Teorema de Beatty

En matemática, el teorema de Beatty señala la condición necesaria y suficiente para que dos sucesiones pseudo-aritméticas sean una partición deFue publicado en 1926 por el matemático canadiense Samuel Beatty, profesor de la Universidad de Toronto.[1]​ Otra demostración de este teorema se publicó en 1927 por A.Ostrowski (Basilea) y A. C. Aitken (Chicago).[2]​[3]​ Afirma la equivalencia de las dos declaraciones siguientes : en donde la función E designa la función parte entera.El resultado no es generalizable (engañosamente): no es posible hacer una partición decon más de tres sucesiones pseudo-aritméticas.El resultado se vuelve intuitivo si se introduce la densidad de una parte A de, es el límite - si existe - cuando n tiende aSe ve fácilmente que los conjuntosLos soportes de las secuencias P y Q forman una partición de, luego la suma de sus densidades vale 1 : Además, p y q no pueden ser racionales los dos, dado que si por casoLas sucesiones P y Q no tienen ningún elemento en común.Recíprocamente, si p et q son irracionales y, se prueba por absurdo que los soportes de las sucesiones P y Q son disjuntas.Sea k un entero que se escribe bajo la formaPor definición de parte entera, se tienen las inecuaciones siguientes : Si se divide la primera inecuación por p, y la segunda por q : Sumando las dos inecuaciones, se obtiene : k, n y m siendo enteros, esto imlica; se sigue forzosamente la igualdad entre las dos inecuaciones precedentes.Lo cual es absurdo dado que p y q son irracionales.Ahora se demuestra que todo entero natural no nulo es alcanzado por una de las dos sucesiones.y k = E(np).k es alcanzado por la sucesión P, entonces no por la sucesión Q, existe un único entero m tal que : De hecho, el entero E(mq) es el entero más grande de la sucesión Q inferior a k. Las aplicacionesson inyectivas dado que p y q son mayores que 1.elementos de sucesiones P y Q (dado que ambas sucesiones tienen soportes disjuntos).Para concluir, es suficiente con probar que k = n + m. Se tiene : Sumando, se sigue que k - 1 < n + m < k + 1, o bien k = n + m. QED.Uno de los primeros ejemplos conocidos descubierto en 1907 por el matemático holandés Wythoff, independiente del teorema de Beatty.el número de oro, se tiene que : Las dos sucesiones obtenidas serán entonces : Las parejasaparecen en la resolución del juego de Wythoff, y caracterizan las posiciones a partir de las cuales el jugador marcado no puede ganar.