⁠415/93⁠ , que es aproximadamente 4,4624. Como primera aproximación , comenzamos con 4, que es la parte entera ; ⁠415/93⁠ = 4 + ⁠43/93⁠ . La parte fraccionaria es el recíproco de ⁠93/43⁠ que es aproximadamente 2,1628. Utilice la parte entera, 2, como aproximación del recíproco para obtener una segunda aproximación de 4 + ⁠1/2⁠ = 4,5. Ahora, ⁠93/43⁠ = 2 + ⁠7/43⁠ ; la parte fraccionaria restante, ⁠7/43⁠ , es el recíproco de ⁠43/7⁠ , y ⁠43/7⁠ es aproximadamente 6,1429. Use 6 como aproximación para obtener 2 + ⁠1/6⁠ como una aproximación para ⁠93/43⁠ y 4 + ⁠1/2 + ⁠1/6⁠⁠ , aproximadamente 4,4615, como tercera aproximación. Además, ⁠43/7⁠ = 6 + ⁠1/7⁠ . Finalmente, la parte fraccionaria, ⁠1/7⁠ , es el recíproco de 7, por lo que su aproximación en este esquema, 7, es exacta ( ⁠7/1⁠ = 7 + ⁠0/1⁠ ) ​​y produce la expresión exacta 4 + ⁠1/2 + ⁠1/6 + ⁠1/7⁠⁠⁠ para ⁠415/93⁠ .

La expresión 4 + ⁠1/2 + ⁠1/6 + ⁠1/7⁠⁠⁠ se llama representación de fracción continua de ⁠415/93⁠ . Esto se puede representar mediante la notación abreviada ⁠415/93⁠ = [4; 2, 6, 7]. (Es habitual sustituir solo la primera coma por un punto y coma para indicar que el número precedente es la parte entera). Algunos libros de texto más antiguos utilizan todas las comas en la ( n + 1) -tupla, por ejemplo, [4, 2, 6, 7]. ^{[3] [4]}

Si el número inicial es racional, entonces este proceso es exactamente paralelo al algoritmo euclidiano aplicado al numerador y denominador del número. En particular, debe terminar y producir una representación de fracción continua finita del número. La secuencia de números enteros que aparecen en esta representación es la secuencia de cocientes sucesivos calculados por el algoritmo euclidiano. Si el número inicial es irracional , entonces el proceso continúa indefinidamente. Esto produce una secuencia de aproximaciones, todas las cuales son números racionales, y estas convergen al número inicial como límite. Esta es la representación de fracción continua (infinita) del número. Ejemplos de representaciones de fracción continua de números irracionales son:

• √ 19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...] (secuencia A010124 en la OEIS ). El patrón se repite indefinidamente con un periodo de 6.
• e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...](secuenciaA003417en laOEIS). El patrón se repite indefinidamente con un período de 3 excepto que se añade 2 a uno de los términos en cada ciclo.
• π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] (secuencia A001203 en la OEIS ). Nunca se ha encontrado ningún patrón en esta representación.
• Φ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] (secuencia A000012 en la OEIS ). La proporción áurea , el número irracional que es el "más difícil" de aproximar racionalmente (véase § Una propiedad de la proporción áurea φ más abajo) .
• γ = [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,...] (secuencia A002852 en la OEIS ). La constante de Euler-Mascheroni , que se espera pero no se sabe que sea irracional, y cuya fracción continua no tiene un patrón aparente.

Las fracciones continuas son, en cierto modo, representaciones "matemáticamente más naturales" de un número real que otras representaciones como las representaciones decimales , y tienen varias propiedades deseables:

• La representación fraccionaria continua de un número real es finita si y solo si es un número racional. Por el contrario, la representación decimal de un número racional puede ser finita, por ejemplo137/1600⁠ = 0,085625 , o infinito con un ciclo repetitivo, por ejemplo4/27⁠ = 0,148148148148...
• Cada número racional tiene una representación fraccionaria continua simple esencialmente única. Cada número racional se puede representar exactamente de dos maneras, ya que [ a ₀ ; a ₁ ,... a _{n −1} , a _n ] = [ a ₀ ; a ₁ ,... a _{n −1} ,( a _n −1),1] . Por lo general, se elige como representación canónica la primera, la más corta .
• La representación de un número irracional mediante una fracción continua simple es única. (Sin embargo, son posibles representaciones adicionales cuando se utilizan fracciones continuas generalizadas ; consulte a continuación).
• Los números reales cuya fracción continua eventualmente se repite son precisamente los irracionales cuadráticos . ^[5] Por ejemplo, la fracción continua periódica [1;1,1,1,...] es la proporción áurea , y la fracción continua periódica [1;2,2,2,...] es la raíz cuadrada de 2. En contraste, las representaciones decimales de los irracionales cuadráticos son aparentemente aleatorias . Las raíces cuadradas de todos los números enteros (positivos) que no son cuadrados perfectos son irracionales cuadráticos y, por lo tanto, son fracciones continuas periódicas únicas.
• Las aproximaciones sucesivas generadas para encontrar la representación de fracción continua de un número, es decir, truncando la representación de fracción continua, son en cierto sentido (descrito a continuación) las "mejores posibles".

Fórmula básica

Una fracción continua ( generalizada ) es una expresión de la forma

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+{_{\ddots }}}}}}}}}$

donde a _i y b _i pueden ser cualquier número complejo.

