Las series newtonianas a menudo aparecen en relaciones de la forma que se ve en el cálculo umbral.
El teorema del binomio generalizado afirma que Una prueba de esta identidad se puede obtener mostrando que satisface la ecuación diferencial La función digamma es: y los números de Stirling de segunda especie vienen dados por la suma finita Esta fórmula es un caso especial de la k-ésima diferencia finita del monomio xn evaluado en x = 0: Una identidad relacionada constituye la base de la integral de Nörlund–Rice: donde
Las funciones trigonométricas tienen identidades umbrales: y La naturaleza umbral de estas identidades es un poco más clara al escribirlas en términos del factorial descendente
Los primeros términos de la serie del seno son que se puede reconocer como similar a la serie de Taylor para la función
, con (s) n en lugar de xn.
Empleando la función generadora, su suma de Borel se puede evaluar como La relación general da la serie de Newton donde
es la función zeta de Hurwitz y
La serie no converge, pero la identidad se mantiene formalmente.