Clase característica

Asociación de clases de cohomología a haces principales

En matemáticas , una clase característica es una forma de asociar a cada fibrado principal de X una clase de cohomología de X. La clase de cohomología mide hasta qué punto el fibrado está "torcido" y si posee secciones . Las clases características son invariantes globales que miden la desviación de una estructura de producto local respecto de una estructura de producto global. Son uno de los conceptos geométricos unificadores en topología algebraica , geometría diferencial y geometría algebraica .

La noción de clase característica surgió en 1935 en el trabajo de Eduard Stiefel y Hassler Whitney sobre campos vectoriales en variedades.

Definición

Sea G un grupo topológico y, para un espacio topológico , escriba para el conjunto de clases de isomorfismo de los G -fibrados principales sobre . Este es un funtor contravariante de Top (la categoría de espacios topológicos y funciones continuas ) a Set (la categoría de conjuntos y funciones ), que envía una función a la operación de pullback . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{G}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{G}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\colon b_{G}(Y)\to b_{G}(X)}$

Una clase característica c de G -fibrados principales es entonces una transformación natural de a un funtor de cohomología , considerado también como un funtor de Conjunto . ${\displaystyle b_{G}}$ ${\displaystyle H^{*}}$

En otras palabras, una clase característica se asocia a cada fibrado principal G en un elemento c ( P ) en H *( X ) tal que, si f  : Y → X es una función continua, entonces c ( f * P ) = f * c ( P ). A la izquierda está la clase del pullback de P a Y ; a la derecha está la imagen de la clase de P bajo la función inducida en cohomología. ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle b_{G}(X)}$

Números característicos

Las clases características son elementos de los grupos de cohomología; ^[1] se pueden obtener números enteros a partir de clases características, llamadas números característicos . Algunos ejemplos importantes de números característicos son los números de Stiefel–Whitney , los números de Chern , los números de Pontryagin y la característica de Euler .

Dada una variedad orientada M de dimensión n con clase fundamental , y un fibrado G con clases características , se puede aparear un producto de clases características de grado total n con la clase fundamental. El número de números característicos distintos es el número de monomios de grado n en las clases características, o equivalentemente las particiones de n en . ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$ ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle {\mbox{deg}}\,c_{i}}$

Formalmente, dado que , el número característico correspondiente es: ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{l}}$ ${\displaystyle \sum {\mbox{deg}}\,c_{i_{j}}=n}$

${\displaystyle c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{l}}([M])}$

donde denota el producto de copa de las clases de cohomología. Estos se notan de diversas formas, ya sea como el producto de clases características, como , o mediante alguna notación alternativa, como para el número de Pontryagin correspondiente a , o para la característica de Euler. ${\displaystyle \smile }$ ${\displaystyle c_{1}^{2}}$ ${\displaystyle P_{1,1}}$ ${\displaystyle p_{1}^{2}}$ ${\displaystyle \chi }$

Desde el punto de vista de la cohomología de De Rham , se pueden tomar formas diferenciales que representan las clases características, ^[2] tomar un producto de cuña de modo que se obtenga una forma de dimensión superior, luego integrar sobre la variedad; esto es análogo a tomar el producto en cohomología y emparejarlo con la clase fundamental.

Esto también funciona para variedades no orientables, que tienen una orientación , en cuyo caso se obtienen números característicos con valores , como los números de Stiefel-Whitney. ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Los números característicos resuelven las cuestiones del bordismo orientado y no orientado : dos variedades son cobordantes (respectivamente orientadas o no orientadas) si y sólo si sus números característicos son iguales.

Motivación

Las clases características son fenómenos de la teoría de la cohomología de una manera esencial: son construcciones contravariantes , en la forma en que una sección es una especie de función en un espacio, y para llevar a una contradicción a partir de la existencia de una sección necesitamos esa varianza. De hecho, la teoría de la cohomología surgió después de la teoría de la homología y la teoría de la homotopía , que son teorías covariantes basadas en la aplicación en un espacio; y la teoría de clases características en su infancia en la década de 1930 (como parte de la teoría de la obstrucción ) fue una de las principales razones por las que se buscó una teoría "dual" de la homología. El enfoque de la clase característica para los invariantes de curvatura fue una razón particular para hacer una teoría, para demostrar un teorema general de Gauss-Bonnet .