Cuando b _i = 1 para todo i la expresión se denomina fracción continua simple . Cuando la expresión contiene un número finito de términos, se denomina fracción continua finita . Cuando la expresión contiene un número infinito de términos, se denomina fracción continua infinita . ^[6] Cuando los términos se repiten a partir de un punto, la expresión se denomina fracción continua periódica . ^[5]

Por lo tanto, todo lo siguiente ilustra fracciones continuas simples finitas válidas:

Para fracciones continuas simples de la forma

${\displaystyle r=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{_{\ddots }}}}}}}}}$

El término se puede calcular utilizando la siguiente fórmula recursiva: ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {N_{n}}{N_{n+1}}}\right\rfloor }$

donde y ${\displaystyle N_{n+1}=N_{n-1}{\bmod {N}}_{n}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}N_{0}=r\\N_{1}=1\end{cases}}}$

De lo cual se puede entender que la secuencia se detiene si . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle N_{n+1}=0}$

Cálculo de representaciones de fracciones continuas

Consideremos un número real ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ . Sean y sean ⁠ ⁠ . Cuando ⁠ ⁠ , la representación en fracción continua de es ⁠ ⁠ , donde es la representación en fracción continua de ⁠ ⁠ . Cuando ⁠ ⁠ , entonces es la parte entera de , y es la parte fraccionaria de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle i=\lfloor r\rfloor }$ ${\displaystyle f=r-i}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [i;a_{1},a_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle [a_{1};a_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$

Para calcular la representación de una fracción continua de un número , escribe el mínimo de . Resta este valor de . Si la diferencia es 0, detente; de ​​lo contrario, encuentra el recíproco de la diferencia y repite. El procedimiento se detendrá si y solo si es racional. Este proceso se puede implementar de manera eficiente utilizando el algoritmo euclidiano cuando el número es racional. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

La siguiente tabla muestra una implementación de este procedimiento para el número ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3.245=649/200}$ :

La fracción continua para ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3.245}$ es así o, desarrollada: ${\displaystyle [3;4,12,4],}$

$${\displaystyle {\frac {649}{200}}=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}.}$$

Notaciones

Los números enteros , etc., se denominan coeficientes o términos de la fracción continua. ^[2] Debido a que una fracción continua como ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}}}}}}}}}}$

ocupa una cantidad significativa de espacio vertical, por lo que se han probado varios métodos para reducirlo.

Gottfried Leibniz utilizó a veces la notación ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}x=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}}}{{} \atop +}\\[28mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{2}}}{{} \atop +}\\[2mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{3}}}{{} \atop +}\end{aligned}}\!{\begin{aligned}\\[2mu]{\dfrac {1}{a_{4}}},\end{aligned}}}$

y más tarde la misma idea fue llevada aún más lejos con las barras de fracciones anidadas dibujadas alineadas, por ejemplo por Alfred Pringsheim como

${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {\ \ 1\ \mid }{\mid \,a_{1}}}+{\frac {\ \ 1\,\mid }{\mid \,a_{2}}}+{\frac {\ \ 1\,\mid }{\mid \,a_{3}}}+{\frac {\ \ 1\,\mid }{\mid \,a_{4}}},}$

o en notaciones relacionadas más comunes como ^[8]

${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}\,{1 \over a_{2}+}\,{1 \over a_{3}+}\,{1 \over a_{4}}}$

o

${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}}{{} \atop +}{1 \over a_{2}}{{} \atop +}{1 \over a_{3}}{{} \atop +}{1 \over a_{4}}.}$

Carl Friedrich Gauss utilizó una notación que recuerda a la notación de suma .

${\displaystyle x=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {4}{\mathrm {K} }}}~{\frac {1}{a_{i}}},}$

o en los casos donde el numerador es siempre 1, eliminar las barras de fracción por completo, escribiendo un estilo de lista

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}].}$

A veces, la notación de estilo de lista utiliza corchetes angulares en su lugar,

${\displaystyle x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right\rangle .}$

El punto y coma en las notaciones entre corchetes y ángulos a veces se reemplaza por una coma. ^{[3] [4]}

También se pueden definir fracciones continuas simples infinitas como límites :

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots \,]=\lim _{n\to \infty }\,[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].}$

Este límite existe para cualquier elección de y números enteros positivos . ^{[9] [10]} ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$

Fracciones continuas finitas

Toda fracción continua finita representa un número racional , y todo número racional puede representarse de dos formas diferentes como fracción continua finita, con las condiciones de que el primer coeficiente sea un entero y los demás coeficientes sean enteros positivos. Estas dos representaciones concuerdan excepto en sus términos finales. En la representación más larga, el término final de la fracción continua es 1; la representación más corta omite el 1 final, pero aumenta el nuevo término final en 1. Por lo tanto, el elemento final en la representación corta siempre es mayor que 1, si está presente. En símbolos:

[ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{n − 1} , a _n , 1] = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{n − 1} , a _n + 1] .

[ a ₀ ; 1] = [ a ₀ + 1] .

Recíprocos

Las representaciones fraccionarias continuas de un número racional positivo y su recíproco son idénticas, salvo por un desplazamiento de un lugar hacia la izquierda o hacia la derecha, según si el número es menor o mayor que uno, respectivamente. En otras palabras, los números representados por y son recíprocos. ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle [0;a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}]}$

Por ejemplo, si es un entero y entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x<1}$

${\displaystyle x=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}$y . ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=a+{\frac {1}{b}}}$

Si entonces ${\displaystyle x>1}$

${\displaystyle x=a+{\frac {1}{b}}}$y . ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}$

El último número que genera el resto de la fracción continua es el mismo para ambos y su recíproco. ${\displaystyle x}$

Por ejemplo,

${\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]}$y . ${\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]}$

Fracciones continuas infinitas y convergentes

Convergentes que se acercan a la proporción áurea

Toda fracción continua infinita es irracional , y todo número irracional puede representarse de una sola manera como una fracción continua infinita.

