Teorema de De Branges

Es decir, se considera una función definida en el disco unidad abierto que es holomórfica e inyectiva (univalente) con la serie de Taylor de la forma Estas funciones se denominan schlicht (en alemán, simple o llano).El teorema luego establece que La función de Koebe (véase más abajo) es una función en la que an = n para todo n, y es schlicht, por lo que no se puede encontrar un límite más estricto en el valor absoluto del coeficiente n. Las normalizaciones significan que Esto siempre se puede obtener mediante una transformación afín: comenzando con una función holomórfica inyectiva arbitraria g definida en el disco de la unidad abierta y configurando Estas funciones g son de interés porque aparecen en el teorema de representación conforme de Riemann.La condición del teorema de De Branges no es suficiente para demostrar que la función es schlicht, ya que la función se demuestra que: es holomórfica en el disco unidad y satisface |an| ≤ n para todos los n, pero no es inyectivo desde f(−1/2 + z) = f(−1/2 − z).Varios autores luego redujeron la constante en la desigualdad por debajo de e.La conjetura de Robertson establece que si es una función schlicht impar en el disco unitario con b1 = 1 entonces para todos los enteros positivos n, Robertson observó que su conjetura todavía es lo suficientemente fuerte como para implicar la conjetura de Bieberbach, y la demostró para n = 3.Ya se sabía que esto implicaba la conjetura de Robertson (Robertson, 1936) sobre funciones univalentes impares, lo que a su vez se sabía que implicaba la conjetura de Bieberbach sobre las funciones schlicht (Bieberbach, 1916).Askey señaló que Askey y Gasper (1976) habían probado las desigualdades necesarias ocho años antes, lo que permitió a De Branges completar su demostración.