Cuando la teoría se puso sobre una base organizada alrededor de 1950 (con las definiciones reducidas a la teoría de homotopía) se hizo evidente que las clases características más fundamentales conocidas en ese momento (la clase de Stiefel-Whitney , la clase de Chern y las clases de Pontryagin ) eran reflejos de los grupos lineales clásicos y su estructura de toro maximalista . Es más, la clase de Chern en sí no era tan nueva, habiéndose reflejado en el cálculo de Schubert sobre Grassmannianos y el trabajo de la escuela italiana de geometría algebraica . Por otro lado, ahora había un marco que producía familias de clases, siempre que hubiera un fibrado vectorial involucrado.

El mecanismo principal parecía ser entonces el siguiente: dado un espacio X que lleva un fibrado vectorial, eso implicaba en la categoría de homotopía una aplicación de X a un espacio clasificador BG , para el grupo lineal relevante G . Para la teoría de homotopía la información relevante es transportada por subgrupos compactos tales como los grupos ortogonales y los grupos unitarios de G . Una vez calculada la cohomología , de una vez por todas, la propiedad de contravariancia de la cohomología significaba que las clases características para el fibrado se definirían en las mismas dimensiones. Por ejemplo, la clase de Chern es realmente una clase con componentes graduados en cada dimensión par. ${\displaystyle H^{*}(BG)}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$

Ésta sigue siendo la explicación clásica, aunque en una teoría geométrica dada es provechoso tener en cuenta una estructura adicional. Cuando la cohomología se volvió "extraordinaria" con la llegada de la teoría K y la teoría del cobordismo a partir de 1955, en realidad sólo fue necesario cambiar la letra H en todas partes para indicar cuáles eran las clases características.

Más tarde se encontraron clases características para las foliaciones de variedades ; tienen (en un sentido modificado, para las foliaciones con algunas singularidades permitidas) una teoría del espacio clasificador en la teoría de la homotopía .

En trabajos posteriores, tras el acercamiento de las matemáticas y la física , Simon Donaldson y Dieter Kotschick descubrieron nuevas clases características en la teoría del instantón . El trabajo y el punto de vista de Chern también resultaron importantes: véase la teoría de Chern-Simons .

Estabilidad

En el lenguaje de la teoría de la homotopía estable , la clase de Chern , la clase de Stiefel–Whitney y la clase de Pontryagin son estables , mientras que la clase de Euler es inestable .

Concretamente, una clase estable es aquella que no cambia cuando se le añade un fibrado trivial: . Más abstractamente, significa que la clase de cohomología en el espacio de clasificación para se retrae de la clase de cohomología en bajo la inclusión (que corresponde a la inclusión y similares). Equivalentemente, todas las clases características finitas se retraen de una clase estable en . ${\displaystyle c(V\oplus 1)=c(V)}$ ${\displaystyle BG(n)}$ ${\displaystyle BG(n+1)}$ ${\displaystyle BG(n)\to BG(n+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle BG}$

Este no es el caso de la clase de Euler, como se detalla allí, sobre todo porque la clase de Euler de un fibrado k -dimensional vive en (por lo tanto, se retira de , por lo que no puede retirarse de una clase en , ya que las dimensiones difieren. ${\displaystyle H^{k}(X)}$ ${\displaystyle H^{k}(BO(k))}$ ${\displaystyle H^{k+1}}$

Véase también

• Clase Segre
• Característica de Euler
• Clase Chern

Notas

1. De manera informal, las clases características "viven" en la cohomología.
2. Según la teoría de Chern-Weil , estos son polinomios en la curvatura; según la teoría de Hodge , uno puede tomar forma armónica.

Referencias

• Chern, Shiing-Shen (1995). Variedades complejas sin teoría del potencial . Springer-Verlag Press. ISBN 0-387-90422-0. Libro de bolsillo  de la editorial .

  El apéndice de este libro: "Geometría de clases características" es una introducción muy clara y profunda al desarrollo de las ideas de las clases características.

• Hatcher, Allen , Fibrados vectoriales y teoría K
• Husemoller, Dale (1966). Fibre bundles (3.ª edición, Springer 1993 ed.). McGraw Hill. ISBN 0387940871.
• Milnor, John W. ; Stasheff, Jim (1974). Clases características . Anales de estudios matemáticos. Vol. 76. Princeton University Press , Princeton, NJ; University of Tokyo Press , Tokio. ISBN 0-691-08122-0.