Una representación de fracción continua infinita para un número irracional es útil porque sus segmentos iniciales proporcionan aproximaciones racionales al número. Estos números racionales se denominan convergentes de la fracción continua. ^{[11] [12]} Cuanto mayor sea un término en la fracción continua, más cerca estará el convergente correspondiente del número irracional que se está aproximando. Números como π tienen ocasionalmente términos grandes en su fracción continua, lo que hace que sea fácil aproximarlos con números racionales. Otros números como e solo tienen términos pequeños al principio de su fracción continua, lo que hace que sea más difícil aproximarlos racionalmente. La proporción áurea Φ tiene términos iguales a 1 en todas partes (los valores más pequeños posibles), lo que hace que Φ sea el número más difícil de aproximar racionalmente. En este sentido, por lo tanto, es el "más irracional" de todos los números irracionales. Los convergentes de números pares son más pequeños que el número original, mientras que los de números impares son más grandes.

Para una fracción continua [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ...] , los primeros cuatro convergentes (numerados del 0 al 3) son

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{1}},\,{\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\,{\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\,{\frac {a_{3}{\bigl (}a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}{\bigr )}+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.}$

El numerador del tercer convergente se forma multiplicando el numerador del segundo convergente por el tercer coeficiente y sumando el numerador del primer convergente. Los denominadores se forman de manera similar. Por lo tanto, cada convergente se puede expresar explícitamente en términos de la fracción continua como el cociente de ciertos polinomios multivariados llamados continuos .

Si se encuentran convergentes sucesivos, con numeradores h ₁ , h ₂ , ... y denominadores k ₁ , k ₂ , ... entonces la relación recursiva relevante es la de los corchetes gaussianos :

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}&=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\\[3mu]k_{n}&=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.\end{aligned}}}$

Los convergentes sucesivos vienen dados por la fórmula

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.}$

Por lo tanto, para incorporar un nuevo término en una aproximación racional, sólo son necesarios los dos convergentes anteriores. Los "convergentes" iniciales (requeridos para los dos primeros términos) son ⁰ ⁄ ₁ y ¹ ⁄ ₀ . Por ejemplo, aquí están los convergentes para [0;1,5,2,2].

Al utilizar el método babilónico para generar aproximaciones sucesivas a la raíz cuadrada de un entero, si se comienza con el entero más bajo como primer aproximador, todos los racionales generados aparecen en la lista de convergentes para la fracción continua. Específicamente, los aproximadores aparecerán en la lista de convergentes en las posiciones 0, 1, 3, 7, 15, ... ,  2 ^k −1 , ... Por ejemplo, la expansión de la fracción continua para es [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...] . Comparando los convergentes con los aproximadores derivados del método babilónico: ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

x ₀ = 1 = ⁠1/1⁠

x ₁ = ⁠1/2⁠ (1 + ⁠3/1⁠ ) ​​= ⁠2/1⁠ = 2

x ₂ = ⁠1/2⁠ (2 + ⁠3/2⁠ ) ​​= ⁠7/4⁠

x3 = _⁠​1/2⁠ ( ⁠7/4⁠ + ⁠3/⁠7/4⁠⁠ ) ​​= ⁠97/56⁠

Propiedades

Un espacio de Baire es un espacio topológico sobre secuencias infinitas de números naturales. La fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo del espacio de Baire al espacio de números reales irracionales (con la topología del subespacio heredada de la topología usual sobre los reales). La fracción continua infinita también proporciona una función entre los irracionales cuadráticos y los racionales diádicos , y de otros irracionales al conjunto de cadenas infinitas de números binarios (es decir, el conjunto de Cantor ); esta función se denomina función de signo de interrogación de Minkowski . La función tiene interesantes propiedades fractales autosimilares ; estas están dadas por el grupo modular , que es el subgrupo de transformaciones de Möbius que tienen valores enteros en la transformada. En términos generales, las fracciones continuas convergentes pueden tomarse como transformaciones de Möbius que actúan sobre el semiplano superior (hiperbólico) ; esto es lo que conduce a la autosimetría fractal.

La distribución de probabilidad límite de los coeficientes en la expansión fraccionaria continua de una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0, 1) es la distribución de Gauss-Kuzmin .

Algunos teoremas útiles

Si es una secuencia infinita de números enteros positivos, defina las secuencias y recursivamente: ${\displaystyle \ a_{0}\ ,}$ ${\displaystyle a_{1}\ ,}$ ${\displaystyle a_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \ldots \ }$ ${\displaystyle \ h_{n}\ }$ ${\displaystyle \ k_{n}\ }$

Teorema 1. Para cualquier número real positivo ${\displaystyle \ x\ }$

${\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1},x\ \right]={\frac {x\ h_{n-1}+h_{n-2}}{\ x\ k_{n-1}+k_{n-2}\ }},\quad \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1}+x\ \right]={\frac {h_{n-1}+xh_{n-2}}{\ k_{n-1}+xk_{n-2}\ }}}$

Teorema 2. Los convergentes de están dados por ${\displaystyle \ [\ a_{0}\ ;}$ ${\displaystyle a_{1}\ ,}$ ${\displaystyle a_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ldots \ ]\ }$

${\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n}\ \right]={\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}~.}$

o en forma de matriz, $${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}$$

Teorema 3. Si la ésima convergente a una fracción continua es entonces ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ {\frac {h_{n}}{k_{n}}}\ ,}$

${\displaystyle k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}=(-1)^{n}\ ,}$

o equivalentemente

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-1}}{\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n-1}\ k_{n}\ }}~.}$

Corolario 1: Cada convergente está en sus términos más bajos (porque si y tuvieran un divisor común no trivial se dividirían, lo cual es imposible). ${\displaystyle \ h_{n}\ }$ ${\displaystyle \ k_{n}\ }$ ${\displaystyle \ k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}\ ,}$

