Toro máximo

Subgrupo de Lie abeliano compacto conexo máximo.

En la teoría matemática de los grupos de Lie compactos los subgrupos de toros, en particular los subgrupos de toros máximos , desempeñan un papel especial .

Un toro en un grupo de Lie compacto G es un subgrupo de Lie compacto , conexo y abeliano de G (y por lo tanto isomorfo al ^[1] toro estándar T ⁿ ). Un toro maximal es uno que es maximal entre tales subgrupos. Es decir, T es un toro maximal si para cualquier toro T ′ que contenga a T tenemos T = T ′. Cada toro está contenido en un toro maximal simplemente por consideraciones dimensionales . Un grupo de Lie no compacto no necesita tener ningún toro no trivial (por ejemplo, R ⁿ ).

La dimensión de un toro máximo en G se denomina rango de G. El rango está bien definido , ya que todos los toros máximos resultan ser conjugados . Para los grupos semisimples , el rango es igual al número de nodos en el diagrama de Dynkin asociado .

Ejemplos

El grupo unitario U( n ) tiene como toro máximo el subgrupo de todas las matrices diagonales . Es decir,

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.}$

T es claramente isomorfo al producto de n círculos, por lo que el grupo unitario U( n ) tiene rango n . Un toro maximal en el grupo unitario especial SU( n ) ⊂ U( n ) es simplemente la intersección de T y SU( n ), que es un toro de dimensión  n  − 1.

Un toro maximal en el grupo ortogonal especial SO(2 n ) está dado por el conjunto de todas las rotaciones simultáneas en cualquier elección fija de n planos ortogonales por pares (es decir, espacios vectoriales bidimensionales). Concretamente, un toro maximal consiste en todas las matrices de bloques diagonales con bloques diagonales, donde cada bloque diagonal es una matriz de rotación. Este también es un toro maximal en el grupo SO(2 n +1) donde la acción fija la dirección restante. Por lo tanto, tanto SO(2 n ) como SO(2 n +1) tienen rango n . Por ejemplo, en el grupo de rotación SO(3) los toros maximal están dados por rotaciones alrededor de un eje fijo. ${\displaystyle 2\times 2}$

El grupo simpléctico Sp( n ) tiene rango n . Un toro máximo está dado por el conjunto de todas las matrices diagonales cuyas entradas se encuentran todas en una subálgebra compleja fija de H .

Propiedades

Sea G un grupo de Lie compacto y conexo y sea el álgebra de Lie de G . El primer resultado principal es el teorema del toro, que puede formularse de la siguiente manera: ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teorema del toro : si T es un toro máximo fijo en G , entonces cada elemento de G es conjugado a un elemento de T.

Este teorema tiene las siguientes consecuencias:

• Todos los toros máximos en G son conjugados. ^[3]
• Todos los toros máximos tienen la misma dimensión, conocida como rango de G.
• Un toro máximo en G es un subgrupo abeliano máximo, pero no es necesario que se cumpla lo inverso. ^[4]
• Los toros máximos en G son exactamente los subgrupos de Lie correspondientes a las subálgebras abelianas máximas de ^[5] (cf. subálgebra de Cartan ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Cada elemento de G se encuentra en algún toro máximo; por lo tanto, el mapa exponencial para G es sobreyectivo.
• Si G tiene dimensión n y rango r entonces n − r es par.

Sistema de raíces

Si T es un toro maximal en un grupo de Lie compacto G , se puede definir un sistema raíz de la siguiente manera. Las raíces son los pesos para la acción adjunta de T sobre el álgebra de Lie complejizada de G . Para ser más explícito, sea el álgebra de Lie de T , sea el álgebra de Lie de , y sea la complejización de . Entonces decimos que un elemento es una raíz para G relativa a T si y existe un distinto de cero tal que ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{H}}(X)=e^{i\langle \alpha ,H\rangle }X}$

para todos . Aquí hay un producto interno fijo en que es invariante bajo la acción adjunta de grupos de Lie compactos conexos. ${\displaystyle H\in {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El sistema de raíces, como un subconjunto del álgebra de Lie de T , tiene todas las propiedades habituales de un sistema de raíces, excepto que las raíces pueden no abarcar . ^[6] El sistema de raíces es una herramienta clave para comprender la teoría de clasificación y representación de G . ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Grupo Weyl

Dado un toro T (no necesariamente máximo), el grupo de Weyl de G con respecto a T se puede definir como el normalizador de T módulo el centralizador de T . Es decir,

${\displaystyle W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).}$

Fije un toro máximo en G; entonces el grupo de Weyl correspondiente se llama grupo de Weyl de G (depende hasta el isomorfismo de la elección de T ). ${\displaystyle T=T_{0}}$

Los dos primeros resultados principales sobre el grupo de Weyl son los siguientes.

