Teselado aperiódico

Los mosaicos aperiódicos sirven como modelos matemáticos para cuasicristales, sólidos físicos que fueron descubiertos en 1982 por Dan Shechtman,[3]​ quien posteriormente ganó el premio Nobel en 2011.[4]​ Sin embargo, la estructura local específica de estos materiales todavía no se comprende bien.Se conocen varios métodos para construir revestimientos del plano aperiódicos.Considérese un mosaico periódico por unidades cuadradas (algo parecido a un papel milimetrado infinito).Pero claramente este ejemplo es mucho menos interesante que el mosaico de Penrose.Para descartar ejemplos tan triviales, se define un mosaico aperiódico como uno que no contiene partes periódicas arbitrariamente grandes.Para dar un ejemplo aún más simple que el anterior, considérese un mosaico unidimensional T sobre una línea como ...aaaaaabaaaaa... donde a representa un intervalo de longitud uno, b representa un intervalo de longitud dos.Ahora, todas las traslaciones de T son las teselaciones con una b en alguna parte y a en el resto.converge, en la topología local, al mosaico periódico que consta de solo a.[5]​ La primera aparición específica de teselaciones aperiódicas surgió en 1961, cuando el lógico Hao Wang trató de determinar si el problema del dominó es decidible, es decir, si existe un algoritmo para decidir si un conjunto finito dado de prototeselas admite una teselación del plano.Después del descubrimiento de los cuasicristales, los materiales aperiódicos son estudiados intensamente por físicos y matemáticos.[10]​[11]​ Hoy en día existe una gran cantidad de bibliografía sobre revestimientos aperiódicos.Cualquier traslación debe ser más pequeña que algún tamaño de cuadrado y, por lo tanto, no puede dejar invariable dicho mosaico.Joshua Socolar,[16]​[17]​ Roger Penrose,[18]​ Ludwig Danzer,[19]​ y Chaim Goodman-Strauss[14]​ han encontrado varios conjuntos posteriormente.[12]​ Los mosaicos no periódicos también se pueden obtener mediante la proyección de estructuras de mayor dimensión en espacios con menor dimensión, y en algunas circunstancias, puede haber mosaicos que refuercen esta estructura no periódica, y por lo tanto, sean aperiódicos.[25]​ Block y Weinberger utilizaron métodos homológicos para construir conjuntos aperiódicos de mosaicos para todos los que no eran variedades promediables.En 1975, Robert Ammann ya había ampliado la construcción de Penrose a un equivalente icosaédrico tridimensional.A veces se produce un mínimo energético o un máximo de entropía para tales estructuras aperiódicas.[30]​ El término aperiódico se ha utilizado en una amplia variedad de formas en la literatura matemática sobre teselaciones (y también en otros campos matemáticos, como los sistemas dinámicos o la teoría de grafos, con significados completamente diferentes).A veces, el término describe, implícita o explícitamente, un mosaico generado por un conjunto aperiódico de prototeselas.Con frecuencia, el término aperiódico se usó vagamente para describir las estructuras en consideración, refiriéndose a sólidos físicos aperiódicos, a saber, cuasicristales, o algo no periódico con algún tipo de orden global.