Corolario 2: La diferencia entre convergentes sucesivos es una fracción cuyo numerador es la unidad:

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {\ h_{n}\ k_{n-1}-k_{n}\ h_{n-1}\ }{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}~.}$

Corolario 3: La fracción continua es equivalente a una serie de términos alternados:

${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}$

Corolario 4: La matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

tiene determinante y por lo tanto pertenece al grupo de matrices unimodulares ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$ ${\displaystyle \ 2\times 2\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )~.}$

Corolario 5: La matriz tiene determinante , o equivalentemente, lo que significa que los términos impares decrecen monótonamente, mientras que los términos pares aumentan monótonamente. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-2}\\k_{n}&k_{n-2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{n-1}&h_{n-2}\\k_{n-1}&k_{n-2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}&0\\1&1\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle (-1)^{n}a_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-2}}{\ k_{n-2}\ }}={\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n-2}\ k_{n}\ }}a_{n}}$$

Corolario 6: La secuencia del denominador satisface la relación de recurrencia y crece al menos tan rápido como la secuencia de Fibonacci , que a su vez crece como donde es la proporción áurea . ${\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2},\dots }$ ${\displaystyle k_{-1}=0,k_{0}=1,k_{n}=k_{n-1}a_{n}+k_{n-2}}$ ${\displaystyle O(\phi ^{n})}$ ${\displaystyle \phi =1.618\dots }$

Teorema 4. Cada ( ésimo) convergente está más cerca de un ( ésimo) convergente posterior que cualquier ( ésimo) convergente precedente. En símbolos, si se toma el (ésimo) convergente como entonces ${\displaystyle \ s}$ ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ r}$ ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{n}\ \right]=x_{n}\ ,}$

${\displaystyle \left|\ x_{r}-x_{n}\ \right|>\left|\ x_{s}-x_{n}\ \right|}$

a pesar de ${\displaystyle \ r<s<n~.}$

Corolario 1: Los convergentes pares (antes del th) aumentan continuamente, pero siempre son menores que ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ x_{n}~.}$

Corolario 2: Los convergentes impares (antes del th) disminuyen continuamente, pero siempre son mayores que ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ x_{n}~.}$

Teorema 5.

${\displaystyle {\frac {1}{\ k_{n}\ (k_{n+1}+k_{n})\ }}<\left|\ x-{\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}\ \right|<{\frac {1}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}$

Corolario 1: Un convergente está más cerca del límite de la fracción continua que cualquier fracción cuyo denominador sea menor que el del convergente.

Corolario 2: Un convergente obtenido al terminar la fracción continua justo antes de un término grande es una aproximación cercana al límite de la fracción continua.

Teorema 6: Considérese el conjunto de todos los intervalos abiertos con puntos finales . Denotémoslo como . Cualquier subconjunto abierto de es una unión disjunta de conjuntos de . ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Corolario: La fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo del espacio de Baire a . ${\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }$

Semiconvergentes

Si

${\displaystyle {\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}},{\frac {h_{n}}{k_{n}}}}$

son convergentes consecutivos, entonces cualquier fracción de la forma

${\displaystyle {\frac {h_{n-1}+mh_{n}}{k_{n-1}+mk_{n}}},}$

donde es un entero tal que , se denominan semiconvergentes , convergentes secundarios o fracciones intermedias . El -st semiconvergente es igual al mediante del -th uno y el convergente . A veces se entiende que el término significa que ser semiconvergente excluye la posibilidad de ser convergente (es decir, ), en lugar de que un convergente sea un tipo de semiconvergente. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq a_{n+1}}$ ${\displaystyle (m+1)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\tfrac {h_{n}}{k_{n}}}}$ ${\displaystyle 0<m<a_{n+1}}$

De ello se deduce que los semiconvergentes representan una secuencia monótona de fracciones entre los convergentes (correspondientes a ) y (correspondientes a ). Los semiconvergentes consecutivos y satisfacen la propiedad . ${\displaystyle {\tfrac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {h_{n+1}}{k_{n+1}}}}$ ${\displaystyle m=a_{n+1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$

Si una aproximación racional a un número real es tal que el valor es menor que el de cualquier aproximación con un denominador menor, entonces es una semiconvergente de la expansión fraccionaria continua de . Sin embargo, lo inverso no es cierto. ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left|x-{\tfrac {p}{q}}\right|}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle x}$

Mejores aproximaciones racionales

Se puede optar por definir una mejor aproximación racional a un número real x como un número racional .norte/d⁠ , d > 0 , que está más cerca de x que cualquier aproximación con un denominador menor o igual. La fracción continua simple para x se puede utilizar para generar todas las mejores aproximaciones racionales para x aplicando estas tres reglas:

1. Trunca la fracción continua y reduce su último término en una cantidad elegida (posiblemente cero).
2. El término reducido no puede tener menos de la mitad de su valor original.
3. Si el término final es par, la mitad de su valor sólo es admisible si el semiconvergente correspondiente es mejor que el convergente anterior. (Véase más abajo.)

Por ejemplo, 0,84375 tiene fracción continua [0;1,5,2,2]. Aquí están todas sus mejores aproximaciones racionales.

Mejores aproximaciones racionales para π (círculo verde), e (rombo azul), ϕ (oblongo rosa), (√3)/2 (hexágono gris), 1/√2 (octágono rojo) y 1/√3 (triángulo naranja) calculadas a partir de sus expansiones en fracciones continuas, representadas como pendientes y / x con errores respecto de sus valores verdaderos (guiones negros)  

• en
• a
• mi

El aumento estrictamente monótono de los denominadores a medida que se incluyen términos adicionales permite que un algoritmo imponga un límite, ya sea en el tamaño del denominador o en la cercanía de la aproximación.