• El centralizador de T en G es igual a T , por lo que el grupo de Weyl es igual a N ( T )/ T . ^[7]
• El grupo de Weyl se genera mediante reflexiones sobre las raíces del álgebra de Lie asociada. ^[8] Por lo tanto, el grupo de Weyl de T es isomorfo al grupo de Weyl del sistema de raíces del álgebra de Lie de G.

Enumeramos ahora algunas consecuencias de estos resultados principales.

• Dos elementos en T son conjugados si y solo si son conjugados por un elemento de W . Es decir, cada clase de conjugación de G interseca a T en exactamente una órbita de Weyl . ^[9] De hecho, el espacio de clases de conjugación en G es homeomorfo al espacio de órbitas T / W .
• El grupo de Weyl actúa mediante automorfismos ( externos ) en T (y su álgebra de Lie).
• El componente identidad del normalizador de T también es igual a T . Por lo tanto, el grupo de Weyl es igual al grupo de componentes de N ( T ).
• El grupo de Weyl es finito.

La teoría de representación de G está determinada esencialmente por T y W.

Como ejemplo, considere el caso de ser el subgrupo diagonal de . Entonces pertenece a si y solo si asigna cada elemento de la base estándar a un múltiplo de algún otro elemento de la base estándar , es decir, si y solo si permuta los elementos de la base estándar, hasta la multiplicación por algunas constantes. El grupo de Weyl en este caso es entonces el grupo de permutación de elementos. ${\displaystyle G=SU(n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

Fórmula integral de Weyl

Supongamos que f es una función continua en G. Entonces, la integral sobre G de f con respecto a la medida de Haar normalizada dg se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}|\Delta (t)|^{2}\int _{G/T}f\left(yty^{-1}\right)\,d[y]\,dt,}}$

donde es la medida de volumen normalizada en la variedad cociente y es la medida de Haar normalizada en T . ^[10] Aquí Δ está dado por la fórmula del denominador de Weyl y es el orden del grupo de Weyl. Un caso especial importante de este resultado ocurre cuando f es una función de clase , es decir, una función invariante bajo conjugación. En ese caso, tenemos ${\displaystyle d[y]}$ ${\displaystyle G/T}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle |W|}$

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt.}}$

Consideremos como ejemplo el caso , siendo el subgrupo diagonal. Entonces la fórmula integral de Weyl para funciones de clase toma la siguiente forma explícita: ^[11] ${\displaystyle G=SU(2)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \displaystyle {\int _{SU(2)}f(g)\,dg={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }f\left(\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{\frac {d\theta }{2\pi }}.}}$

Aquí , la medida de Haar normalizada en es , y denota la matriz diagonal con entradas diagonales y . ${\displaystyle |W|=2}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\frac {d\theta }{2\pi }}}$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle e^{-i\theta }}$

Véase también

• Grupo compacto
• Subgrupo Cartan
• Subálgebra de Cartan
• Álgebra de Lie toral
• Descomposición de Bruhat
• Fórmula del personaje de Weyl
• Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conexo

Referencias

1. Hall 2015 Teorema 11.2
2. Salón 2015 Lema 11.12
3. Hall 2015 Teorema 11.9
4. Hall 2015 Teorema 11.36 y Ejercicio 11.5
5. Propuesta 11.7 del Salón 2015
6. Sala 2015 Sección 11.7
7. Hall 2015 Teorema 11.36
8. Hall 2015 Teorema 11.36
9. Hall 2015 Teorema 11.39
10. Hall 2015 Teorema 11.30 y Proposición 12.24
11. Hall 2015 Ejemplo 11.33

• Adams, JF (1969), Conferencias sobre grupos de Lie , University of Chicago Press, ISBN 0226005305
• Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (Capítulo 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 354034392X
• Dieudonné, J. (1977), Grupos de Lie compactos y grupos de Lie semisimples, Capítulo XXI , Tratado de análisis, vol. 5, Academic Press, ISBN 012215505X
• Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), Grupos de mentiras , Universitext, Springer, ISBN 3540152938
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0821828487
• Hochschild, G. (1965), La estructura de los grupos de Lie , Holden-Day