La "regla de la mitad" mencionada anteriormente requiere que cuando a _k es par, el término reducido a la mitad a _k /2 es admisible si y sólo si | x − [ a ₀  ; a ₁ , ..., a _{k − 1} ]| > | x − [ a ₀  ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k /2]| ^[13] Esto es equivalente ^[13] a: Shoemake (1995).

[ a _k ; a _{k − 1} , ..., a ₁ ] > [ a _k ; a _{k + 1} , ...] .

Las convergentes a x son "mejores aproximaciones" en un sentido mucho más fuerte que el definido anteriormente. Es decir, n / d es convergente para x si y solo si | dx − n | tiene el valor más pequeño entre las expresiones análogas para todas las aproximaciones racionales m / c con c ≤ d ; es decir, tenemos | dx − n | < | cx − m | siempre que c < d . (Obsérvese también que | d _k x − n _k | → 0 cuando k → ∞ .)

Mejor racional dentro de un intervalo

Un racional que cae dentro del intervalo ( x ,  y ) , para 0 < x < y , se puede encontrar con las fracciones continuas para x e y . Cuando tanto x como y son irracionales y

x = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , a _k , a _{k + 1} , ...]

y = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , b _k , b _{k + 1} , ...]

donde x e y tienen expansiones fraccionarias continuas idénticas hasta a _{k −1} , un racional que cae dentro del intervalo ( x ,  y ) está dado por la fracción continua finita,

z ( x , y ) = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , min( a _k , b _k ) + 1]

Este racional será mejor en el sentido de que ningún otro racional en ( x ,  y ) tendrá un numerador más pequeño o un denominador más pequeño. ^{[14] [15]}

Si x es racional, tendrá dos representaciones de fracción continua que son finitas , x ₁ y x ₂ , y de manera similar, un racional  y tendrá dos representaciones, y ₁ e y ₂ . Los coeficientes más allá del último en cualquiera de estas representaciones deben interpretarse como +∞ ; y el mejor racional será uno de z ( x ₁ ,  y ₁ ) , z ( x ₁ ,  y ₂ ) , z ( x ₂ ,  y ₁ ) o z ( x ₂ ,  y ₂ ) .

Por ejemplo, la representación decimal 3,1416 se puede redondear a partir de cualquier número en el intervalo [3,14155, 3,14165) . Las representaciones de fracciones continuas de 3,14155 y 3,14165 son

3,14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]

3,14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

y la mejor razón entre estos dos es

[3; 7, 16] = ⁠355/113⁠ = 3,1415929....

Así pues, ⁠355/113⁠ es el mejor número racional correspondiente al número decimal redondeado 3,1416, en el sentido de que ningún otro número racional que se redondeara a 3,1416 tendrá un numerador menor o un denominador menor.

Intervalo para una convergente

Un número racional, que puede expresarse como fracción continua finita de dos maneras,

z = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k , 1] = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k + 1] = ⁠paquete_​/q _k⁠

será uno de los convergentes para la expansión fraccionaria continua de un número, si y solo si el número está estrictamente entre (ver esta prueba)

x = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k , 2] = ⁠2 pk - pk _{- 1}/2 q _k - q _k-1⁠ y

y = [ a ₀ ; un ₁ , ..., un _{k − 1} , un _k + 2] = ⁠pk + pk _{- 1}/qk ₊ qk _- 1⁠

Los números x e y se forman incrementando el último coeficiente en las dos representaciones de z . Se da el caso de que x < y cuando k es par, y x > y cuando k es impar.

Por ejemplo, el número ⁠355/113⁠ tiene las representaciones de fracciones continuas

⁠355/113⁠ = [3; 7, 15, 1] ​​= [3; 7, 16]

y así355/113⁠ es un convergente de cualquier número estrictamente entre

Teorema de Legendre sobre fracciones continuas

En su Ensayo sobre la teoría de los nombres (1798), Adrien-Marie Legendre deriva una condición necesaria y suficiente para que un número racional sea convergente de la fracción continua de un número real dado. ^[16] Una consecuencia de este criterio, a menudo llamado teorema de Legendre dentro del estudio de las fracciones continuas, es la siguiente: ^[17]

Teorema . Si α es un número real y p , q son números enteros positivos tales que , entonces p / q es un convergente de la fracción continua de α . ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}$

Este teorema constituye la base del ataque de Wiener , una explotación en tiempo polinomial del protocolo criptográfico RSA que puede ocurrir por una elección imprudente de claves públicas y privadas (específicamente, este ataque tiene éxito si los factores primos de la clave pública n = pq satisfacen p < q < 2 p y la clave privada d es menor que (1/3) n ^1/4 ). ^[19]

Comparación

Considere x = [ a ₀ ; a ₁ , ...] e y = [ b ₀ ; b ₁ , ...] . Si k es el índice más pequeño para el cual a _k es desigual a b _k entonces x < y si (−1) ^k ( a _k − b _k ) < 0 e y < x en caso contrario.

Si no existe tal k , pero una expansión es más corta que la otra, digamos x = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _n ] e y = [ b ₀ ; b ₁ , ..., b _n , b _{n + 1} , ...] con a _i = b _i para 0 ≤ i ≤ n , entonces x < y si n es par e y < x si n es impar.

Expansión de fracción continua deπy sus convergentes

Para calcular los convergentes de π podemos establecer a ₀ = ⌊ π ⌋ = 3 , definir u ₁ = ⁠1/π − 3⁠ ≈ 7.0625 y a ₁ = ⌊ u ₁ ⌋ = 7 , u ₂ = ⁠1/tú ₁ − 7⁠ ≈ 15,9966 y a ₂ = ⌊ u ₂ ⌋ = 15 , u ₃ = ⁠1/tú ₂ − 15⁠ ≈ 1.0034 . Continuando así, se puede determinar la fracción continua infinita de π como

[3;7,15,1,292,1,1,...] (secuencia A001203 en la OEIS ).

El cuarto convergente de π es [3;7,15,1] = ⁠355/113⁠ = 3,14159292035..., a veces llamado Milü , que está bastante cerca del valor real de π .

Supongamos que los cocientes hallados son, como antes, [3;7,15,1]. La siguiente es una regla por la cual podemos escribir inmediatamente las fracciones convergentes que resultan de estos cocientes sin desarrollar la fracción continua.

El primer cociente, supuesto dividido por la unidad, dará la primera fracción, que será demasiado pequeña, es decir ,3/1⁠ . Luego, multiplicando el numerador y denominador de esta fracción por el segundo cociente y sumando la unidad al numerador, tendremos la segunda fracción, ⁠22/7⁠ , que será demasiado grande. Multiplicando de la misma manera el numerador y el denominador de esta fracción por el tercer cociente, y añadiendo al numerador el numerador de la fracción precedente, y al denominador el denominador de la fracción precedente, obtendremos la tercera fracción, que será demasiado pequeña. Así, siendo el tercer cociente 15, tenemos como numerador (22 × 15 = 330) + 3 = 333 , y como denominador, (7 × 15 = 105) + 1 = 106 . El tercer convergente, por tanto, es ⁠333/106⁠ . Procedemos de la misma manera para el cuarto convergente. Siendo el cuarto cociente 1, decimos que 333 por 1 es 333, y esto más 22, numerador de la fracción precedente, es 355; de manera similar, 106 por 1 es 106, y esto más 7 es 113. De esta manera, empleando los cuatro cocientes [3;7,15,1], obtenemos las cuatro fracciones:

⁠3/1⁠ , ⁠22/7⁠ , ⁠333/106⁠ , ⁠355/113⁠ , ....

El siguiente código de Maple generará expansiones de fracciones continuas de pi

En resumen, el patrón es ${\displaystyle {\text{Numerator}}_{i}={\text{Numerator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Numerator}}_{(i-2)}}$ ${\displaystyle {\text{Denominator}}_{i}={\text{Denominator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Denominator}}_{(i-2)}}$

Estos convergentes son alternativamente más pequeños y más grandes que el valor verdadero de π , y se acercan cada vez más a π . La diferencia entre un convergente dado y π es menor que el recíproco del producto de los denominadores de ese convergente y el siguiente convergente. Por ejemplo, la fracción ⁠22/7⁠ es mayor que π , pero ⁠22/7⁠ − π es menor que ⁠1/7 × 106⁠  =  ⁠1/742⁠ (de hecho, ⁠22/7⁠ − π es simplemente más que ⁠1/791⁠ = ⁠1/7 × 113⁠ ).

La demostración de las propiedades anteriores se deduce del hecho de que si buscamos la diferencia entre una de las fracciones convergentes y la siguiente adyacente a ella obtendremos una fracción cuyo numerador es siempre la unidad y el denominador el producto de los dos denominadores. Por lo tanto la diferencia entre ⁠22/7⁠ y ⁠3/1⁠ es ⁠1/7⁠ , en exceso; entre ⁠333/106⁠ y ⁠22/7⁠ , ⁠1/742⁠ , en déficit; entre ⁠355/113⁠ y ⁠333/106⁠ , ⁠1/11978⁠ , en exceso; y así sucesivamente. El resultado es que, empleando esta serie de diferencias, podemos expresar de otra manera muy sencilla las fracciones de las que aquí nos ocupa, mediante una segunda serie de fracciones en las que los numeradores son todos la unidad y los denominadores son sucesivamente el producto de cada dos denominadores adyacentes. En lugar de las fracciones escritas anteriormente, tenemos la serie:

⁠3/1⁠ + ⁠1/1 × 7⁠ − ⁠1/7 × 106⁠ + ⁠1/106 × 113⁠ − ...

El primer término, como vemos, es la primera fracción; el primero y el segundo juntos dan la segunda fracción ,22/7⁠ ; el primero, el segundo y el tercero dan la tercera fracción ⁠333/106⁠ , y así sucesivamente con el resto; el resultado es que la serie entera es equivalente al valor original.

Fracción continua generalizada

Una fracción continua generalizada es una expresión de la forma

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

donde a _n ( n > 0) son los numeradores parciales, b _n son los denominadores parciales y el término principal b ₀ se llama parte entera de la fracción continua.

Para ilustrar el uso de fracciones continuas generalizadas, considere el siguiente ejemplo. La secuencia de denominadores parciales de la fracción continua simple de π no muestra ningún patrón obvio:

${\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots ]}$

o

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Sin embargo, varias fracciones continuas generalizadas para π tienen una estructura perfectamente regular, como:

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1/2+{\cfrac {1}{1/3+{\cfrac {1}{1/4+\ddots }}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {4}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ddots }}}}}}}}}$

Los dos primeros son casos especiales de la función arcotangente con π = 4 arctan (1) y el cuarto y el quinto pueden derivarse utilizando el producto de Wallis . ^{[20] [21]}

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}}{6\cdot 1^{2}+1^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}{6\cdot 2^{2}+2^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}}{6\cdot 3^{2}+3^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}}{6\cdot 4^{2}+\ddots }}}}}}}}}}}$

La fracción continua anterior que consiste en cubos utiliza la serie Nilakantha y una explotación de Leonhard Euler. ^[22] ${\displaystyle \pi }$

Otras expansiones de fracciones continuas

Fracciones periódicas continuas

Los números con desarrollo periódico en fracciones continuas son precisamente las soluciones irracionales de ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales; las soluciones racionales tienen desarrollos en fracciones continuas finitas como se dijo anteriormente. Los ejemplos más simples son la proporción áurea φ = [1;1,1,1,1,1,...] y √ 2 = [1;2,2,2,2,...], mientras que √ 14 = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...] y √ 42 = [6;2,12,2,12,2,12...]. Todas las raíces cuadradas irracionales de números enteros tienen una forma especial para el período; una cadena simétrica, como la cadena vacía (para √ 2 ) o 1,2,1 (para √ 14 ), seguida por el doble del entero principal.

Una propiedad de la proporción áurea φ

Debido a que la expansión fraccionaria continua para φ no utiliza ningún entero mayor que 1, φ es uno de los números reales más "difíciles" de aproximar con números racionales. El teorema de Hurwitz ^[23] establece que cualquier número irracional k puede aproximarse con infinitos números racionales .metro/norte⁠ con

${\displaystyle \left|k-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.}$

Si bien prácticamente todos los números reales k eventualmente tendrán infinitos convergentesmetro/norte⁠ cuya distancia desde k es significativamente menor que este límite, los convergentes para φ (es decir, los números ⁠5/3⁠ , ⁠8/5⁠ , ⁠13/8⁠ , ⁠21/13, etc.) constantemente "pisan el límite", manteniendo una distancia casi exactamente de φ, por lo que nunca producen una aproximación tan impresionante como, por ejemplo , ${\displaystyle {\scriptstyle {1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}}}$355/113⁠ para π . También se puede demostrar que todo número real de la forma ⁠a + b φ/c + d φ⁠ , donde a , b , c y d son números enteros tales que a  d − b  c = ±1 , comparte esta propiedad con la proporción áurea φ; y que todos los demás números reales pueden aproximarse más estrechamente.

Patrones regulares en fracciones continuas

Si bien no existe un patrón discernible en la simple expansión de fracción continua de π , hay uno para e , la base del logaritmo natural :

${\displaystyle e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ],}$

que es un caso especial de esta expresión general para el entero positivo n :

${\displaystyle e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}$

Otro patrón más complejo aparece en esta expansión de fracción continua para n impar positivo :

${\displaystyle e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,}$

con un caso especial para n = 1 :

${\displaystyle e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.}$

Otras fracciones continuas de este tipo son

${\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]}$

donde n es un entero positivo; además, para el entero n :

${\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,}$

con un caso especial para n = 1 :

${\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.}$

Si I _n ( x ) es la función de Bessel modificada, o hiperbólica, del primer tipo, podemos definir una función sobre los racionalespag/q⁠ por

${\displaystyle S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}},}$

que se define para todos los números racionales, con p y q en su mínima expresión. Entonces, para todos los racionales no negativos, tenemos

${\displaystyle S(p/q)=[p+q;p+2q,p+3q,p+4q,\dots ],}$

con fórmulas similares para racionales negativos; en particular tenemos

${\displaystyle S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,\dots ].}$

Muchas de las fórmulas se pueden demostrar utilizando la fracción continua de Gauss .

Fracciones continuas típicas

La mayoría de los números irracionales no tienen ningún comportamiento periódico o regular en su desarrollo fraccionario continuo. Sin embargo, para casi todos los números en el intervalo unitario, tienen el mismo comportamiento límite.

La media aritmética diverge: , y por lo tanto los coeficientes se hacen arbitrariamente grandes: . En particular, esto implica que casi todos los números son bien aproximables, en el sentido de que Khinchin demostró que la media geométrica de a _i tiende a una constante (conocida como la constante de Khinchin ): Paul Lévy demostró que la raíz n del denominador del convergente n converge a la constante de Lévy El teorema de Lochs establece que los convergentes convergen exponencialmente a una tasa de ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=+\infty }$ ${\displaystyle \limsup _{n}a_{n}=+\infty }$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|q_{n}^{2}=0}$$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2.6854520010\dots }$$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }q_{n}^{1/n}=e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.2758\ldots }$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$$

Aplicaciones

Raíces cuadradas

Las fracciones continuas generalizadas se utilizan en un método para calcular raíces cuadradas .

La identidad

conduce por recursión a la fracción continua generalizada para cualquier raíz cuadrada: ^[24]

Ecuación de Pell

Las fracciones continuas juegan un papel esencial en la solución de la ecuación de Pell . Por ejemplo, para los números enteros positivos p y q y n no cuadrado , es cierto que si p ² − nq ² = ±1 , entonces ⁠pag/q⁠ es un convergente de la fracción continua regular para √ n . Lo inverso se cumple si el período de la fracción continua regular para √ n es 1, y en general el período describe qué convergentes dan soluciones a la ecuación de Pell. ^[25]

Sistemas dinámicos

Continued fractions also play a role in the study of dynamical systems, where they tie together the Farey fractions which are seen in the Mandelbrot set with Minkowski's question-mark function and the modular group Gamma.

The backwards shift operator for continued fractions is the map h(x) = 1/x − ⌊1/x⌋ called the Gauss map, which lops off digits of a continued fraction expansion: h([0; a₁, a₂, a₃, ...]) = [0; a₂, a₃, ...]. The transfer operator of this map is called the Gauss–Kuzmin–Wirsing operator. The distribution of the digits in continued fractions is given by the zero'th eigenvector of this operator, and is called the Gauss–Kuzmin distribution.

Eigenvalues and eigenvectors

The Lanczos algorithm uses a continued fraction expansion to iteratively approximate the eigenvalues and eigenvectors of a large sparse matrix.^[26]

Networking applications

Continued fractions have also been used in modelling optimization problems for wireless network virtualization to find a route between a source and a destination.^[27]

Examples of rational and irrational numbers

ra: rational approximant obtained by expanding continued fraction up to a_r

History

• 300 BCE Euclid's Elements contains an algorithm for the greatest common divisor, whose modern version generates a continued fraction as the sequence of quotients of successive Euclidean divisions that occur in it.
• 499 The Aryabhatiya contains the solution of indeterminate equations using continued fractions
• 1572 Rafael Bombelli, L'Algebra Opera – method for the extraction of square roots which is related to continued fractions
• 1613 Pietro Cataldi, Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri – first notation for continued fractions

Cataldi represented a continued fraction as ${\displaystyle a_{0}}$ & ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}}$ & ${\displaystyle {\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}}$ & ${\displaystyle {\frac {n_{3}}{d_{3}\cdot }}}$ with the dots indicating where the following fractions went.

• 1695 John Wallis, Opera Mathematica – introduction of the term "continued fraction"
• 1737 Leonhard Euler, De fractionibus continuis dissertatio – Provided the first then-comprehensive account of the properties of continued fractions, and included the first proof that the number e is irrational.^[28]
• 1748 Euler, Introductio in analysin infinitorum. Vol. I, Chapter 18 – proved the equivalence of a certain form of continued fraction and a generalized infinite series, proved that every rational number can be written as a finite continued fraction, and proved that the continued fraction of an irrational number is infinite.^[29]
• 1761 Johann Lambert – gave the first proof of the irrationality of π using a continued fraction for tan(x).
• 1768 Joseph-Louis Lagrange – provided the general solution to Pell's equation using continued fractions similar to Bombelli's
• 1770 Lagrange – proved that quadratic irrationals expand to periodic continued fractions.
• 1813 Carl Friedrich Gauss, Werke, Vol. 3, pp. 134–138 – derived a very general complex-valued continued fraction via a clever identity involving the hypergeometric function
• 1892 Henri Padé defined Padé approximant
• 1972 Bill Gosper – First exact algorithms for continued fraction arithmetic.

See also

• Gaussian brackets
• Generalized continued fraction – generalization of continued fractions in which the partial numerators and partial denominators can assume arbitrary complex valuesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Periodic continued fraction
• Continued Logarithms
• Complete quotient
• Computing continued fractions of square roots – Algorithms for calculating square roots
• Egyptian fraction – Finite sum of distinct unit fractions
• Engel expansion – decomposition of a positive real number into a series of unit fractions, each an integer multiple of the next onePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Euler's continued fraction formula – Connects a very general infinite series with an infinite continued fraction.
• Infinite compositions of analytic functions – Mathematical theory about infinitely iterated function composition
• Infinite product – Mathematical concept
• Iterated binary operation – Repeated application of an operation to a sequence
• Klein polyhedron – Concept in the geometry of numbers
• Mathematical constants by continued fraction representation
• Restricted partial quotients – Analytic series
• Stern–Brocot tree – Ordered binary tree of rational numbers
• Śleszyński–Pringsheim theorem – Criterion for convergence of continued fractions

Notes

1. Encyclopaedia Britannica 2013.
2. Pettofrezzo & Byrkit 1970, p. 150.
3. Long 1972, p. 173.
4. Pettofrezzo & Byrkit 1970, p. 152.
5. Weisstein 2022.
6. Collins 2001.
7. Cajori, Florian (1925). "Leibniz, the Master-Builder of Mathematical Notations". Isis. 7 (3): 412–429. doi:10.1086/358328.
8. Swanson, Ellen (1999) [1971]. Mathematics into Type (PDF). Updated by O'Sean, Arlene; Schleyer, Antoinette (Updated ed.). American Mathematical Society. 2.4.1c "Continued fractions", p. 18.
9. Long 1972, p. 183.
10. Pettofrezzo & Byrkit 1970, p. 158.
11. Long 1972, p. 177.
12. Pettofrezzo & Byrkit 1970, pp. 162–163.
13. Thill 2008.
14. Gosper, R. W. (1977). "Appendix 2: Continued Fraction Arithmetic". See "simplest intervening rational", pp. 29–31.
15. Murakami, Hiroshi (February 2015). "Calculation of rational numbers in an interval whose denominator is the smallest by using FP interval arithmetic". ACM Communications in Computer Algebra. 48 (3/4): 134–136. doi:10.1145/2733693.2733711.
16. Legendre, Adrien-Marie (1798). Essai sur la théorie des nombres (in French). Paris: Duprat. pp. 27–29.
17. Barbolosi, Dominique; Jager, Hendrik (1994). "On a theorem of Legendre in the theory of continued fractions". Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. 6 (1): 81–94. doi:10.5802/jtnb.106. JSTOR 26273940 – via JSTOR.
18. Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1938). An Introduction to the Theory of Numbers. London: Oxford University Press. pp. 140–141, 153.
19. Wiener, Michael J. (1990). "Cryptanalysis of short RSA secret exponents". IEEE Transactions on Information Theory. 36 (3): 553–558. doi:10.1109/18.54902 – via IEEE.
20. Bunder & Tonien 2017.
21. Scheinerman, Pickett & Coleman 2008.
22. Foster 2015.
23. Hardy & Wright 2008, Theorem 193.
24. Thurston 2012.
25. Niven, Zuckerman & Montgomery 1991.
26. Martin 2004, p. 557.
27. Afifi, Auroux & Karl 2018.
28. Sandifer 2006.
29. Euler 1748.

References

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External links

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• FRACCIONES CONTINUAS por CD Olds